第二章大气边界层湍流基础资料
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0
二 方差、标准差和湍强
1 方差
用来表示随机变量在其平均值附近的离散程度。
有偏方差
2 A
1 N
N 1
( Ai
i0
A)2
无偏方差
2 A
1 ( N 1)
N 1
( Ai
i0
A)2
较好估计
当 N>>1，两者之间的差别很小
2 标准差
湍流变量的湍流部分： A' A A
2 A
1 N
A N 1 '2 i i0
天气尺度
能量间隙
谱隙
湍流尺度
平均流
湍流
谱隙表现为把小尺度峰与天气尺度峰分开的谷
流的平均部分和湍流部分
将大尺度变化与湍流分开的方法: 将风速实测 资料在30分钟到1小时的时间内取平均，消除 湍流相对于平均值的正的或负的偏离
u U U
瞬时风速 平均风速
湍流部分
谱隙的存在，使我们能用此种方法将流场进行分离
A'2
湍流量 ： u2 v2 w2 2 r2 q2 视为方差
标准差定义为方差的平方根：
A
A'2
标准差具有与原始变量相同的量纲。
下图中，可推测标准差在中午大约是 0.5～0.6 m/s，到地方时 14:00 将降低 到 0.3m/s左右。
3 湍流强度
标准差与平均值之比 湍流强度 I 的无量纲形式 定义为：
当湍流均匀平稳
ruu (t )
u'(t0 )u'(t0 u'2
t)
②欧拉空间相关 ③欧拉空间相关与时间相关关系
根据泰勒假说，当 x ut
有 ruu ( x) ruu (t )
湍流统计理论 通常满足泰勒假说
④拉格朗日相关
同一流体质点在不同时刻的脉动速度相关
rL,u ( )
u'(0 )u'(0
u'2
实际瞬时风速
湍流部分
平均风速
风速记录的局部放大。u’ 表示阵风或实际瞬时风
速U相对于平均风速 U 的偏离
第二节 湍流特征量及基本统计 学方法（掌握）
湍流－随机性
荷兰学者J.O.Hinze(1959):湍流流场的各 种特征量是时间和空间的随机量，但是其 统计平均值是有规律性的。
数学工具： 统计学
均匀和平稳（随时间统计不变）湍流， 其时间，空间和系综平均都应该相等， 叫做各态遍历法则。为易于处理湍流， 通常做此假定，即： 总体平均＝时间平均＝空间平均
也就是说，可以用某一空间点上长时间 的观测资料进行平均来代替整个湍流场 的平均，从而使问题简化。
4 平均法则（通常指时间平均）
1. c c
I A /U
泰勒假说成立的条件：I < 0.5
需选择适当的采样时段和采样间隔
三 协方差和相关
表示随机变量之间关系程度的统计量 自相关 互相关 欧拉相关 拉格朗日相关
1 自相关
① 欧拉时间相关
某一空间点上不同时刻出现的脉动量
之间的相关
ruu (t)
u'( x0 , t0 )u'( x0 , t0 t) u'2 ( x0 , t0 ) u'2( x0 , t0 t )
A=A(t,s), t : 时间; s: 空间
At
(
s
)
1
A(t, s)dt
t0
1 N 1
At (s) N i0 A(i, s)
t / N 离散
2 空间平均
对某一固定时间t，对变量求和或在空间域 S 上 积分
1s
As (t) S
A(t, s)ds
0
1 N 1
As (t )
N
A(t, j)
j0
s s / N 离散
3 总体平均
对N个同样的试验求和：
Al (t)
A(t, s) f ( A)dA
N 1
Al (t, s)
1 N
Ai (t, s)
i0
实际工作中，要在实验条件相同的条件下在大量 空间点上进行多次重复观测非常困难。
与实验室试验不同，我们不能控制大气，几乎不 可能观测到重复产生的天气事件，所以不能用系综 平均。 要在边界层的整个空间都设置象温度计这样的传 感器作直接的测量非常困难，体积平均实际上行不 通。 时间平均是常用的，其资料可以从安装在杆和塔 固定设施上的传感器得来。在边界层下层中作时间 平均是非常普遍的，因为在一固定点进行观测相对 来说比较容易。
0
dt
A(T , s)
AA
且
AB AB
之前的平均法则也适用于被分成平均和湍流两个部分的变量
