八年级下册数学16.1 二次根式(第2课时)课件

（2）（3 6）2 32 （ 6）2
96
54.
探究新知
素养考点 2 利用 ( a )2 (a 0的) 性质分解因式
例2 在实数范围内分解因式：
（1）4x2-5 ;
(2)m4-6m2+9.
解：（1）4x2 5 (2x 5)(2x 5);
（2）m4 6m2 9 (m2 3)2 (m 3)2 (m 3)2.
探究新知 【猜一猜】当a＜0时，a2 =-a ？
a(a＜0) 平方 -2 运算
-0.1 2 ..3.
a2
算术平 a2
4 方根
2
0.01
0.1
4
2
.9..
.3..
观察两者有什么关系？
探究新知
归纳：
a2 的性质：
a (a≥0) a2 a
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的 绝对值.
化简下列根式，想一想
22 2
0.12 0.1
（2）2 2 33
02 0
化简后，你能确定 a2 (a 0) 的化简结果吗？
探究新知
填一填： a2 ＝a (a≥0).
a(a≥0) 平方
a2
算术平 a2
2 运算
4 方根
2
0.1
0.01
0.1
2
4
2
3
9
3
0
0
0
...
...
...
观察两者有什么关系？
课堂检测
拓广探索题
已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
a b c2 b c a2 c b a2 .
分析： 利用三角形
三边关系
三边长均为正数，a+b+c＞0
两边之和大于第三边，b+c-a ＞0，c-b-a＜0
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，
a取任何实 数
|a|
表示一个实数 a的平方的算 术平方根
探究新知
素养考点 2 几何图形与 a2 的性质相结合的题目
例2 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
请你化简: a2 b2 a b2 .
a
b
•
•
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a.
探究新知 知识点 1
2
a
（a≥0)
性质
（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫 做a的平方根. a的平方根是 a
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术
平方根.
用 aa (a≥0)表示.
探究新知
（1）填空：
=
y2
2
2 2
=（y 2)2 ( y 2)2.
课堂检测
能力提升题
实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
化简： a2 4ab 4b2 a b . b
a0
解：根据数轴可知b＜a＜0， ∴a+2b＜0，a-b＞0，
则 a2 4ab 4b2 a b
=|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b．
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．
课堂小结
性质 二次根式
( a )2 a (a 0)
a2 =a (a ≥0)
拓展性质
a2 = a（a为全体实数）
在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂 满了冰凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在 大地毯上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在 告我们：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热 闹起来。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽 如一夜春风来，千树万树梨花开。真好看呀！
解: （1） （0.76）2 0.76 ; （2）（ 15）2 15;
（3）（-2）2 22 2 ; （4）（-1.2）2 1.22 1.2.
课堂检测
5.在实数范围内分解因式：
（1）x2-3;
(2)y4-4y2+4.
解：（1）x2-3
(2)y4-4y2+4
=（x 3)(x 3) ; =(y2-2)2
警示：a2 a而3.14＜π，要注意a的正负性.
探究新知
【讨论】（1）在 a2 a(a 0) 中，可否去掉“a≥0”？ 如果去掉“a≥0”,结论将会发生怎样的变化？ （2）第二小题中的 （-5）2 能否直接使用性质 a2 a(a 0)
进行化简？
探究新知
方法点拨
计算 a2 一般有两个步骤: ①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形
探究新知
素养考点 1 利用 a2 (a 0)的性质进行计算
例1 化简：
（1） 16 ;
（2） （-5）2 ;
（3） 10-2 ;
（4）（3.14 - ）2 .
解：(1) 16 42 4 ;
(2) （-5）2 52 5;
Βιβλιοθήκη Baidu
(3) 10-2 （10-1）2 10-1;(4) （3.14-π）2 3.14-π π-3.14 .
⑥x－1≤0;
⑦10x+5y=15 ;
⑧
a c. b
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
探究新知
素养考点 2 列代数式
例2 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度 是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶 时的速度； （2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡， 若面积为S，用代数式表示出它的长.
7;
（4）
2
81=
81 ;
（5） 0.62 =____0_._6; （6）（ 10-3）=2 _____1_0_-3.
探究新知 【议一议】如何区别 ( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算 先开方,后平方 先平方，后开方 顺序看
从取值 范围看 从运算 结果看
意义
a≥0
a
表示一个非负 数a的算术平 方根的平方
例1 计算： （1）（ 1.5）2 ； （2）（2 5）2 .
解：（1）（ 1.5）2 1.5 ;
(2)可以用到幂 的哪条基本性 质呢？
（2）（2 5）2 22 （ 5）2 4 5 20.
