广义积分与含参变量的积分深刻复习

§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义b:设函数f(x)在(-∞,b]上有定义，且对任意
b
A<b,
f(x)在[A,b]上可积。若
lim
A
A
f
(x)dx 存在，则称
无穷积分
b
f (x)dx
收敛，并定义
b f (x)dx lim
b f (x)dx；
A A
否则称无穷积分发散。
§1 广义积分
1.无穷积分
引理：若f(x)是[a,+∞)上的非负可积函数，则
a f (x)dx 收敛的充要条件是：对一切A≥a，
积分 A a
f (x)dx
有界。
(5)无穷积分收敛的判别法
定理1（比较判别法）:设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义， 且当x≥X≥a时有
0≤f(x)≤g(x). 又设f(x)与g(x)在任一区间[a,b]上可积，则
a f (x)g(x)dx.
若无穷积分
A
a
f
(x)dx
收敛，且函数g(x)在
[a,+
∞)
上单调有界，则无穷积分
a
f
(x)g(x)dx
收敛。
2. 瑕积分
(1)定义a：设函数f(x)在(a,b]上有定义，且f(x)在任意
区间[a+ε,b]上可积,但x→a+0时f(x)无界，我们称a为
瑕点。若极限 lim b 00 a
(1)由 g(x)dx 收敛可推出 f (x)dx 也收敛；
a
a
(2)由 f (x)dx 发散可推出 g(x)dx 也发散。
a
a
(5)无穷积分收敛的判别法
推论（比较判别法的极限形式）:设当 x≥a 时，f(x)≥0，
g(x) ≥0，它们在任意区间[a,b]上都可积，且
则有以下结论：
A
| a f (x, y0 )dx g( y0 ) | .
§3 含参变量的广义积分
(3)含参变量无穷积分一致收敛
定义：设无穷积分
g(y)
f (x, y)dx
对于区间Y中的一切y都
a
收敛(Y 可以是开区间，闭区间，半开半闭区间或无穷区间)。若
对任给ε>0，存在一个与y无关的实数N>a，使当A>N时，对一切
发散。
2. 瑕积分
(2)瑕积分收敛的充要条件
柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分
b
a
f (x)dx
收敛的
充要条件是: 任给ε>0, 存在δ>0, 只要0< δ 1< δ , 0<
δ 2< δ , 便有
| a2 f (x)dx | . a1
2. 瑕积分
(3)瑕积分的绝对收敛与条件收敛
若瑕积分
b
|
f
任给ε>0,存在正数A0>a,只要A>A0, A’>A0,便有
A'
| A f (x)dx | .
1.无穷积分
(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义
若
|
f
(x) | dx
收敛，则称
f (x)dx 绝对收敛；
a
a
若 f (x)dx 收敛，但
|
f
(x) | dx
发散，则称
a
a
f (x)dx 条件收敛。 a
§2 含参变量的正常积分
3.可微性
定理3：设二元函数 f(x,y) 与 fy(x,y) 都在闭矩形域
[a,b] ×[c,d]上连续，则函数
间[c,d]上可微。且
g'(y)
g
(y
b a
b
) a fy(
f(
x,
x,
y
y)dx
)dx,
在区
即
d dy
b
f (x, y)dx
a
b
a f y (x, y)dx.
并考虑无穷积分
a f (x)g(x)dx.
A
设对一切A≥a，积分 a f (x)dx有界，即存在常数M>0使
A
a f (x)dx M , A a.
又设函数g(x)在[a,+ ∞)上单调且趋于零(当x→+ ∞时)，则
上述无穷积分收敛。
(5)无穷积分收敛的判别法
定理3(阿贝尔判别法): 设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义， 并考虑无穷积分
若极限 lim c f (x)dx 与 lim b f (x)dx 都存在，则称瑕
00 a
00 c
积分
b
a
f (x)dx
收敛，并定义
b
f (x)dx lim
c
f (x)dx lim
b f (x)dx.；
a
00 a
00 c
若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称
瑕积分
b
a
f
(x)dx
a yy0
f (x, y)dx.
