第6章 方差分析
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第 七 章
方 差 分 析 (Analysis of Variance)
方差分析的作用：方差分析能解 决多个均值是否相等的问题。
第一节
方差分析的基本问题
一、方差分析的内容 因素：方差分析研究的对象。 单因素方差分析：只针对一个因素进 行的方差分析。 多因素方差分析：同时针对多个因素 进行的方差分析。 水平：因素中的内容。
X 12 X 22 X K2
水平r X 1r X 2r
X Kr
2、进行方差分析
3、方差分析的优缺点。 方差分析可以对若干均值是否相等同
P134（例7-2）
第 三 节 双因素方差分析
一、双因素方差分析的两种类型 一个是无交互作用的双因素方差分析， 它假定因素A与因素B的效应之间是相互 独立的，不存在相互关系； 另一个 是有交互作用的双因素方差分析，它假
28.7 27.32
10.688
j 1时 : xi1 x1 26.5 27.32
2 2 2
27.2 27.32
2
同理：
j 2时 : xi 2 x 2 31.2 29.56
2 2 2
28.3 29.56
SSA=SST-SSE =115.9295-39.084 =76.8455
（三）计算平均平方（方差）
对SST来说，其自由度n-1 对SSA来说，其自由度r-1 对SSE来说，其自由度n-r
SSA MSA r 1 SSE MSE nr 对于上例: 76.8455 MSA 25.6152 4 1 39.0840 MSE 2.4428 20 4
三、F分布
组间方差 F 组内方差
第 二 节
单因素方差分析
单因素方差分析的步骤
（一）计算水平均值
xj
x
i 1
nj
ij
nj
x j : 第j种水平的样本均值 n j : 第j种水平的观察值个数 xij : 第j种水平下的第 i个观察值
超市 1 2 3 4 5 合计 水平均值 观察值个数
总和
192
232
12
14
16
由 0.05知F0.052,12 3.89
而1.25<3.89 所以:接受原假设，即三种培训方法对工 人的日产量没有影响.
二、单因素方差分析的其它问题 1、进行方差分析的数据结构
观察值 i 1 2 K 水平1
X 11 X 21 X K1
因素（A）j 水平2
超市 1 2 3 4
无色 26.5 28.7 25.1 29.1
粉色 31.2 28.3 30.8 27.9
橘黄色 27.9 25.1 28.5 24.2
绿色 30.8 29.6 32.4 31.7
5
27.2
29.6
26.5
32.8
条件：各个水平的观察数据来自于 服从正态分布总体中的随机样本，各 个总体相互独立，方差相同。
二、数据结构
A1
因 素 B
1 2
因 素 A
A2 x12 x 22 xk 2 x2
B B B x
x11 x 21 x k1 x 1
k
j
Ar x1 r x2r x kr xr
x i x1 x 2 xk x
假定条件： 这r×k个总体的每一个总体均服从正 态分布，且有相同的方差。这是进行双 因素方差分析的假定条件。
H0
对于因素AH ，接受 ，说明养料对 1 西红柿重量的影响不显著。对于因素B， 接受 ，说明不同水温对西红柿重量的 影响高度显著。
养料1
养料2
养料3
总和
冷 凉 温 热
4 C 10 C 16 C 22 C
0 0 0 0
20 16 9 8 53
19 15 10 7 51
21 14 11 6 52
60 45 30 21 156
总和
解 : 对因素A : H 0 : 1 2 3 , 养料之间无差异 H 1 : 1 , 2 , 3不全相等, 养料之间有差异 对因素B : H 0 : 1 2 3 4 , 水温之间无差异 H 1 : 1 , 2 , 3 , 4不全相等, 水温之间有差异
误差来 源 因素A 因素B 误差 合计
离差平方和 自由度 均方差 SSA SSB SSE SST r-1 k-1 n-r-k+1 n-1 MSA MSB MSE
F值
FA MSA FB MSB
MSE MSE
例题（p138例7~3）
习题：假设某水生植物研究所要求 确定植物养料处理和水温处理对色拉的 小型鲜红色西红柿重量（单位：克）的 影响，得到的试验数据如下表：试据此 资料检验养料和水温对西红柿重量（单
x
j
x
2
n x
j
j
x
2
SSA=SST-SSE
26.5 28.695 28.7 28.695
2
SST xij x
2 2
32.8 28.695 115.9295
2
组内误差项离差平方和: 2 SSE xij x j j i
（五）均值的F检验
1、提出原假设和备择假设
H 0 : 1 2 3 4 H1 : 1 , 2 , 3 , 4不全相等
2、计算F值 F=10.486
3、选择显著性水平
，确定临界值
F r 1, n r 由 0.05知F r 1, n r F0.05 3,16 3.24
8.572
29.6 29.56
2
2
j 3 : xi 3 x3 13.192 j 4 : xi 4 x 4 6.632
2
组内误差项离差平方和: 2 SSE xij x j j i
10.688 8.572 13.192 6.632 39.084
二、方差分析的原理 1、系统性差异：因素中的不同水平 造成的。（用水平之间的方差即组间方 差描述）它既包括系统性因素，也包括 随机性因素。 2、随机性差异：抽选样本的随机性 而产生的。（用水平内部的方差即组内 方差描述）它仅包括随机性因素。
