向量法求异面直线所成的角

|uAuurBgCuuDur|
| AB || CD |4
例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是 AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值.
z
D1
C1
A1
B1
D O
A x
M
Cy B
5
变1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F
分别是A1A,B1B的中点,求CE与D1F所成
角的余弦值.
向量法求两条异面直线所成的角
1
公式 复习
Auu(xur1,y1,z1) B(x2,y2,z2)
AB (x2-x1,y2-y1,z2-z1)
r
r
arr(x1, ry1, z1r),b (x2,r yr2, z2)
a b | a | | b | cos a,b
rr cos a,b
11
向量法求两条异面直线所成的角
一 1.建立合适的空间直角坐标系 般 2.将各点,各线段所在向量标出 步 3.利用向量夹角公式计算 骤 4. 判断所得夹角是两条直线所成角
还是补角,并得出结论
12
rr ra br
|a||b|

x1x2 y1 y2 z1z2
x12 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y12 z12 x22 y22 z22
2
课前热身
1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E
为CD1与C1D的交点，点F为C1D1,如图建立
直角坐标系，写出点A、B、D、E、F、B1
A1
(2,0,2) B1
z
的坐标。 2.写出向量
F(1,D21,2) 的坐标。
uuur uuur uuuur AF、BE、DB1
C1 (1,2,1) (1,2,2u)u(u-r1,2,1u)u(ur2,-2,u2u)uur
A
E D
3.求出| AF |、| BE |、| DB1 |。
(0,0,0) (0,2,0)y
B
C
3
6 23
(2,0,0)
x
3
理论分析
异面直线所成角的范围：


0,

2

思考：
C
D uuur uuur
AB,CD 与的关系？
A D1

B
相等
uuur uuur
结论
AB, DC 与的关系？
互补uuur uuur
cos
| cos

uuur uuur AB, CD
|
E12，12， 22，
A→E＝－12，32， 22，S→D＝(－1，－1，－ 2)． ∴cos〈A→E，S→D〉＝|AA→→EE|·|SS→→DD|＝－ 33.
∴AE、SD
所成的角的余弦值为
3 3.
答案：
10
向量方法求异面直线的夹角公式
uuur uuur
cos | cos AB,CD |
z
D1
C1
A1
ED O
A x
B1 F
Cy B
6
变2:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F 分别是A1B1,C1D1的一个四等分点,求BE 与DF所成角的余弦值. z
D1 A1
F E
C1 B1
D O
A x
Cy B
7
变3:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F 分别是BB1,D1B1的中点,求证EF⊥DA1.
z
D1 A1
C1 F
B1
D O
A x
E Cy B
8
拓展延伸：
2．已知正四棱锥 S－ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E
是 SB 的中点，则 AE、SD 所成的角的余弦值为( )
A.13
B.
2 3
C.
3 3
D.23
9
解析：如图建立空间直角坐标系 O－xyz，令正四棱锥的棱长
为 2，
则 A(1，－1,0 )，D(－1，－1,0)，S(0,0， 2)，