A A A' , B B B' A A A' A A' A A'
A' 0
AB ( A A' )(B B' ) AB A'B AB' A'B'
AB 0 0 A'B' AB A'B'
第一节 平均场与湍流场
大气运动包含各种尺度的运动 不同尺度的运动具有不同的运动特征 尺度分离，从而分析不同尺度运动的特征 大气边界层湍流运动－微尺度气象问题
谱隙： 图中似乎明显存在周期大约30分钟到1小时的风速 变化微弱的区间。两小时内平均风速从6m/s减小到5m/s
其中间的风速微弱变化的时间或 空间尺度区称为谱隙
湍流是大气边界层的固有属性，为进行研 究，必须将它进行量化
湍流的随机性很难进行确定的描述，因而 不得不使用统计学，对湍流做平均或期望 度量。
把湍流与流的非湍流部分分开，继而求平 均以进行统计描述
一 平均方法
1 时间平均 2 空间平均 wk.baidu.com 总体平均 4 平均法则
1 时间平均
应用于空间某一特定点，对变量求和或在某一时 域T上积分
第二章 大气边界层湍流基础
湍流运动特征
三维，非线性，涡旋运动——耗散 性，即湍流运动能量以非线性方式 由大湍涡向小湍涡传递，最后耗散 于分子热能运动
随机性，扩散性——引起质量、动 量和热量等属性的输送.
两种研究方法
解湍流运动控制方程（平均运动方 程、脉动方程、湍能方程…..）
采用随机过程的统计学方法来反映 大气湍流结构
2. cA cA 3. A A
4. AB AB
5. A B A B
dA dA
6.
dt dt
推导见参考资料P42
平均值的平均
3. A A
平均值犹如一个常数，当在同样时域中对 它做第二次平均时，其值不变
1T
A(T , s) T
0
A(t, s)dt
1T
1T
T
0
A(t, s)dt
A(T , s) T
)
2 互相关
两个变量间的协方差定义为：
1 N 1
VAB
N
( Ai A) (Bi B )
i0
利用雷诺平均法则，则
VAB
1 N
N 1
Ai Bi
i0
A' B '
因而，非线性湍流积与协方差具有同样的意义
2 协方差和互相关
两个变量间的协方差定义为：
二 方差、标准差和湍强
1 方差
用来表示随机变量在其平均值附近的离散程度。
有偏方差
2 A
1 N
N 1
( Ai
i0
A)2
无偏方差
2 A
1 ( N 1)
N 1
( Ai
i0
A)2
较好估计
当 N>>1，两者之间的差别很小
2 标准差
湍流变量的湍流部分： A' A A
2 A
1 N
A N 1 '2 i i0
天气尺度
能量间隙
谱隙
湍流尺度
平均流
湍流
谱隙表现为把小尺度峰与天气尺度峰分开的谷
流的平均部分和湍流部分
将大尺度变化与湍流分开的方法: 将风速实测 资料在30分钟到1小时的时间内取平均，消除 湍流相对于平均值的正的或负的偏离
u U U
瞬时风速 平均风速
湍流部分
谱隙的存在，使我们能用此种方法将流场进行分离
A'2
湍流量 ： u2 v2 w2 2 r2 q2 视为方差
标准差定义为方差的平方根：
A
A'2
标准差具有与原始变量相同的量纲。
下图中，可推测标准差在中午大约是 0.5～0.6 m/s，到地方时 14:00 将降低 到 0.3m/s左右。
3 湍流强度
标准差与平均值之比 湍流强度 I 的无量纲形式 定义为：
当湍流均匀平稳
ruu (t )
u'(t0 )u'(t0 u'2
t)
②欧拉空间相关 ③欧拉空间相关与时间相关关系
根据泰勒假说，当 x ut
有 ruu ( x) ruu (t )
湍流统计理论 通常满足泰勒假说
④拉格朗日相关
同一流体质点在不同时刻的脉动速度相关
rL,u ( )
u'(0 )u'(0
u'2
实际瞬时风速
湍流部分
平均风速
风速记录的局部放大。u’ 表示阵风或实际瞬时风
速U相对于平均风速 U 的偏离
第二节 湍流特征量及基本统计 学方法（掌握）
湍流－随机性
荷兰学者J.O.Hinze(1959):湍流流场的各 种特征量是时间和空间的随机量，但是其 统计平均值是有规律性的。
数学工具： 统计学
