高等数学课件D11习题

其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
解法1 令 P x2y,Q y2x,则
这说明积分与路径无关, 故
I A(x B 2 y )d x (y 2 x )d y
a
a
x2
dx
B
解法2 求出全微分
y C
L
o Ax
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源自文库
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解法3 添加辅助线段 BA , 它与L所围区域为D, 则
即
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z
n
o
x
y
x y3
D xy
2
x y1 2
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二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类(
对面积
)
第二类( 对坐标 )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
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一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 )
转化
定积分
用参数方程
(1) 统一积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
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思考题
1) 二重积分是哪一类积分?
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面
问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关
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2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算
0
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练习5 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
证明在此力场
中场力所作的功与所取的路径无关。 提示: F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为
令 Pkx3, Qk3y
易证
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所以结论成立。
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例1. 计算
其中 为曲线
z
解: 利用轮换对称性 , 有
y
o
x2ds y2ds z2ds
x
利用重心公式知
(的重心在原点)
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I2 (x2y2z2)ds 3 4 a3 3 7 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算
方法2 利用斯托克斯公式 设三角形区域为 , 方向向上, 则
1
3
x
y
1
1
3
3
y
z
dS
zx
13(3)dS
3 2
z
B
n
oC
A
y
x
:xyz 1
n 1 (1,1,1)
3
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练习7 解
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z
n
则
o
y
x
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练习6 求力
沿有向闭曲线 所作的功,
其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三角
形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
提示: 方法1
z B
利用对称性
3 ydxzdyxd z AB
oC
A
y
x
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3 xdz AB 1
30(1z)dz
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(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:
y 05.02.2021I2L (x 2 y 2 )d x (y 2 x )d y
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思考题解答:
y
(1) I1L (x 2 3y )d x (y 2 x )dy
C
L
LABAB
D
B o Ax
2Ddxdy
2 3
I L B ( x 2 A y )d x (y 2 x )d y
y C
B(x A 2 y )d x (y 2 x )d y D
L
D0dxdy
a x2 dx 2 a3
a
3
B o Ax
(利用格林公式)
思考:
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
I1L (x 2 3y )d x (y 2 x )dy
练习4 计算
其中L为上半圆周 提示:
沿逆时针方向.
Ie x sy id x n ( e x cy o 2 ) d s y2 ydx
L
L
2 ydx
LAB AB L
L:xyaa(s1intcots) t:0
y L
D
oA a B x
D0dxdy
2a
0d x
2a2
sin2tdt
a2
0
(2)
利用高斯公式
注意公式使用条件 添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
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练习7
计算 xd yd z yd zd x zd xd y ,其中 为半球面
x
21 224 31 22
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5
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2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
a3
a2(2a)
3
(2) I2 L (x 2 y y 2 )d x (y 2 x )d y
(x 2 y )d x (y 2 x )d y y2dx
L
L
L :x a ct,o y s a sti ,tn :0
I 0a3sin3tdt 2 a 3
3
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2a3
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y
M
ta
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. o
x
提示:
原 式 a22 0tsitd nt
a 2 tcto ssit0 2 n
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练习3 计算 提示: 因在 上有
其中由平面 y = z 截球面
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
故
z
原式 =
o 1y
第二类: 下始上终
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练习1
计算
其中L为圆周
提示: 利用极坐标 ,
ds r2r2dad
原式 = L axds
说明: 若用参数方程计算, 则
y
r
t
o
ax
dsx 2y 2dt
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……
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练习2 计算
其中L为摆线