2021届辽宁大连八中、二十四中高三联合模拟理数学试卷
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考点：充分不必要条件的判定.
4．C
【解析】
试题分析：
考点：平面向量的数量积.
5．B
【解析】
试题分析：
，所以最小正周期为 ，故选B.
考点：1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.
6．C
【解析】
试题分析： 公比 ，又 ，故选C.
考点：等比数列的性质.
7．D
【解析】
试题分析： ，当 ，开始执行程序框图时可知结果为 .
2021年辽宁大连八中、二十四中高三联合模拟理数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则集合 （）
A． B． C． D．
2．若 ，则复数 在复平面内表示的点所在的象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（1）求角 的大小；
（2）设函数 ，求函数 在区间 上的值域.
18．某市为了了解高二学生物理学习情况，在34所高中里选出5所学校，随机抽取了近千名学生参加物理考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示.
（1）将34所高中随机编号为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数抽取参加考试的五所学校.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次取两个数字，则选出来的第4所学校的编号是多少？
7．我国古代秦九韶算法可计算多项式 的值，当多项式为 时，求解它的值所反映的程序框图如图所示，当 时输出的结果为（）
A．15 B．5 C．16 D．11
8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）
A． B．
C． D．
9．设 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为11，则 的最小值为（）
3．已知条件 ： 在区间 上单调递增，条件 ： ，则 是 的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知向量 ， ， ， ， ，则 （）
A．1B．13C． D．4
5．函数 的Biblioteka Baidu小正周期是（）
A． B． C． D．
6．在等比数列 中，若有 ，则 （）
A． B． C． D．
考点：程序框图.
8．D
【解析】
试题分析：三视图所提供的图形信息和数据信息可以看出几何体是一个半径是 高也是 圆柱挖去一个同底等高的圆锥所剩余的部分.因此其表面积是 ,应选D.
考点：三视图的识读和理解及圆柱圆锥侧面积公式的运用.
9．B
【解析】
试题分析：满足约束条件 的区域是一个四边形，如图4个顶点是 ，由图易得目标函数在 取最大值 ，即 ∴ ，∴ ，在 时是等号成立，∴ 的最小值为 ．
考点：简单线性规划．
【思路点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件 ，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数 的最大值为 ，求出 的关系式，再利用基本不等式求出 的最小值．
10．B
【解析】
试题分析： ，令 ，得 ；令 ，得 ；又
，得 ，解得 的值为 或 .
考点：1.定积分；2.二项式定理.
（2）当 时，证明： .
参考答案
1．C
【解析】
试题分析： ， ，故选C.
考点：集合的交集运算.
2．A
【解析】试题分析： , ,所以复数 在复平面内表示的点为 ，在第一象限内，故选A.
考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.
3．A
【解析】
试题分析：由题意得，函数 在区间 上单调递增，所以 ，所以 是 的充分不必要条件，故选A.
A．2 B．4 C．6 D．8
10．已知实数 满足 ， ，且 ，则 （）
A． 或 B． 或 C．1 D．3
11．（题文）过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，分别过 、 两点作准线的垂线，垂足分别为 ， 两点，以线段 为直径的圆 过点 ，则圆 的方程为（）
A． B．
C． D．
12．已知定义在 上的函数 和 满足 ，且 ，则下列不等式成立的是（）
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
（2）求频率分布直方图中 的值，试估计全市学生参加物理考试的平均成绩；
（3）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为 ，求 的分布列及数学期望.
23．在极坐标系中，已知曲线 ： ，将曲线 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 ，又已知直线 ： （ 是参数），且直线 与曲线 交于 两点.
（1）求曲线 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（2）设定点 ，求 .
24．设函数 .
（1）当 时，求函数 的定义域 ；
11．B
【解析】
试题分析：如图，
由抛物线定义可知 ，故 ，又∵ 轴，∴ ，从而 ，同理可证得 ，∴ ，所以以线段 为直径的圆 过点 ，又根据抛物线的性质可知直线 与圆 相切，且切点为焦点 ,设 的中点为 ，设直线 的方程 ，所以 ，又以线段 为直径的圆 过点 ，设 ，则 的中点为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以圆心 ，所以半径为 ，所以圆 的方程为 ，故选B.
21．设函数 ， ，且 存在两个极值点 、 ，其中 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）求 的最小值；
（3）证明不等式： .
22．如图所示，已知⊙ 与⊙ 相交于 ， 两点，过点 作⊙ 的切线交⊙ 于点 ，过点 作两圆的割线，分别交⊙ ，⊙ 于点 ， 与 相交于点 .
（1）求证： ；
（2）若 是⊙ 的切线，且 ， ， ，求 的长.
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若函数 ，则 .
14．已知 是定义域为 的偶函数，当 时， ，那么，不等式 的解集是.
15．已知正三角形 边长为2，将它沿高 翻折，使点 与点 间的距离为 ，此时四面体 的外接球的表面积为.
16．设数列 前 项和 ，且 ， 为常数列，则 .
三、解答题
17．（题文）在 中， 分别是角 的对边，且满足 .
（注：频率可以视为相应的概率）
19．四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 面 ，已知 ， ， ， .
（1）设平面 与平面 的交线为 ，求证： ；
（2）求证： ；
（3）求直线 与面 所成角的正弦值.
20．已知椭圆 ： 是离心率为 ，顶点 ， ，中心 到直线 的距离为 .
（1）求椭圆 方程；
（2）设椭圆 上一动点 满足： ，其中 是椭圆 上的点，直线 与 的斜率之积为 ，若 为一动点， ， 为两定点，求 的值.
