滑模控制

滑模变结构理论
一、引言
滑模变结构控制本质上是一类特殊的非线性控制,其非线性表现为控制的不连续性,这种控制策略与其它控制的不同之处在于系统的“结
构”并不固定,而是可以在动态过程中根据系统当前的状态(如偏差及其
各阶导数等)有目的地不断变化,迫使系统按照预定“滑动模态”的状态
轨迹运动。

由于滑动模态可以进行设计且与对象参数及扰动无关,这就使
得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线
辩识,物理实现简单等优点。

该方法的缺点在于当状态轨迹到达滑模面后,难于严格地沿着滑模面向着平衡点滑动,而是在滑模面两侧来回穿越, 从而产生颤动。

滑模变结构控制出现于20世纪50年代,经历了 50余年
的发展,已形成了一个相对独立的研究分支,成为自动控制系统的一种一
般的设计方法。

以滑模为基础的变结构控制系统理论经历了 3个发展阶
段.第1阶段为以误差及其导数为状态变量研究单输入单输出线性对象的
变结构控制; 20世纪60年代末开始了变结构控制理论研究的第2阶段, 研究的对象扩大到多输入多输出系统和非线性系统;进入80年代以来, 随着计算机、大功率电子切换器件、机器人及电机等技术的迅速发展, 变
结构控制的理论和应用研究开始进入了一个新的阶段, 所研究的对象已
涉及到离散系统、分布参数系统、滞后系统、非线性大系统及非完整力
学系统等众多复杂系统, 同时,自适应控制、神经网络、模糊控制及遗传
算法等先进方法也被应用于滑模变结构控制系统的设计中。

二、基本原理
带有滑动模态的变结构控制叫做滑模变结构控制(滑模控制)。

所谓滑动模态是指系统的状态被限制在某一子流形上运动。

通常情况下,系统
的初始状态未必在该子流形上,变结构控制器的作用在于将系统的状态
轨迹于有限时间内趋使到并维持在该子流形上,这个过程称为可达性。

系
统的状态轨迹在滑动模态上运动并最终趋于原点,这个过程称为滑模运
动。

滑模运动的优点在于,系统对不确定参数和匹配干扰完全不敏感。

下
图简要地描述了滑模变结构控制系统的运动过程,其中S(t)为构造的切
换函数(滑模函数), S(t)=0为滑模面。

图1
为了更好的解释滑模变结构控制,考虑如下单输入线性系统的状态调节问题：
(t) = A (t) + Bu(t)x x
其中, (t)R (t)R x u ∈∈和，分别表示系统的状态和输入。

在线性系统状态调节器设计中,状态反馈控制器设计为:
u(t) = Kx(t)
其中,状态反馈阵K 可以通过极点配置方法或者线性二次调节器方法设计。

可以看到,上面设计的控制器是固定不变的,但是在滑模变结构控制系统中,控制器结构根据切换函数而变化。

滑模变结构控制器通常设计为如下形式:
(t)S(t)>0(t)(t)S(t)<0u u u +-⎧⎪=⎨⎪⎩
其中, S(t)为切换函数, S(t)= 0为滑模面。

因此,变结构控制主要体现为滑模面两侧所设计的控制器-(t)(t)u u +≠。

从上式可以看出，当系统状态从区域}{+=(t)(t)0x S ϕ>进入}{=(t)(t)0
x S ϕ-<时，系统由(t) = A (t) + Bu (x(t),t)x x +变成(t) = A (t) + Bu (x(t),t)x x -，即滑模变结构
控制系统在滑模面S(t)=0附近不连续。

因此,滑模变结构控制的本质是将具有不同结构旳反馈控制系统按照一定的逻辑规则进行切换,并且使得闭环控制系统具备渐近稳定等良好的动态品质。

滑模变结构控制系统的响应由到达(或趋近)阶段、滑动阶段和稳态阶段组成,因此,滑模变结构控制需要满足以下三个条件:
(1)滑模面满足可达条件,即系统状态轨迹于有限时间内到达切换面S(t)=0上;
(2)滑模面上存在滑动模态;
(3)滑动模态具有渐近稳定等良好的动态品质;
三、控制的设计
滑模控制的设计一般包含以下两步:第一,设计适当的滑模面,使得系统的状态轨迹进入滑动模态后具有渐近稳定等良好的动态特性;第二,设计滑模控制律,使得系统的状态轨迹于有限时间内被趋使到滑模面上并维持在其上运动。

