空间立体几何练习题
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空间立体几何板块综合练习题
1.如图,在四棱锥 P ABCD 中, PD 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是正方 P 形, E, F 分别是 AB, PC 中点.求证:
(1) PA // 平面 BDE ; (3) AB PD ; (5) AD PC ; (7)平面 PAC 平面 PBD ;
(文科)平面 AC1N 将三棱柱分成两个部分,求这两个部分的体积 的比值.
空间立体几何练习题 第 2页（共 4页）
1.在四棱锥 P ABCD 中, PD 底面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形. PD DC, E, F 分别是 AB, PB中点. (1)求证: EF CD ; (2)(理科)求直线 BD 与平面 DEF 所成角的正弦值.
(文科)若 AB CB 2, A1C 2 ,求三棱柱 ABC A1B1C1体积.
P
Q
O
AG
B
C
C
C1
B
B1
A
A1
8.如图,三棱柱 ABC A1B1C1 中,侧棱垂直底面, ACB 90 ,
AC BC
1 2
AA1
,
D
为棱
AA1 中点.
C1
B1
A1
(1)证明：平面 BDC1 平面 BDC ;Βιβλιοθήκη Baidu
(文科)设 PD 1 ,求三棱锥 D BEF 的体积.
12.如图,点 C 是以 AB 为直径的圆上一点,直角梯形 BCDE 所在 平面与圆 O 所在平面垂直,且 DE // BC, DC BC, DE 1 BC 2 ,
2 AC CD 3 . (1)证明: EO // 平面 ACD ; (2)(理科)求二面角 O BE D 的余弦值.
(2) AC1 BD ;
D1
F
C1
(3) EF // 平面 BDD1B1 ; (4) AC1 A1B ; (5) AC1 平面 BDA1 . A1
B1
P
D Q
A
3. 如图 ，正 四棱 柱 ABCD A1B1C1D1 中 , AA1 2 AB 4 ,点 E 在 CC1 上且 A1 D1
(文科)求点 C 到平面 ABD 的距离.
13.如图, AA1, BB1 为圆柱 OO1 的母线, BC 是底面圆 O 的直径, D, E 分 别是 AA1, B1C 中点. (1)证明: DE // 平面 ABC ;
(2)
(理科)若 DE 平面 CBB1 ,且直线 AB 与 B1C 所成角余弦为
(文科)求四面体 N BCM 的体积.
P
P
N
A
B
MD
C
(理科图)
N
A
B
MD
C
(文科图)
16.如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA 平面 ABCD, E 为 PD 的中点. (Ⅰ) 证明: PB // 平面 AEC ; (Ⅱ)(理科)设二面角 D AE C 为 60, AP 1, AD 3 ,求 三棱锥 E ACD 的体积.
C1E 3EC . 证明： A1C 平面 BED .
D
A
C E B
C1 B1
E
C B
S
4.如图，四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD 底面
F
ABCD， E, F 分别是 AB, SC 的中点.
证明： EF // 平面 SAD.
D
C
A
E
B
5.如图，四棱锥. S ABCD中, AB // CD, BC CD ,侧面 SAB 为等 边三角形, AB BC 2 , CD SD 1.
证明： SD 平面 SAB.
A
S DC B
空间立体几何练习题 第 1页（共 4页）
6.如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直于圆 O 所在的平面, C 是圆 O 上一点. (1)求证: BC 平面 PAC ; (2)设 Q为 PA 中点, G 为 AOC 重心,求证: QG // 平面 PBC .
(2) EF // 平面 PAD ; (4) BC 平面 PCD ; (6) AD PC ; (8) AC PB .
D AE
F C
B
2.如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E, F, P,Q 分别是 BC,C1D1, AD1, BD 中点.求证:
(1) PQ // 平面 DD1C1C ;
A1E D1F 4 .过点 E, F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (Ⅱ)(理科)求直线 AF 与平面 所成角的正弦值.
(文科)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.
D1
F
C1
A1 E·
B1
D
C
A
B
空间立体几何练习题 第 3页（共 4页）
(文科) 设 AP 1, AD 3 ,求三棱锥 P ABD 的体积
V 3 ,求 A 的到平面 PBC 的距离. 4
17.如图,直三棱柱 ABC A1B1C1 中, D, E 分别是 AB, BB1 的中点.