均匀和平稳（随时间统计不变）湍流， 其时间，空间和系综平均都应该相等， 叫做各态遍历法则。为易于处理湍流， 通常做此假定，即： 总体平均＝时间平均＝空间平均
也就是说，可以用某一空间点上长时间 的观测资料进行平均来代替整个湍流场 的平均，从而使问题简化。
4 平均法则（通常指时间平均）
1. c c
I A /U
泰勒假说成立的条件：I < 0.5
需选择适当的采样时段和采样间隔
三 协方差和相关
表示随机变量之间关系程度的统计量 自相关 互相关 欧拉相关 拉格朗日相关
1 自相关
① 欧拉时间相关
某一空间点上不同时刻出现的脉动量
之间的相关
ruu (t)
u'( x0 , t0 )u'( x0 , t0 t) u'2 ( x0 , t0 ) u'2( x0 , t0 t )
A=A(t,s), t : 时间; s: 空间
At
(
s
)
1
A(t, s)dt
t0
1 N 1
At (s) N i0 A(i, s)
t / N 离散
2 空间平均
对某一固定时间t，对变量求和或在空间域 S 上 积分
1s
As (t) S
A(t, s)ds
0
1 N 1
As (t )
N
A(t, j)
j0
s s / N 离散
3 总体平均
对N个同样的试验求和：
Al (t)
A(t, s) f ( A)dA
N 1
Al (t, s)
1 N
Ai (t, s)
i0
实际工作中，要在实验条件相同的条件下在大量 空间点上进行多次重复观测非常困难。
与实验室试验不同，我们不能控制大气，几乎不 可能观测到重复产生的天气事件，所以不能用系综 平均。 要在边界层的整个空间都设置象温度计这样的传 感器作直接的测量非常困难，体积平均实际上行不 通。 时间平均是常用的，其资料可以从安装在杆和塔 固定设施上的传感器得来。在边界层下层中作时间 平均是非常普遍的，因为在一固定点进行观测相对 来说比较容易。
0
dt
A(T , s)
AA
且
AB AB
之前的平均法则也适用于被分成平均和湍流两个部分的变量
A A A' , B B B' A A A' A A' A A'
A' 0
AB ( A A' )(B B' ) AB A'B AB' A'B'
AB 0 0 A'B' AB A'B'
第一节 平均场与湍流场
大气运动包含各种尺度的运动 不同尺度的运动具有不同的运动特征 尺度分离，从而分析不同尺度运动的特征 大气边界层湍流运动－微尺度气象问题
谱隙： 图中似乎明显存在周期大约30分钟到1小时的风速 变化微弱的区间。两小时内平均风速从6m/s减小到5m/s
其中间的风速微弱变化的时间或 空间尺度区称为谱隙
湍流是大气边界层的固有属性，为进行研 究，必须将它进行量化
湍流的随机性很难进行确定的描述，因而 不得不使用统计学，对湍流做平均或期望 度量。
把湍流与流的非湍流部分分开，继而求平 均以进行统计描述
一 平均方法
1 时间平均 2 空间平均 wk.baidu.com 总体平均 4 平均法则
1 时间平均
应用于空间某一特定点，对变量求和或在某一时 域T上积分
第二章 大气边界层湍流基础
湍流运动特征
三维，非线性，涡旋运动——耗散 性，即湍流运动能量以非线性方式 由大湍涡向小湍涡传递，最后耗散 于分子热能运动
随机性，扩散性——引起质量、动 量和热量等属性的输送.
两种研究方法
解湍流运动控制方程（平均运动方 程、脉动方程、湍能方程…..）
采用随机过程的统计学方法来反映 大气湍流结构
2. cA cA 3. A A
4. AB AB
5. A B A B
dA dA
6.
dt dt
推导见参考资料P42
平均值的平均
3. A A
平均值犹如一个常数，当在同样时域中对 它做第二次平均时，其值不变
1T
A(T , s) T
0
A(t, s)dt
1T
1T
T
0
A(t, s)dt
A(T , s) T
)
2 互相关
两个变量间的协方差定义为：
1 N 1
VAB
N
( Ai A) (Bi B )
i0
利用雷诺平均法则，则
VAB
1 N
N 1
Ai Bi
i0
A' B '
因而，非线性湍流积与协方差具有同样的意义
2 协方差和互相关
两个变量间的协方差定义为：