积的乘方： （ab）2=a2b2
巩固练习
计算：
（1）（ 7）2 ;
（2）（3 6）2.
解:（1）（ 7）2 7 ;
-1
14可正出数来，之零前和我负们数有.
1
1161
44
a为任意数
a
16
平方之门 算术平方根之门
a2
a2
【想一想】 你发现了什么？
素养目标
3. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表 示数量关系方面的作用. 2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
1. 经历探索性质（ a ）2 = a（a≥0）和 a2= a （a≥0）的过程，并理解其意义，体验归纳、 猜想的思想方法.
3
3
因此 ( 2 )²=2
,
11
( 3 )²= 3
,
( 0 )²=0
探究新知 归纳：
( a )2 (a 0)的性质： 一般地，( a )2 ＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 a 有意义的前提条件.
探究新知
素养考点 1 利用 ( a )2 (a 0)的性质进行计算
总结：本题逆用了 ( a)2 aa≥0 在实数范围内
分解因式.
巩固练习
在实数范围内分解因式：
（1）x2-11;
(2)x4-14x2+49.
解：（1）x2-11
=(x+ 11)(x- 1);1
(2) x4-14x2+49 =(x2-7)2
=(x- 7)2(x+ 7)2.
探究新知 知识点 2
a2 (a 0的) 性质
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式（第2课时）
导入新知
【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
0 -4 1
1 2
1
-1
4
1 4
算术平方根之门
a
a
a≥0
平方之门
( a )2
我们都是非 负数哟！
导入新知
【思考】若下列数字想从客厅出来，谁我能们顺都利是通非过负两数扇，
门出来呢？ 0 -4 1
冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这 广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。
A．﹣2
B．±2
C．2
2. 当1<x<3时， (x 3)2的值为（ D）
x3
D．4
A.3
B.-3
C.1 D.-1
3.在下列各式中，不是代数式的是（ B ）
A.7
B.3＞2
x
C. 2
D．
2 x2 y2 3
课堂检测
4.计算： （1）（0.76）2 ; （2）（ 15）;2 （3） （- 2）; 2（4） （-1.2.）2
探究新知 素养考点 1 利用代数式的定义判断代数式 m
例1 下列式子:(1)x; (2)a-b; (3) n ;(4) 1 x2 ; (5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中是代数式的有( B )
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
巩固练习
下列式子是代数式的有 ( C)
①a2+b2 ; ② ab ; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）;
( 4)2 ( 4 ),
(
1 3
)2
(
1 3
),
( 2 )2 ( 2 ) ( 0)2 ( 0 )
（2）通过（1）的计算，你能确定( a )²（a≥0）的
化简结果吗？说说你的理由.
探究新知
4 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于4的非负数，因此有( 4 )²=4.
同理， 2, 1 , 0 分别是 2, 1 ,0 的算术平方根.
巩固练习
如图，是一个圆形挂钟，正面面积为S，用代
S
数式表示出钟的半径为_______π___.
连接中考
1.计算（ 3）2 1的结果是___4_．
2.下列等式正确的是（ A ）
A．（ 3）2 3
B． （-3）2 -3
C． 33 3
D．（- 3）2 -3
课堂检测
基础巩固题
1.化简 （-2）2的结果是（ C ）
解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 (v 2.5) km/h，逆水行驶的速度是(v 2.5k) m/h． （2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 x 1S所5 , 以它的长为 5 S .
15
探究新知
方法点拨 列代数式的要点： ①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间 的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、 分、倒数、相反数等； ②理清语句层次明确运算顺序； ③牢记一些概念和公式．
t
特征？
（1）含有数或表示数的字母； （2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．
探究新知
归纳：
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方 和开方）把 数 或 表示数的字母 连接起来的式子，我 们称这样的式子为代数式. 【想一想】到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
代数式
整式 分式 二次根式
式,即 a2 a ;
②去掉绝对值符号,即
a
a(a 0) a(a 0)
.
巩固练习
请同学们快速分辨下列各题的对错．
(1) 22 2
2
(2) 2 2
（ ×） （ ×）
2
(3) 2 2
（ √）
(4) 22 2 （ √ ）
巩固练习
化简：
（1） 9 =
3 ; （2） (4)=2
4;
（3） 72 =
巩固练习
实数a在数轴上的位置如图所示，化简 a 2 (a 1)2
的结果是 1 .
-1 0 1 a 2
实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示, 化简
a (a b)2 的结果是( A )
a 0b
A.-2a+b B.2a-b
C.-b
D.b
探究新知
知识点 3
代数式的定义
回顾我们学过的式子，如 5，a，a+2b， ab，s ， x3， 3， a（a≥0），这些式子有哪些共同