(Ⅰ) 证明： BC1 // 平面 A1CD ;
(Ⅱ)(理科)设 AA1 AC CB
7.如图,三棱柱 ABC A1B1C1 中, CA CB, AB AA1, BAA1 60 . (1)证明： AB A1C ; (2)( 理 科 ) 若 平 面 ABC 平 面 AA1B1B , AB CB , 求 直 线 A1C 与 平 面 BB1C1C 所成角的正弦值.
15.如图,四棱锥 P ABCD 中, PA 平面 ABCD , AD // BC, AB AD AC 3, PA BC 4, M
为线段 AD 上一点, AM 2MD , N 为 PC 的中点.
(Ⅰ)证明: MN // 平面 PAB ;
(Ⅱ)(理科)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.
2 2
AB
,求二面角
D
A1 E
E
的正弦值.
(文科)设 AA1 AC CB 2, AB 2 2 ,求三棱锥 C A1DE 的体积.
A1
C1
B1
A
E
C
D
B
空间立体几何练习题 第 4页（共 4页）
D
(2)(理科)求二面角 B DC1 C 的余弦值. (文科)平面 BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分的体积之比.
C
B A
9.如图, 直三棱柱 ABC A1B1C1 中, BAC 90, AB AC 2 , AA1 1 ,点 M , N 分别为 AB, B1C1中点. (1)证明: MN // 平面 A1 ACC1 ; (2)(理科)求直线 CM 与平面 A1CN 的正弦值.
5 ,求 5
二面角 A DE B1 的余弦值.
(文科) 若 AB AC 2, AA1 BC ,求四棱锥 C AA1B1B 的体积.
14. 如 图, 长 方体 ABCD A1B1C1D1 中 , AB 16, BC 10, AA1 8 , 点 E, F 分 别在 A1B1, D1C1 上 ,
(文科)求三棱锥 A1 MNC 的体积.
A1
C1
B1
N
M
A C
B
10.三棱柱 ABC A1B1C1 中, AA1 底面 ABC, AC BC, M , N 分别 是 AB, A1B1 的中点, AC 4, BC 3, AA1 5 . (1) 求证:平面 AC1N // 平面 CB1M ; (2) (理科)求二面角 M B1C A1 的余弦值.
1.如图,在四棱锥 P ABCD 中, PD 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是正方 P 形, E, F 分别是 AB, PC 中点.求证:
(1) PA // 平面 BDE ; (3) AB PD ; (5) AD PC ; (7)平面 PAC 平面 PBD ;
(文科)平面 AC1N 将三棱柱分成两个部分,求这两个部分的体积 的比值.
空间立体几何练习题 第 2页（共 4页）
1.在四棱锥 P ABCD 中, PD 底面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形. PD DC, E, F 分别是 AB, PB中点. (1)求证: EF CD ; (2)(理科)求直线 BD 与平面 DEF 所成角的正弦值.
(文科)若 AB CB 2, A1C 2 ,求三棱柱 ABC A1B1C1体积.
P
Q
O
AG
B
C
C
C1
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A
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8.如图,三棱柱 ABC A1B1C1 中,侧棱垂直底面, ACB 90 ,
AC BC
1 2
AA1
,
D
为棱
AA1 中点.
C1
B1
A1
(1)证明：平面 BDC1 平面 BDC ;Βιβλιοθήκη Baidu
(文科)设 PD 1 ,求三棱锥 D BEF 的体积.
12.如图,点 C 是以 AB 为直径的圆上一点,直角梯形 BCDE 所在 平面与圆 O 所在平面垂直,且 DE // BC, DC BC, DE 1 BC 2 ,
2 AC CD 3 . (1)证明: EO // 平面 ACD ; (2)(理科)求二面角 O BE D 的余弦值.
(2) AC1 BD ;
D1
F
C1
(3) EF // 平面 BDD1B1 ; (4) AC1 A1B ; (5) AC1 平面 BDA1 . A1
B1
P
D Q
A
3. 如图 ，正 四棱 柱 ABCD A1B1C1D1 中 , AA1 2 AB 4 ,点 E 在 CC1 上且 A1 D1
(文科)求点 C 到平面 ABD 的距离.
