微积分及解方程

例如：上一讲的【例5】：Fibonacci（斐波纳契数列）
0 1 1 2 3 5 8 …… an …… a0 = 0 a1 = 1 a2=a0+a1 a3=a1+a2 a4+=a2+a3
a5+=a3+a4 a6+=a4+a5
从前有一对长寿兔子，从 出生后第3个月起每个月都生一 对兔子。新生的小兔子长到第3 个月后每个月又都生一对兔子， 这样一代一代生下去，假设所 有兔子都不死，求兔子增长数 量的数列（即每个月的兔子总 对数）。
s ai
i 1
n
( 其中 a1=1,
ai=i * ai-1 )
1.用普通迭代法求方程的近似实根
普通迭代法的基本思想：
设 f(x) 是实函数, 求方程f(x)=0 的实根。
注意：g(x)必须满 足一定的条件，才 能保证序列{xn}在 某一区间上的收敛 性。这个问题已超 出本课讨论的范围。
首先将f(x)=0化为它的等价方程x=g(x);
a1
a2
a3
a4
a5 94
a6 46
a7 22
a8 10
a9 4
1534 766 382 190
a3=2(a4+1)
a10 1
a1=2(a2+1)
a5=2(a6+1)
a7=2(a8+1)
a9=2(a10+1)
a2=2(a3+1)
a4=2(a5+1)
a6=2(a7+1)
a8=2(a9+1)
0.迭代法的一般ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ义
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程。
再如：编程求a+aa+aaa+ …+ aa…a(n个a)的值。其中a是一个从1到9之 间的一个数字。要求a和n从键盘输入。 提示：累加项为term =term*10+a, term初值为0。 考虑序列： a0 = 0 a1 = a = a0*10 + a a2 = aa = a1*10 + a a3 = aaa =a*100+ a*10 + a = 10*(a*10 + a) + a = a2*10 + a a4 = aaaa = a3*10 + a …… an = an-1*10 + a 本题等价于求迭代序列的前n项和
教学重点：
1.用普通迭代法求方程的近似实根 2.用二分法求一元非线性方程在某区间上的近似实根 3.用牛顿切线法（又叫Newton迭代法）求方程在某区间 的近似实根 4.用矩形法求一元函数在某区间上的积分近似值
5.用梯形法求一元函数在某区间上的积分近似值
6.加密、解密算法
0.迭代法的一般含义
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程。
2.用二分法求方程的近似实根
二分法的基本思想：
y a+b a
f((a+b)/2)
f(b) b
y=f(x) x
设 f(x) 是连续、实函数, 求方程f(x)=0 的实根。
f(a)
先找到区间(a,b)，使得f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有实根： (1) 求f((a+b)/2)。如果f((a+b)/2)=0，则(a+b)/2 就是方程的一个实根，任务完成。
s ai
i 1
n
(其中a0=0, ai=ai-1*10 +a)
0.迭代法的一般含义
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程。 再如 求1!+2!+3!+4!+…+10!
考虑序列： a1=1! = 1 a2 = 2 * a 1 a3 = 3 * a 2 a4 = 4 * a3 ……. an = n * an-1
再从某一实数 x0 出发，求序列｛xn｝,其中： xn-1=g(xn) n=0，1，2，…
如果序列｛xn｝有极限，不访设xn→a,当n→∝。对上式两端取极限， 就有 a=g(a), 即 f(a)=0
也就是说，a是方程f(x)=0的一个实根。
其中，x0 称为初始近似根，xn称为n次近似根，g (x) 称 为迭代函数。误差可用|xn-xn-1|估计。
…… an=an-2+an-1 ……
0.迭代法的一般含义
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程。
再如：猴子吃桃 猴子第一天摘下若干桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。 第二天猴子又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃一个。以后每天都吃掉前一 天剩下的一半零一个。到第10天再想吃时，发现只剩下一个桃子。问猴子 第一天共摘了多少桃子。
2.用二分法求方程的近似实根
例2：编写程序，用二分法求一元非线性方程f(x)=2x+sinx-2.15=0 在区间 (0，5)上的近似实根r，精确到0.0001。
#include <stdio.h> #include <math.h> main() { float a=0,b=5,ab, fa, fb, fab; fa=2*a+sin(a)-2.15; fb=2*a+sin(b)-2.15; if( fa * fb > 0 ) printf(“方程可能无实数根！”); else { /* 求近似实根 */ } /* 求近似实根 */ do { ab=(a+b)/2 fab=2*ab+sin(ab)-2.15 ; if (fa * fab < 0) { b=ab; fb=fab; } else { a=ab; fa=fab; } } while(fabs(fab)>=1e-4) ; printf(“方程的近似实根为:%.4f\n",ab);
(2) 如果f((a+b)/2)与f(b)异号, 则说明方程在区间((a+b)/2，b)内实根，令a=(a+b)/2， 转步骤(1)继续计算。
(3) 如果f((a+b)/2)与f(a)异号，则说明方程在区间(a,(a+b)/2)内有零点，令b=(a+b)/2， 转步骤(1)继续计算。 利用这种方法，每次可以把f(x)的零点所在小区间收缩一半，如此下去，区间的 两个端点将逐步逼近函数的零点。此法称为“二分法”。 实际操作时，当f((a+b)/2)小于要求的误差时，则停止计算，此时(a+b)/2称方 程的一个近似实根。
1.用普通迭代法求方程的近似实根
例1：编写程序，用普通迭代法求方程f(x)=x+sin(1.2x)-2.15=0在区间[0，5] 上的近似实根。迭代初值自选，精确到0.0001。
以上方程的等价形式：x=2.15-sin(1.2x)
迭代函数g(x)
#include <stdio.h> #include <math.h> 此程序可作为普通迭代法求方程近 main() 似实根的通用模板，只需更改： { （1）迭代初值； double x0 , x1; x1=2.5; /* 初始近似根 */ （2）迭代函数； do （3）与具体方程相关的提示信息。 { x0=x1; x1=2.15-sin(1.2*x0); /* 迭代公式 */ } while(fabs(x1-x0)>=1e-4); printf(“方程x+sin(1.2x)-2.15=0的近似根:”); printf("%.4f\n",x0); }