§2 含参变量的正常积分
2.可积性
定理2：设二元函数f(x,y)在闭矩形域[a,b] ×[c,d]上
连续，则函数 且
g(y)
b
a
f (x, y)dx
在区间[c,d]上可积。
d
bd
c g( y)dy a {c f (x, y)dy}dx,
即d
b
b
d
c dya f (x, y)dx a dxc f (x, y)dy.
lim f (x) k, x g(x)
(1)当0≤k<+∞时,若
g(x)d收x 敛则 a
f (x)d收x 敛； a
(2)当0<k ≤ +∞时,若
g(x)d发x 散则 a
f (x)d发x 散。 a
当0<k<+∞时,两无穷级数同时收敛或同时发散。
(5)无穷积分收敛的判别法
定理2(狄利克莱判别法):设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义，
0
否则称无穷积分发散。
我们得出结论: dx 1 xp
当p 1时,
1
1 xp
dx
发散,
当p>1时积分有值
1
1 xp
dx lim b
b1 0 xp
dx
lim ( 1 b p1 1 )
b p 1
p 1
( 1 ) 1 p 1 p 1
1.无穷积分
(2)无穷积分的性质
若两个无穷积分
在Y上点点收敛。若存在常数l>0,不论N多么大,
总存在A>N及yA∈Y，使
|
A
f
(x,
yA)dx |
l或者 lim yy0
f (x, y)dx k 0,
A
则无穷积分在Y上不一致收敛。
§3 含参变量的广义积分
(5)无穷积分一致收敛的充要条件
柯西收敛准则:无穷积分a f (x, y)dx在区间Y上一致收敛
f (x)dx 存在，则称瑕积分
b a
f (x)dx
收敛，并定义
b f (x)dx lim
b f (x)dx；
a
00 a
否则称瑕积分发散。
b 1 收敛， p 1,
0 x p dx发散， p 1.
2. 瑕积分
(1)定义c：设函数f(x)在(a,b)上有定义，且f(x)在任意
区间[a+ ε, b -ε]上可积, a与b均为f(x)的瑕点。
§2 含参变量的正常积分
4.积分上下限是参变量的函数的情况
v( y)
考虑参变量积分 g( y) f (x, y)dx u( y)
若f(x,y)在 [a,b] ×[c,d]上连续,u(y),v(y) 在[c,d]上连续,
且值域包含于[a,b]之内,则g(y)在[c,d]上连续并可积。
若f(x,y)及fy(x,y)在 [a,b] ×[c,d]上均连续,u(y),v(y)在[c,d]
定理4（比较判别法）:设f(x)与g(x)在(a,b]上有定义，
且a是它们的瑕点。设当x∈(a,c) 属于(a,b)时有
0≤f(x)≤g(x)，
则
(1)由
b
a
g(x)dx
收敛可推出
b
a
f
(x)dx 也收敛；
(2)由
b
a f (x)dx
发散可推出
b
a g(x)dx
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也发散。
2. 瑕积分收敛的判别法
推论（比较判别法的极限形式）:若f(x)与g(x)在(a,b]有定义，
上可导，且值域包含于[a,b]之内,则g(y)在[c,d]上可导,
并有
g'(y)
v( y)
u( y) f y (x, y)dx
f (v( y), y)v'( y)
f (u( y), y)u'( y).
§3 含参变量的广义积分
1.含参变量的无穷积分 (1)无穷积分点点收敛 设二元函数f(x,y)在a≤x<+∞, c≤y ≤ d上有定义。 若对任意取定的一个y, 无穷积分
f (x)dx 与
g(x)dx
都收敛，
a
a
则无穷积分
a [k1 f
(x) k2 g(x)]dx
也收敛，且
a [k1 f (x) k2g(x)]dx k1 a f (x)dx k2 a g(x)dx,
其中k1,k2为常数。
1.无穷积分
(3)无穷积分收敛的充要条件
柯西收敛原理:无穷积分a f (x)dx 收敛的充要条件是:
a f (x, y)dx
都收敛，则称无穷积分在[c,d]上点点收敛。
§3 含参变量的广义积分
(2)含参变量的无穷积分
g( y) a f (x, y)dx, c y d.
在y=y0收敛，即指
a
f (x, y0 )dx存在，记为
A
lim
A
a
f (x, y0 )dx g( y0 ).
