李雅普诺夫方法

第三章
动态系统的稳定性及李雅普诺夫 分析方法
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性
考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t) k1
y(t) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。
1．线性系统情况
线性定常连续系统平衡状态 xe 0 为渐近稳定的充要条件
是系统矩阵A的所有特征值都具有负实部。
n
x(t) iqieit x(0)
线性定常离散系统平衡状态 xe 0为渐近稳定的充i1 要条件是
系统矩阵 G 的所有特征值的模都小于1。 与经典控制理论的各种判据一致
为Jacobian矩阵
按 x& Ax 在xe 0 邻域研究平衡点 xe的稳定性。即： 1）A的所有特征值具有负实部，则非线性系统在 xe 0 渐近稳定；
2）A的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统在 xe 0 不稳定；
3) A的特征值的实部有一部分为0，其它均具负实部，非线性系统 在xe 0 的稳定性不能得出明确结论，而取决于 f (x) 的高阶导数 项。一般可通过其它方法（如找合适的Lyapunov函数)确定其稳 定性。
3．李雅普诺夫意义下稳定判定定理：
如果 V (x,t) 满足条件：
（1） V (x,t) 为正定； （2） V&( x,t) 为负半定；
则系统的平衡状态xe 0是李雅普诺夫意义下稳定的。 条件（2）不强调 V&( x,t) 不恒为零，意味着系统向着小“能量”方 向运动的过程中与某个等“能量”面相切，但可能不再离开该等“能 量”面，形成有界但不具有渐近性的运动状态。
李雅普诺夫第一法需要求出系统的全部特征值，这对于高阶系统 存在一定的困难，经典控制理论中针对线性定常系统提出了一些有 效的工程方法，可视为该法在线性定常系统中的工程应用。
二、李雅普诺夫第二法
又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着 能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程， 直接分析、判断系统的稳定性能。具有很强的普适性。

pn1
p12 L p22 L M pn2 L
p1n x1
p2n


x2


M M
n i 1
pij xi x j
pnn


xn

j 1
为x的二次型函数，其定号性与它的权矩阵P的定号性是一致的。
而P的定号性由Sylvester准则确定：
p11 p12 L
设1

p11，2
p11 p21
p12 ，…,
p22
n
p21 M
p22 L M
pn1 pn2 L
p1n
p2n M
为实对称矩阵 P
pnn
的1～n阶顺序主子式，则P定号性的充要条件为：
① 若 i 0 (i 1, 2,L , n) ，P为正定；
②
若
i i
0 0
i为偶数时 i为奇数时
（1） V (x,t) 为正定；
（2） V&( x,t) 为负半定，但它在非零解运动轨线上不恒为零，即 对于 x 0 有V&(x,t) 0 ； 则系统的平衡状态xe 0是渐近稳定的。同样，如果还满足
（3）
lim V
x
(
x,
t
)


则平衡状态 xe 0 是大范围渐近稳定的。
条件（2）表示在 x 0 某处会出现V&(x,t) 0但不恒为零的情况，这 时系统向着“能量”越来越小方向运动过程中与某个等“能量”面相切， 但通过切点后并不停留而继续趋向于最小“能量”的平衡点xe 0 ， 所以该平衡状态仍然是渐近稳定的。
③ 若V (x) 0 ，V (x) 为负定； ④ 若V (x) 0 ，V (x) 为负半定；
⑤ 若V (x) 可正可负，V (x)为不定。
2. 二次型函数 设x为n维向量，则称标量函数
权矩阵 P为实对称矩阵
V ( x) xT Px = x1 x2 L
p11
xn


