数学建模宜居城市综合评价

六、问题一的模型建立与求解

6.1宜居城市评价指标体系

6.1.1宜居城市的评价指标的粗选

根据参考文献中的宜居城市指标体系，可以看出这些指标的评选具有较高的权威性，故该文献中选取的宜居城市指标可作为问题一中宜居城市的评价指标的粗选结果。我们以附录中的表为各指标直接相对应的数值，整理并定义三级宜居城市评价指标体系如下，见表6.1.1：

表6.1.1.1宜居城市评价指标（粗选）

6.1.2指标遴选

6.1.2.1直接遴选

直接遴选是指在不借用任何算法的情况下，凭借逻辑推理和可行性分析排除一些不合适的数据。我们通常排除那些不便于进行统一的估测、计算的数据，这些不实用的数据通常有以下两个特点：

（1）指标数据难以被量化，且指标涵盖的范围太大。

（2）指标所含数据有大量缺失，不能保证对于描述对象的一般性。

根据以上特点，我们考虑将以下指标剔除，如表6.1.2.1所示：

表6.1.2.1直接遴选剔除的评价指标

6.1.2.2间接遴选

间接遴选是指通过一些数学算法，计算不同的三级指标之间的相关程度，通过计算出的相关性筛选相应的三级指标，能够全面地反映更高层次指标的内容，并且最大化地避免同层次指标之间的重复性。

目前常用的计算指标间相关程度的算法有两种，一种是以线性回归为基础的算法，代表算法是以皮尔逊相关系数为思想核心的主成分分析法；另一种是以根据因素之间发展趋势的相似或相异程度为基本思想的算法，其代表算法是灰色关联分析法。

由于我们注意到，求出的少数几个主成分往往不具备实际意义，或实际意义难以被洞察；同时，主成分分析法基于线性回归，而宜居城市的评价指标之间显然不是简单的线性关系。因此，我们选择灰色关联分析法来分析各个指标之间的相互关系。

灰色关联度分析具体步骤如下：

确定比较对象（评价对象）和参考数列（评价标准）。将表6.1.1.1中经直接筛选后保留的三级指标进行编号：1,2，…，n：

1,2，…，k 。构造参考数列：

(){}()()()()n x x x n k k x x 00000,...,2,1,...,2,1|=== 以及比较数列：

(){}()()()m i n x x x n k k x x i i i i i ,...2,1),,...2,1(,...,2,1|====

根据以上定义，我们定义：

()()()()

()()()()

k x k x k x k x k x k x k x k x k i k

i

i i k

i i k i

i -+--+-=

0000max max max max )(min min ρρξ（1）

为比较数列i x 对参考数列0x 在k 时刻的关联系数，其中[]1,0∈ρ为分辨系数。称（1）式中()()()k x k x k x k x i k

i

i k

i

--00max max )(min min ρ、分别为两级最小差及两

级最大差。

一般来讲，分辨系数ρ越大，分辨率越大；ρ越小，分辨率越小。 则相应的关联度R 为：

()

∑==n

k i i k n R 1

1ξ

（2） 根据上述模型，结合附录中表的数据，可以根据以下步骤求解： Step 1.求解各序列值的初值像，令：

()

()()()()1,0,',...2',1'1'===

i n x x x x x x i i i i i

i Step 2.计算灰色关联系数，利用公式：

()()max

max

min ∆+∆∆+∆=

ρρξt t ij ij

其中：

()()k x k x i k

i

-=∆0min min min

为差序列的最小值，

()()k x k x i k

i

-=∆0max max max

为差序列的最大值；

()()()k x k x t i ij -=∆0

为差值；ρ为分辨系数，取值在区间[]10，

上，本文中取0.5。当()t ij ∆越大时，()t ij ξ越小，反之则越大。因此()t ij ξ的大小刻画了两组数据之间的大小。

Step 3.得到关联系数，根据关联度公式（2），可计算得到经过直接筛选后的指标。

显然，经过Zscore标准化处理后的数据关联程度极为相近，这可能是由于数据“缩小”后的均值和方差的相近所导致的。于是，我们选择0-1标准化处理后的问题关联度作为间接筛选的参考。

经过查阅相关资料，我们规定关联度判定表如下表6.1.2.2(a)所示。

表6.1.2.2(a) 关联度判定表

我们取0.8为筛选指标的标准，高于0.8的指标由于与其他关联度过高会造成计算的繁琐和重复，而被删除。

综合附录中给出的全部问题之间的关联度，我们决定删除以下三级指标。见表6.1.2.2（b）：

表6.1.2.2（b）间接遴选剔除的三级指标

6.1.3宜居城市综合评价体系的建立

经过宜居城市综合评价指标的直接遴选和间接遴选，我们建立如下的宜居城市综合评价体系。见表6.1.3.

表6.1.3 宜居城市综合评价体系指标

6.2宜居城市综合评价模型 6.2.1模型建立方法的选取

对于宜居城市评价模型是一个典型的综合评价问题。解决这种问题的方法主要有两类，其主要区别在确定权重的方法上。一类是主观赋权法，多数采取综合咨询评分确定权重，如综合指数法、模糊综合评判法、层次分析法和功效系数法等。另一类是客观赋权，根据各指标间的相关关系或各指标值变异程度来确定权数，如主成分分析法、因子分析法和熵权法等。

由于主观赋权法主要依靠对于专家的咨询和相关资料的查阅来确定权重，没有一个统一的标准来衡量，在客观性上有所缺陷，所以我们着重在客观赋权法中选取本题的建模方法。

在客观赋权法里，熵权法可根据各项指标的变异度，能利用信息熵计算出各指标权重。在本问题中，相当于给出了各三级指标在计算城市总得分时的权重，这样我们能非常方便地算出不同城市的总得分。所以，我们建立基于熵权法的宜居城市综合评价模型。

6.2.2基于熵权法的宜居城市综合评价模型 Step 1.

()()()i i i ij ij

x x x x x min max min '--=

Step 2.计算标准化后的指标'

ij x 的比重ij R ，其中：∑==

n

i ij

ij

ij

x

x R 1

''

Step 3.计算第j 项指标的熵值j e ，其中：ij n

i ij j R R n e ln ln 11

∑=⎪⎭⎫

⎝⎛-= Step 4.计算第j 项指标的差异性系数j g ，其中：j j e g -1=。当值j g 越大,则指标j x 在综合评价中的重要性越强。 Step 5.计算指标j x 的权数j w ，计算公式为:

12,...,2,1,1

==

∑=j g

g w n

i j

j

j

由于指标中的二级指标和三级指标均需要确定各指标的权重，因此我们会先

确定指标层各指标的权重。