(1)滑模面的设计
目前,滑模面主要有线性滑模面、分段滑模面、移动滑模面、积分型滑模面和模糊滑模面等。

滑模面的设计方法有基于标准型(正则型)的设计方法、基于李雅普洛夫的设计方法、基于频率整形的设计方法以及基于LMI 方法等。

面时,不仅要选择合适的设计方法,还要考虑被控系统的结构特点,设计形式恰当的滑模面。

本文工作釆用的主要是线性滑模面和积分型滑模面,下面我们将针对这两种滑模面进行阐述。

1)线性滑模面
1)线性滑模面研究表明,线性滑模面是建立滑模变结构控制系统的一种最好结构,因此,我们首先介绍常用的基于标准型的线性滑模面设计方法。

考虑线性不确定系统:
(t) = A (t) + Bu(t)(t)x x Df + （1-1） 其中, ()n x t R ∈为系统状态，(t)m u R ∈，输入矩阵n m B R ⨯∈为列满秩，(t)f 为外界干扰。

构造线性切换函数：
S(x) = Cx(t) （1-2） 当系统（1-1）中的干扰(t)f 满足匹配条件时，存在矩阵M ，使得D=BM ，对系统(1-1进行相似变换z = Tx 得到标准型为:
1111122(t)(t)A Z (t)Z A Z =+
22112222(t)(t)A Z (t)B (u(t)Mf(t))Z A Z =+++ （1-3） 其中，11121112212220,,A A TAT TB C CT C C A A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，此时滑模函数（1-2）变为：
1122(t)()(t)(t)Cz C z C t z S =+= 当系统处于滑动模态阶段时,系统状态轨迹到达滑模面S(t)=0,即 1122(t)(t)0C z C z +=
假设CB 非奇异，由于B 2是列满秩的，因此,矩阵C 2非奇异，结合上式可得： 12211(t)(t)z C C z -=
将其带入系统（1-3）)的前n-m 维子系统得到滑动模态: 1
11112211(t)()Z (t)Z A A C C -=- （1-4）
利用线性系统理论的传统设计方法,如极点配置设计切换函数中的12C C 和可以保证滑动模态(1-4)的稳定性以及其它动态品质。

近年来,基于标准型设计滑模面的方法得到了进一步的推广和应用。

这种方法应用到线性多变量系统的滑动超平面设计中,同时将二次型范函指标优化方法引入到滑模面的设计中。

值得一提的是Slotine J.-J.E.在1983提出的对于相变量表示的非线性系统给出一个很好的线性滑模面形式： 11()n d s x dt
λ-=+ 其中，λ>0。

对于这种线性滑模面形式下面将详细叙述其原理：
考查单输入动态系统：
(x)b(x)u n x f =+
u 是控制输入，(n 1)[,,...,]T x x x x -=是状态向量，f(x)不是精确已知，但是不精确性范围的上界是x 的一个已知连续函数，类似的b(x)不精确已知，但其符号已知并且其范围受x 的连续函数界定。

记
d x x x =-
令：
(1)[,,...,]n T d x x x x x x -==-
用标量方程S （x,t ）=0定义状态空间n R 中的时变曲线S （t ）
1(x;t)()n d s x dt
λ-=+ （1-5） 当给定初始状态：(0)x(0)d x =时，跟踪d x x ≡的问题就等价于当t>0时，轨线必须停留在曲面S （t ）上，事实上0s ≡代表了一个线性微分方程，怎唯一的解是0x ≡。

因此跟踪n 维向量d x 的问题可简化成使标量S 恒为零的问题。

更确切的说，跟踪n 维向量d x 的问题能够有效的被用S 表示的一阶镇定问题取代.事实上（1-5）包含(1)n x -，则对S 微分一次就可使得u 出现。

进一步的，S 的界可直接转换成跟踪误差向量x 的界限，因此标量S 是跟踪性能的真实度量，特别的，假定(0)0x =，则有：
0,(t)0,(t)(2)0,...,1i i t S t x i n φλε
∀≥≤⇒∀≥≤=- （1-6） 其中1/n εφλ-=，根据（1-5）定义，跟踪误差x 可由S 通过一系列的一阶低通滤波器获得，记y 1为第一个滤波器的输出，可得：
(t T)10(t)(T)dT t
y e s λ--=⎰ 从s φ≤可得：
(t T)10y (t)(/)(1e )/t t e dT λλφφλφλ---≤=-≤⎰
对于第二个滤波器运用相同的推理，并继续，直到1y n x -=。

同理可得
1/n x φλε-≤=
类似的，()
i x 可以看成是S 通过图2中的步骤得到，由前面的结论得 11/n i z φλ--≤
其中z 1是（n-i-1）阶滤波器的输出。