p21 M
3. 平衡状态
对于系统

x&
f
(
x ,t )
（线性、非线性、定常、时变）
x (t0 ) x0
如果存在 xe，对所有的t有 f (xe,t) 0 成立，称状态 xe为上述 系统的平衡状态。
通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于 线性定常连续系统的平衡状态有：
x& Axe 0 ①若A非奇异，xe 0 唯一的平衡状态
都对应地存在另一实数 ( ,t0 ) 0 ，使得由满足式子 x0 xe (,t0)
的任一初始状态 x0 出发的受扰运动都满足 x(t; x0,t0) xe (t t0 )
则称平衡状态 xe 是稳定的。
可以将下式看成为状态空间中以 xe 为球心，以 为半径的一个超
2．非线性系统情况
对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。
非线性自治系统： x& f (x)
f (x)为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。 xe 0 是系统的一个平衡点。
将f ( x)在平衡点xe邻域展成台劳级数:
f (x)
f f ( xe ) xT
满足渐近稳定的球域 S( )只是状态空间中的有限部分，这时称平 衡状态 xe为局部渐近稳定，并且称S( )为渐近稳定吸引区，表示只 有从该区域出发的受扰运动才能被“吸引”至平衡状态xe 。
线性系统若是渐近稳定（且A非奇异），必为全局渐近稳定。非 线性系统一般只能是小范围渐近稳定。
渐近稳定等同于工程上稳定的概念。有界性，渐近性
不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于 是，李雅普诺夫引入一个 “广义能量”函数，它具备能量函数的基 本属性—正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信 息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。
一般情况下，李雅普诺夫函数与状态和时间有关，表示为V (x,t)，
xe 0 为渐近稳定的几何解释如右图。
S( )
S( )
x1
若 与t0 无关，则为一致渐近稳定。定常系统是一致渐近稳定的。
若 ，则为全局渐近稳定。不管初始值偏离平衡点多大， （状态空间中任意点）都具有渐近稳定特性。状态空间中只能 有一个平衡点。
满足上面两点的为全局一致渐近稳定。
球体，球域记为 S( ) ；把上式视为以 xe为球心，以 为半径的一个
超球体，球域记为 S( ) 。球域 S( )依赖于给定的实数 和初始时间t0 。
平衡状态 xe 是稳定的几何解释：
从球域 S( )内任一点出发的运动 x(t; x0,t0 )对所有的 t t0
都不超越球域 S( ) 。
x(t, x0,t0 ) xe

对于非线性系统，也有可能趋于
S ( ) 以外的某个平衡点或某个极限环。
x2
x(t)
x(t0 ) xe
S( ) S( ) x1
单摆是Lyapunov意义下稳定或渐近稳定的例子。
xe
§2 李雅普诺夫稳定性分析方法
一、李雅普诺夫第一法
又称间接法，通过系统状态方程的解来分析系统的稳定性， 比较适用于线性系统和可线性化的非线性系统。
如果不显含时间 t ，则表示为V (x) 。
（一）预备知识
1．标量函数的定号性 设 V (x)为关于n维向量 x 的标量函数，并且在 x 0 处，有V (x) 0，
则对于任意的非零向量 x 0 ，有：
① 若V (x) 0 ，V (x) 为正定； ② 若V (x) 0 ，V (x) 为正半定；
(i 1,2,L , n) ，P为负定；
③若
i i
0 0
（i 1, 2,L (i n)
，n 1)
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，P为正半定；
i 0
④ 若 i 0
i 0
i为偶数 i为奇数 (i n)
，P为负半定。
（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据
1．渐近稳定基本判定定理 ：
②若A奇异， xe 0 平衡状态,非唯一 对非线性系统，一般有多个平衡状态。
如果平衡状态在状态空间中是彼此孤立的，则为孤立平衡状态。
任何一个孤立的平衡状态都可以通过坐标系移动转换成零平衡状态， 所以讨论零平衡状态 xe 0 的稳定性具有普遍意义。
（二）稳定性定义
1. 稳定 设xe 为系统的一个平衡状态，如果对任意给定的一个实数 0 ，
（3）
lim V
x
(
x,
t)