13.如图, AA1, BB1 为圆柱 OO1 的母线, BC 是底面圆 O 的直径, D, E 分 别是 AA1, B1C 中点. (1)证明: DE // 平面 ABC ;
(2)
(理科)若 DE 平面 CBB1 ,且直线 AB 与 B1C 所成角余弦为
(文科)求四面体 N BCM 的体积.
P
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N
A
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MD
C
(理科图)
N
A
B
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(文科图)
16.如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA 平面 ABCD, E 为 PD 的中点. (Ⅰ) 证明: PB // 平面 AEC ; (Ⅱ)(理科)设二面角 D AE C 为 60, AP 1, AD 3 ,求 三棱锥 E ACD 的体积.
C1E 3EC . 证明： A1C 平面 BED .
D
A
C E B
C1 B1
E
C B
S
4.如图，四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD 底面
F
ABCD， E, F 分别是 AB, SC 的中点.
证明： EF // 平面 SAD.
D
C
A
E
B
5.如图，四棱锥. S ABCD中, AB // CD, BC CD ,侧面 SAB 为等 边三角形, AB BC 2 , CD SD 1.
证明： SD 平面 SAB.
A
S DC B
空间立体几何练习题 第 1页（共 4页）
6.如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直于圆 O 所在的平面, C 是圆 O 上一点. (1)求证: BC 平面 PAC ; (2)设 Q为 PA 中点, G 为 AOC 重心,求证: QG // 平面 PBC .
(2) EF // 平面 PAD ; (4) BC 平面 PCD ; (6) AD PC ; (8) AC PB .
D AE
F C
B
2.如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E, F, P,Q 分别是 BC,C1D1, AD1, BD 中点.求证:
(1) PQ // 平面 DD1C1C ;
A1E D1F 4 .过点 E, F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (Ⅱ)(理科)求直线 AF 与平面 所成角的正弦值.
(文科)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.
D1
F
C1
A1 E·
B1
D
C
A
B
空间立体几何练习题 第 3页（共 4页）
(文科) 设 AP 1, AD 3 ,求三棱锥 P ABD 的体积
V 3 ,求 A 的到平面 PBC 的距离. 4
17.如图,直三棱柱 ABC A1B1C1 中, D, E 分别是 AB, BB1 的中点.
(Ⅰ) 证明： BC1 // 平面 A1CD ;
(Ⅱ)(理科)设 AA1 AC CB
7.如图,三棱柱 ABC A1B1C1 中, CA CB, AB AA1, BAA1 60 . (1)证明： AB A1C ; (2)( 理 科 ) 若 平 面 ABC 平 面 AA1B1B , AB CB , 求 直 线 A1C 与 平 面 BB1C1C 所成角的正弦值.
15.如图,四棱锥 P ABCD 中, PA 平面 ABCD , AD // BC, AB AD AC 3, PA BC 4, M
为线段 AD 上一点, AM 2MD , N 为 PC 的中点.
(Ⅰ)证明: MN // 平面 PAB ;
(Ⅱ)(理科)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.
2 2
AB
,求二面角
D
A1 E
E
的正弦值.
(文科)设 AA1 AC CB 2, AB 2 2 ,求三棱锥 C A1DE 的体积.
A1
C1
B1
A
E
C
D
B
空间立体几何练习题 第 4页（共 4页）
D
(2)(理科)求二面角 B DC1 C 的余弦值. (文科)平面 BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分的体积之比.
C
B A
9.如图, 直三棱柱 ABC A1B1C1 中, BAC 90, AB AC 2 , AA1 1 ,点 M , N 分别为 AB, B1C1中点. (1)证明: MN // 平面 A1 ACC1 ; (2)(理科)求直线 CM 与平面 A1CN 的正弦值.
5 ,求 5
二面角 A DE B1 的余弦值.
(文科) 若 AB AC 2, AA1 BC ,求四棱锥 C AA1B1B 的体积.
14. 如 图, 长 方体 ABCD A1B1C1D1 中 , AB 16, BC 10, AA1 8 , 点 E, F 分 别在 A1B1, D1C1 上 ,
(文科)求三棱锥 A1 MNC 的体积.
A1
C1
B1
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M
A C
B
10.三棱柱 ABC A1B1C1 中, AA1 底面 ABC, AC BC, M , N 分别 是 AB, A1B1 的中点, AC 4, BC 3, AA1 5 . (1) 求证:平面 AC1N // 平面 CB1M ; (2) (理科)求二面角 M B1C A1 的余弦值.