此外，注意到：
1p p p p p λλλλλλ+-==-+++ 可见图2中的步骤意味着：
(i)1()(1)(2)i i n i x φλλελλ
--≤+= 这就是界（1-6），最后当0x ≠时，界（1-6）可以渐进的得到，即在一小段恒定时间λ（n-1）/内得到，因此这就由一个一阶镇定问题有效地取代了n 阶的跟踪问题，并且用（1-6）式量化了性能度量的相应变换。

图2
可以选择(x)b(x)u n x f =+中的控制u ，使得曲面S （t ）之外满足：
21d 2s s dt
η≤- （1-7） 以得到使得S 恒为零的简化问题，其中η是正常数，（1-7）表达的是以2s 为度量到曲面
的平方距离沿所有系统轨线减小，因此使得轨线趋近于曲面S(t)，如图3所示，轨线一旦进入曲面就将一直停留在曲面上，换句话说，系统轨线满足（1-7）即滑动条件，使曲面成为一个不变集。

此外，（1-7）表明在有一些干扰和系统不确定时，仍保持曲面是个不变集，从图3看出，不在曲面上的轨线仍能指向曲面运动。

满足（1-7）的曲面S （t ）称为滑动曲面，并且系统的性态一旦在曲面就被称为滑动形态或者滑动模。

图3
不变集S(t)另一个有趣的方面是，一旦系统轨线在曲面上，系统的轨线由不变集自身的方程定义，即： 1()=0n d x dt
λ-+ 换句话说，S(t)既是一个曲面也是一个动态。

最后，满足（1-7）的条件保证了即使初始条件不严格成立（即x(t=0)偏离了(t 0)d x =）时，系统轨线仍能在小于(t 0)/s η=的有限时间内到达曲面S(t)。

事实上，如果假定S （t=0）>0,记t reach 为到达曲面S=0所需要的时间，对于（1-7）从t=0到t=t reach 积分可得到
0-S （t=0）=S(t=t reach )-S(t=0) ≤ (0)reach t η--
这表明
由S （t=0）<0可以得到类似结果，因此
s(t 0)/reach t η≤= 进而，1(x;t)()n d s x dt
λ-=+一旦在曲面上，跟踪误差以时间常数（n-1）/λ指数趋于零（因设计中共（n-1）个时间常数等于1/λ的滤波器）。

满足滑动条件（1-7）的典型系统性态见图4，其中n=2.滑动曲面是相平面上斜率为-λ，并且包含时变点=[,]T
d d d x x x 的一条直线。

从任何一点开始，状态轨线都可以在小于s(t 0)/η=的有限时间内到达时变曲面，然后曲面以时间常数以时间常数1/λ指数滑动到d x 。

图4
当然考虑到模型的不准确性和干扰的存在性，控制规律穿过S （t ）时必须是不连续的，由于相应控制切换的实现必然是非理想的，如切换不是瞬间的，S 不是无限精确的，这就导致了颤振。

图5
考查二阶系统x f u =+
其中u 是控制输入，x 是输出，动态f （可能是非线性或者时变的）不精确知道，但是估计
值为ˆf
，假定f 的估计误差受已知函数F=F （x, x ）限制，即 ˆf
f F -≤ 例如给定系统
(t)xcos3x u x a +=
其中，(t)a 未知，但是满足 1(t)2a ≤≤
从而得出：
22ˆ 1.5cos30.5cos3f
x x F x x =-= 为了使系统跟踪d (t)x (t)x ≡，根据1(x;t)()n d s x dt
λ-=+，定义滑动曲面S=0，即 s (
)d x x x dt
λλ=+=+ 于是有
s d d x x x f u x x λλ=-+=+-+
使得s =0的一个连续控制规律的最好逼近ˆu
为： ˆˆ=-d u
f x x λ+- ˆu
可解释为等价控制的最好估计。

不管动态f 的不确定性，为了满足滑动条件（1-7），在穿越曲面S=0时，在ˆu
上加上一个不连续项，即 u=ˆu
-ksgn(s) 通过把k=(x,x)k 选的足够大，可使得（1-7）成立，事实上由上述综合可得
21d ˆˆ.[f f ksgn(s)]s (f f)s k 2s s s s dt
==--=-- 取 k=F+η 从ˆf
f F -≤可得
21d 2s s dt
η≤- 这就是期望的，由k=F+η知，当曲面S=0时控制的不连续部分k 随参数不确定范围的增加而增加，还注意到ˆf 和F 不需要只依赖x 或者x ，它们可以是系统任何外部可测变量的函数，
也可能明显依赖于时间。