则平衡状态 xe 0 是大范围渐近稳定的。
条件（1）保证了 V (x,t) 具备“广义能量”函数的特性，
条件（2）表明该“能量”函数随着系统的运动不断衰减， 条件（3）表示了满足渐近稳定的条件可扩展至整个状态空间。
2．渐近稳定判定定理2 ：
系统及平衡状态同上，如果 V (x,t) 满足条件：
1．自治系统
自治系统是指不受任何外界影响即没有输入作用的动态系统。
x&(t) = f (x,t)

x(t0
)

x0
线性系统：

x&(t) = A(t x(t0 ) x0
)
x(t)
2．受扰运动
将自治系统在初始状态 x(t0) x0 条件下的解称为受扰运动。 就是系统的零输入响应。通常表示为 x(t; x0,t0)。
衡状态的能力。它更深刻地揭示出系统稳定性的本质属性。
二种描述都反映了稳定性的系统结构属性，在一定的条件下它 们是完全等价的。
内部稳定性理论主要由李雅普诺夫（A.M.Lyapunov）建立，提 出了分析系统稳定性的李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法，
二、李亚普诺夫稳定性基本概念
（一） 系统运动及平衡状态
x xe
(x

xe )
0[( x xe )2 ]
高阶导数项之和

f xT
x
x xe 0
得线性化模型为
x& Ax
其中
f
f1

x1
f1 x2
L
A xT
x xe
M

f
n
M fn
L
x1 x2
f1
xn

M
fn

xn x xe
对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
2．内部稳定性 考虑输入量为零时的线性系统
x&(t) = A(t) x(t)

x
(t
)
t
t0

x(t0 )
x0
如果由非零初始状态 x0引起的系统自由运动x(t) 有界，即：
x(t) k
并满足渐近属性，即 lim x(t) 0 ，则称该系统是内部稳定的。 t 它表达了在外界扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平
x2
一个二维状态空间中零平衡
状态 xe 0 是稳定的几何解释
S( )
如右图 。
S( )
如果 与t0无关，称为是
一致稳定，定常系统是一致 稳定的。
x
x
e
(t0
)
x1
上述稳定保证了系统受扰运动的有
x(t)
界性，通常将它称为李雅普诺夫意义
下的稳定，以区别于工程意义的稳定。
2. 渐近稳定
不仅具有Lyapunov意义下的稳定，并且
4．不稳定判定定理： 如果 V (x,t) 满足条件： （1）V (x,t) 为正定； （2）V&( x,t) 为正定；
则系统的平衡状态xe 0是不稳定的。
条件（2）表明“能量”函数随着系统的运动不断增大，即运动沿着 越来越远离平衡点的大“能量”方向进行。
lim
t
x(t；x0,t0 ) xe
0
渐近性
则称平衡状态 xe为渐近稳定。
x2
几何解释：
从球域S( )内任一点出发的
运动 x(t; x0,t0 ) 对所有的t t0不仅不
超越球域S( ) ，而且当 t 时，
xxe(t0 )
最终收敛于平衡状态 。xe
二维状态空间中零平衡状态
x(t)
3. 不稳定
无论 取得多么小，也无论 取得多么大，在球域内S( ) 总存在非
零点
x
* 0
，使得由
x
* 0
出发的运动轨迹
x(t;
x0,t0 )
越出球域
S (
)
，则称平
衡状态 xe 为不稳定。
二维状态空间中零平衡状态 xe 0 为不稳定的几何解释如右图。
对于线性系统一般有：
lim
t
设系统的状态方程为 x&= f (x,t) ，且其平衡状态为 xe 0 ，如 果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 V (x,t) ，并且满足 条件：
（1）V (x,t) 为正定；
（2）V&( x,t) 为负定；
则系统的平衡状态 xe 0 是渐近稳定的，并称 V (x,t) 是该系统 的一个李雅普诺夫函数。进一步，如果还满足