ε-N语言：对任意ε>0, 存在N(依赖ε和 y0),当A>N时，
§2 含参变量的正常积分
1.连续性
定理1：设二元函数f(x,y)在闭矩形域[a,b] ×[c,d]上
连续，则参变量积分
b
g( y) a f (x, y)dx
在区间[c,d]
上连续。即对任意的y0∈[c,d], 有
b
b
b
lim
y y0
a
f (x, y)dx
a
f (x, y0 )dx
lim
收敛。
b
a f (x)g(x)dx
§2 含参变量的正常积分
含参变量的积分
设u=f(x,y)是[a,b] ×[c,d]上的一个连续函数，对任意
的y∈ [c,d], y到积分值的对应
y
b
f (x, y)dx
a
形成了[c,d]上的一个函数。
例如: e1 x2 sin xdx, 0
sin x
0 x dx
的充要条件是:对任给ε>0,存在与y无关的实数N，使当
A>N, A’>N时，对一切y∈Y,都有
A'
| A f (x, y)dx | .
(1)定义c:设函数f(x)在(-∞,+∞)上有定义，且在任意
区间[a,b]上可积。若
lim
b
b 0
f (x)dx与
lim
a
0 a
f (x)dx
同
时存在，则称无穷积分
f (x)dx
收敛，并定义
f (x)dx lim
b
f (x)dx lim
0 f (x)dx；
b 0
a a
0
f (x)dx f (x)dx f (x)dx.
命题:若
|
f
(x) | dx
收敛,则
f (x)dx
也收敛。
a
a
1.无穷积分
(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义
命题:若 a | f (x) | dx 收敛,则 a f (x)dx 也收敛。
A'
A'
A f (x)dx A | f (x) | dx.
(5)无穷积分收敛的判别法
无穷积分收敛的充要条件
第十一章 广义积分与含参变量的积分
复习
§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义a：设函数f(x)在[a,+∞)上有定义，且对任意
A>a,
f(x)在[a,A]上可积。若
lim
A
A
a
f
(x)dx
存在，则称
无穷积分
f (x)dx
a
收敛，并定义
f (x)dx lim
A f (x)dx；
a
A a
否则称无穷积分发散。
2. 瑕积分收敛的判别法
定理(狄利克莱判别法):设积分
b
a
f
(x)g(x)dx
有唯一的瑕点a,
b
a
f (x)dx
是η的有界函数， g(x)
单调且当x→a时趋于零，则积分
收敛。
b
a f (x)g(x)dx
2. 瑕积分收敛的判别法
定理(阿贝尔判别法):设积分
b
a
f (x)g(x)dx
有唯一
b
的瑕点a, f (x)dx 收敛， g(x)单调有界，则积分 a
且f(x) ≥0，g(x) ≥0，并有
lim f (x) k(k可以为 ),
则
xa0 g(x)
b
b
(1)当0≤k<+∞时,若瑕积分 a g(x)d收x 敛则 a f (x)dx收敛；
b
b
(2)当0<k≤ +∞时,若瑕积分 a g(x)发dx散则 a f (x)dx发散。
当0<k<+∞时,两瑕积分同时收敛或同时发散。
f (x)dx
存在，则称瑕积分
b a
f (x)dx
收敛，并定义
b f (x)dx lim
b
f (x)dx；
a
00 a
否则称瑕积分发散。
2. 瑕积分
(1)定义b：设函数f(x)在[a,b)上有定义，且f(x)在任意
区间[a, b -ε]上可积,但x→b-0时f(x)无界，我们称b为
瑕点。若极限 lim b 00 a
(x) |
dx收敛，则称瑕积分
b f (x)dx 绝对收敛；
a
a
b
b
若瑕积分 f (x)dx 收敛，但瑕积分 | f (x) | dx 发散，则称瑕
a
a
积分 b f (x)dx 条件收敛。 a
命题:若瑕积分
b
|
f
(x) | dx收敛,则
a
b
f (x)dx 也收敛。
a
2. 瑕积分收敛的判别法
y∈Y，都有
A
| a f (x, y)dx - a f (x, y)dx || A f (x, y)dx | ,
则称含参变量的无穷积分 a
f (x, y)dx 在Y上一致收敛。
§3 含参变量的广义积分
(4)无穷积分一致收敛的几何意义
(5)无穷积分不一致收敛的充分条件
命题：设含参变量的无穷积分
a f (x, y)dx