4．C
【解析】
试题分析：
考点：平面向量的数量积.
5．B
【解析】
试题分析：
，所以最小正周期为 ，故选B.
考点：1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.
6．C
【解析】
试题分析： 公比 ，又 ，故选C.
考点：等比数列的性质.
7．D
【解析】
试题分析： ，当 ，开始执行程序框图时可知结果为 .
2021年辽宁大连八中、二十四中高三联合模拟理数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则集合 （）
A． B． C． D．
2．若 ，则复数 在复平面内表示的点所在的象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（1）求角 的大小；
（2）设函数 ，求函数 在区间 上的值域.
18．某市为了了解高二学生物理学习情况，在34所高中里选出5所学校，随机抽取了近千名学生参加物理考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示.
（1）将34所高中随机编号为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数抽取参加考试的五所学校.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次取两个数字，则选出来的第4所学校的编号是多少？
7．我国古代秦九韶算法可计算多项式 的值，当多项式为 时，求解它的值所反映的程序框图如图所示，当 时输出的结果为（）
A．15 B．5 C．16 D．11
8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）
A． B．
C． D．
9．设 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为11，则 的最小值为（）
3．已知条件 ： 在区间 上单调递增，条件 ： ，则 是 的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知向量 ， ， ， ， ，则 （）
A．1B．13C． D．4
5．函数 的Biblioteka Baidu小正周期是（）
A． B． C． D．
6．在等比数列 中，若有 ，则 （）
A． B． C． D．
考点：程序框图.
8．D
【解析】
试题分析：三视图所提供的图形信息和数据信息可以看出几何体是一个半径是 高也是 圆柱挖去一个同底等高的圆锥所剩余的部分.因此其表面积是 ,应选D.
考点：三视图的识读和理解及圆柱圆锥侧面积公式的运用.
9．B
【解析】
试题分析：满足约束条件 的区域是一个四边形，如图4个顶点是 ，由图易得目标函数在 取最大值 ，即 ∴ ，∴ ，在 时是等号成立，∴ 的最小值为 ．
考点：简单线性规划．
【思路点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件 ，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数 的最大值为 ，求出 的关系式，再利用基本不等式求出 的最小值．
10．B
【解析】
试题分析： ，令 ，得 ；令 ，得 ；又
，得 ，解得 的值为 或 .
考点：1.定积分；2.二项式定理.
（2）当 时，证明： .
参考答案
1．C
【解析】
试题分析： ， ，故选C.
考点：集合的交集运算.
2．A
【解析】试题分析： , ,所以复数 在复平面内表示的点为 ，在第一象限内，故选A.
考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.
3．A
【解析】
试题分析：由题意得，函数 在区间 上单调递增，所以 ，所以 是 的充分不必要条件，故选A.
A．2 B．4 C．6 D．8
10．已知实数 满足 ， ，且 ，则 （）
A． 或 B． 或 C．1 D．3
11．（题文）过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，分别过 、 两点作准线的垂线，垂足分别为 ， 两点，以线段 为直径的圆 过点 ，则圆 的方程为（）
A． B．
C． D．
12．已知定义在 上的函数 和 满足 ，且 ，则下列不等式成立的是（）
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
（2）求频率分布直方图中 的值，试估计全市学生参加物理考试的平均成绩；
（3）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为 ，求 的分布列及数学期望.
23．在极坐标系中，已知曲线 ： ，将曲线 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 ，又已知直线 ： （ 是参数），且直线 与曲线 交于 两点.
（1）求曲线 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（2）设定点 ，求 .
24．设函数 .
（1）当 时，求函数 的定义域 ；
11．B
【解析】
试题分析：如图，
由抛物线定义可知 ，故 ，又∵ 轴，∴ ，从而 ，同理可证得 ，∴ ，所以以线段 为直径的圆 过点 ，又根据抛物线的性质可知直线 与圆 相切，且切点为焦点 ,设 的中点为 ，设直线 的方程 ，所以 ，又以线段 为直径的圆 过点 ，设 ，则 的中点为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以圆心 ，所以半径为 ，所以圆 的方程为 ，故选B.
21．设函数 ， ，且 存在两个极值点 、 ，其中 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）求 的最小值；
（3）证明不等式： .
22．如图所示，已知⊙ 与⊙ 相交于 ， 两点，过点 作⊙ 的切线交⊙ 于点 ，过点 作两圆的割线，分别交⊙ ，⊙ 于点 ， 与 相交于点 .
（1）求证： ；
（2）若 是⊙ 的切线，且 ， ， ，求 的长.
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若函数 ，则 .
14．已知 是定义域为 的偶函数，当 时， ，那么，不等式 的解集是.
15．已知正三角形 边长为2，将它沿高 翻折，使点 与点 间的距离为 ，此时四面体 的外接球的表面积为.
16．设数列 前 项和 ，且 ， 为常数列，则 .
三、解答题
17．（题文）在 中， 分别是角 的对边，且满足 .
（注：频率可以视为相应的概率）
19．四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 面 ，已知 ， ， ， .
（1）设平面 与平面 的交线为 ，求证： ；
（2）求证： ；
（3）求直线 与面 所成角的正弦值.
20．已知椭圆 ： 是离心率为 ，顶点 ， ，中心 到直线 的距离为 .
（1）求椭圆 方程；
（2）设椭圆 上一动点 满足： ，其中 是椭圆 上的点，直线 与 的斜率之积为 ，若 为一动点， ， 为两定点，求 的值.