2)积分型滑模面
滑模控制一个显著的优点是系统的滑动模态对不确定参数以及匹配干扰具有不变性,但是在趋近阶段系统没有这种性质,因此,一个很自然的想法是消除趋近运动,使得系统具有全局鲁棒性。

为此,Lee 和Utkin 提出了积分滑模(Integral sliding mode,ISM)的设计思想,保证从初始时刻到最终时刻系统都具有滑动模态。

之后,Niu 设计了一种鲁棒积分滑模面,研究了时滞不确定随机系统的滑模控制问题。

Lian 进一步构造了一个依赖于模态的非线性积分滑模面,分析了一类非线性切换系统的指数稳定性。

可以看到,积分型滑模面为研宄复杂系统的滑模控制带来了很多便利,但是与传统的滑模控制器设计相比,系统的滑动模态不再是降阶的。

通过使用积分控制，即在形式上令0(r)dr t
x ⎰为感兴趣的变元，可得到上述的类似结论，系统x f u =+相对于这个变元是三阶的，并且由1(x;t)()n d s x dt
λ-=+得 2200()()2t t d s xdr x x xdr dt
λλλ=+=++⎰⎰ 然后代替ˆˆ=-d u
f x x λ+-，在u=ˆu -ksgn(s)和k=F+η形式上不变时，我们有 2ˆˆ2d u
f x x x λλ=-+--
注意：0(r)dr t
x ⎰可以用dr t
x ⎰来代替，即，积分下限允许相差一个常数。

不考虑(0)d x ，适当选择这个常数，可使得S （t=0）=0,即令
202(0)2(0)t s x x xdr x x λλλ=++--⎰
（2）滑模控制律的设计
滑模控制律必须使得从状态空间任一点出发的状态轨线都能在有限的时间内到达滑模面并一直维持在其上运动。

因此,滑模变结构控制的核心问题是设计滑模控制律u （t)使得到达条件(t)S (t)0T S <成立。

由于设计滑模控制律所依据的到达条件不同,并且对不同形式的到达条件分析方法也不同,因此,滑模控制律的结构也不尽相同。

综合考虑,滑模控制律设计方法可以分为以下两类:
1） 不等式形式到达条件：
(t)0(t)0
lim (t)0,lim (t)0S S S S +-→→<> 由于不等式到达条件不能有效的反应系统状态趋近滑模面过程的品质,如快速性等。

因此,高为炳进一步提出了等式形式到达条件的控制律,即趋近律法。

2）等式形式到达条件
本文仅以指数趋近律为例进行说明。

选取指数趋近律:
(t)sgn(S(t))kS(t)S ε=--
其中，ε>0,k>0为待设参数。

从上式可以看到,等式形式的趋近律始终满足到达条件并且通过调整参数ε和k 可以有效地调节系统趋近阶段的运动品质。

另外,将系统(t) = A (t) + Bu(t)(t)x x Df +和S(x) = Cx(t)带入上式,可以非常容易地得到滑模变结构控制器(t)u +。

3）切换系统的滑模控制
最近,滑模控制方法开始被用来研究切换系统并取得了很多重要的结论。

其 中,一类时滞切换系统的滑模控制,通过对系统进行标准型变换,设计了一个线性滑模面,运用平均驻留时间方法分析了滑动模态的指数稳定性,设计了滑模控制律,保证系统状态轨迹于有限时间内被趋使到滑模面上。

之后,上述结果又进一步被推广到了随机切换系统和离散时间切换系统。

对于一类带有不确定参数和匹配干扰的时滞切换系统,Lian 对其鲁棒控制器设计问题展开了研究,基于标准型方法构造了一个线性滑模面,设计依赖于时间和状态的切换信号,基于多Lyapunov 函数理论,分析了滑动模态的渐近稳定性,设计滑模控制器,保证了滑模面的可达性,并且进一步设计了鲁棒滑模控制器,分析了闭环系统满足给定干扰抑制水平下的鲁棒控制。

值得注意的是,在上述关于切换系统滑模控制的工作中都假设切换制系统的
输入矩阵相同,但是对于实际系统而言,输入通道相同这一约束条件并不一定被满足。

当切换系统输入矩阵不同时,按照己有的设计方法设计的滑模面都是依赖于模态的多滑模面。

当系统状态在不同滑模面之间进行切换时,分析稳定性具有很大的挑战性。

因此,对于输入矩阵不同的切换系统,研究其滑模控制具有重要的理论意义。

此外,有关切换系统在执行器受限、执行器故障、自适应控制、以及信息非完整传输等方面的工作非常少,因此,切换系统的滑模控制在这些方面还有待作近一步的研究。