Hermert方差分量研究

一． 引言

随着测量工程观测精度的不断提高,数据类型的不断丰富,近代平差的对象已从过去的单一同类型的数据发展为不同类型或同类型不同精度数据(以下统一简称为不同类观测值)的一并平差,同时其间还可能既有几何性质的观测量又有物理性质的观测量。Helmert 方差分量估计是合理确定不同类观测值或不同种精度观测值权比的常用方法。

Helmert 方差分量估计的中心思想是通过迭代,不断调整不同类观测值间的权比,直至不同类观测值所对应的方差因子相等为止。但它同最小二乘平差一样,易受到粗差的污染。当观测值中含有粗差时,Helmert 方差分量估计结果尽管也能够收敛,但已严重偏离真实值。所以，为了减弱粗差对Helmert 差分量估计结果所造成的严重影响，所以有了抗差Hetmert 方差分量估计 。Helmert 差分量估计已成功地应用于国内外的有关天文大地网平差、地面网与空间网的联合平差之中。

二． Helmert 方差分量估计

对于参数模型而言，有0,V BX l l L BX D =-=-- （1）若模型中含有K 类观测值且K 类观测间相互独立，则先验精度中也含有K 类方差因子，其形式为 （2） 相应得Helmert 方差分量估计公式为2

k l

v k k

k l

S W σ

⨯∧⨯⨯⨯= （3）

（3）式中当 i=j 时， 当 i ≠j 时， 2222

01

020T

k σσσσ⎡⎤=⎣⎦

111222T

T T

T

v k k k

W V PV V PV V P V ⎡⎤=⎣⎦

,(1,2)T T

i i i i N B PB N B P B i k ===，i m 代表第i 类观测值个数。

（3）式的简化公式为2

1(1,

,)()

T i i i i i i V PV i k m tr N N σ∧-==- （4）

（3）式和（4）式的迭代过程如下[1]:

2

1011220222

0k k k Q Q Q σσσ⎡⎤⎡⎤∑⎢⎥⎢⎥∑⎢⎥⎢⎥

∑==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥∑⎣⎦⎣

⎦112

2()()ij i i i S m tr N N tr N N --=-+11()ij i j S tr N N N N --=

1）选取验前单位权方差2

0σ ,定出各类观测值的初始权,按一般参数平差求解公

式求出各类观测值的T i i i

V PV ； 2）由公式求出各类观测值方差因子222

12,,

,k

σσσ； 3）按验后方差重新定出各类观测值的权；

4）按重新定出的权再次进行参数平差；

5）重复2）~4）步骤，直至2()2()

2()

12

n n n k

σσσ≈≈； 实际迭代解算中,为便于对估计结果进行检验和定权的方便,可将C2始终取

为某类观测值的验后方差。如取为第一类观测值的验后方差,则有

()112(1)2()

()112

2

2(1)

2()222(1)2()

()

112(1)

2()j j j j j j k

k

j k

k

P P P

P P P σσσσσσσσ==

=

式中式中,P1,P2… ,Pk 为初始权。

三． 抗差Helmert 方差分量估计

由最小二乘原理知,当观测值中含有粗差时,观测值的残差易受粗差的影响,从而导致对(3)式和(4)式中VTiPiVi 最大的影响,最终会导致Helmert 方差分量估计出现震荡现象,迭代结果失真(。为了避免粗差对Helmert 方差分量估计结果的严重影响,可在进行Helmert 方差分量估计前,采用粗差探测的方法,将可能含有粗差的观测值剔除掉,然后再进行Helmert 方差分量估计。也可以采用等价权的方法对可疑数据进行降权处理,使其对估计结果的影响减弱。

基于最小二乘的估计理论的Helmert 方差分量估计不具有抗差性，因此采取等价权的方法对含有粗差的非强权观测值进行降权处理，相应的等加权为

i i i P P W =⨯ （5）

Pi 为原始权，Wi 为自降权因子，权函数取IGG Ⅲ函数，如下式

12

0101

()0

i i i K K W K K μμ⎧⎪

-⎪=⎨-⎪⎪⎩0i K μ<01

i K K μ≤<1i K μ≥

上式中/i i i v μσ=，011.5 2.0, 3.0

8.5K K ==。抗差解也需迭

代,结合Helmert 方差分量估计,抗差Helmert 方差分量估计的主要步骤是 在[1]中主要步骤3)后引入上述等价权.

四． 算例——边角网平差

如图1边角网，

C B A 、、点为已知点，E

D 、为待

定点，同精度独立观测了12个角度和6条边长，据分别列于表10-1和表10-2。先验测角中误差

"±=5.1βσ，先验边长测量中误差

为

cm S 0.2±=σ。

基准数据表:

设

"

±==5.10βσσ，则

（无

量

纲）

1

2

20==ββσσP ，

)(56.00.25.122222

20厘米秒===S s P σσ

（2）计算近似坐标

使用余切公式由A B 、和B C 、分别计算D 近似坐标，然后取平均值作为近似坐标；由D C 、和A D 、分别计算E 近似坐标，然后取平均值作为近似坐标。计算结果为

，，；，m Y m X m Y m X D E D D 055.2944969.663552.2475923.56560000====

（3）计算误差方程的b a 、系数（见表10-3、表10-4） 方位角改正数方程：

j k

j k j j k

j k j i k

j k j i k

j k j k j y

S x S y S x S ˆcos 65.2062ˆsin 65.2062ˆcos 65.2062ˆsin 65.206200000000ααααδα⨯

+⨯

-⨯

-⨯

=

系数量纲为：秒 边长误差方程：

k

j k j S j k j j k j j k j j k j S l y x y x V -++--=ˆsin ˆcos ˆsin ˆcos 0

000αααα（系数无量纲）