原理：方差分析就是通过不同方差 的比较，作出接受或拒绝原假设的判断。
SSE SST SSA SSB
它们的自由度分别为： SST： rk-1=n-1 SSA: r-1
均方差的计算：
SSA MSA r 1 SSB MSB k 1 SSE MSE n r k 1
F值的计算：
FA FB
MS A MS E MS B MS E
双因素方差分析计算表
（四）方差分析表
组间方差 MSA F 组内方差 MSE 在上例中: 25.6152 F 10.486 2.4428
方差分析表
方差类别 离差平 自由度df 平均平 方和SS 方MS 组间 组内 总差异 SSA SSE SST r-1 n-r n-1 MSA MSE F值 MSA/MSE
计算总均值
n n nj x x
ij
26.5 31.2 32.8 x 20 573.9 28.695 20
（二）计算离差平方和
总离差平方和: SST 组内误差项离差平方和:
x
ij
x n 1s
2
2
2 SSE xij x j n j 1s 2 j j i j 组间水平项离差平方和: SSA
F F
4、作出统计结论(比较统计量与临界 值的大小） F检验为右侧检验Hale Waihona Puke Baidu
5、作出经营管理决策结论 即通过检验知：不全相等，说明饮料 的颜色对销售量有显著影响。
习题1：某服装制造公司的培训科长 想对过去几年中使用的培训工人的三种 方法进行评估，随机挑选了15位工人分 成三组按三种方法进行培训后，观察他 们的日产量，得到如下数据：
三、离差平方和的分解 将总离差平方和分解为三个组成部分 即SSA、SSB和SSE，以分别反映因素A的 组间差异，因素B的组间差异和随机误 差SSE的离散状况。
它们的计算公式分别为:
SST xij x n 1s
2 2 2
2 2
2 SSA x j x k x j x k r 1s x j 2 SSB xi x r xi x r k 1s x i 2
误差来源 因素A 因素B 误差 合计
离差平方和 自由度 均方差 0.5 294 7.5 302 2 3 6 11 0.25 98 1.25
F值 0.2 78.4
F r 1,n r k 1 F0.052, 6 5.14 FA 0.2 5.14 F k 1,n r k 1 F0.053, 6 4.76 FB 78.4 4.76
日产量 方法1 方法2 方法3
1 15 22 18
2 18 27 24
3 19 18 16
4 22 21 22
5 11 17 15
以0.05的显著性水平检验不同的培训 方法对工人的日产量是否有影响?
方差类 离差平 自由度 平均平 F值 df 别 方MS 方和 SS 40 2 20 1.25 组间 组内
无色 粉色 橘黄色 绿色 26.5 31.2 27.9 30.8 28.7 28.3 25.1 29.6 25.1 30.8 28.5 32.4 29.1 27.9 24.2 31.7 27.2 29.6 26.5 32.8 136.6 27.32 5 147.8 29.56 5 132.2 157.3 26.44 31.46 5 5 573.9 28.695
方 差 分 析 (Analysis of Variance)
方差分析的作用：方差分析能解 决多个均值是否相等的问题。
第一节
方差分析的基本问题
一、方差分析的内容 因素：方差分析研究的对象。 单因素方差分析：只针对一个因素进 行的方差分析。 多因素方差分析：同时针对多个因素 进行的方差分析。 水平：因素中的内容。
X 12 X 22 X K2
水平r X 1r X 2r
X Kr
2、进行方差分析
3、方差分析的优缺点。 方差分析可以对若干均值是否相等同
P134（例7-2）
第 三 节 双因素方差分析
一、双因素方差分析的两种类型 一个是无交互作用的双因素方差分析， 它假定因素A与因素B的效应之间是相互 独立的，不存在相互关系； 另一个 是有交互作用的双因素方差分析，它假
28.7 27.32
10.688
j 1时 : xi1 x1 26.5 27.32
2 2 2
27.2 27.32
2
同理：
j 2时 : xi 2 x 2 31.2 29.56
2 2 2
28.3 29.56
SSA=SST-SSE =115.9295-39.084 =76.8455
（三）计算平均平方（方差）
对SST来说，其自由度n-1 对SSA来说，其自由度r-1 对SSE来说，其自由度n-r
SSA MSA r 1 SSE MSE nr 对于上例: 76.8455 MSA 25.6152 4 1 39.0840 MSE 2.4428 20 4
三、F分布
组间方差 F 组内方差
第 二 节
单因素方差分析
单因素方差分析的步骤
（一）计算水平均值
xj
x
i 1
nj
ij
nj
x j : 第j种水平的样本均值 n j : 第j种水平的观察值个数 xij : 第j种水平下的第 i个观察值
超市 1 2 3 4 5 合计 水平均值 观察值个数
总和
192
232
12
14
16
由 0.05知F0.052,12 3.89
而1.25<3.89 所以:接受原假设，即三种培训方法对工 人的日产量没有影响.
二、单因素方差分析的其它问题 1、进行方差分析的数据结构
观察值 i 1 2 K 水平1
X 11 X 21 X K1
因素（A）j 水平2
超市 1 2 3 4
无色 26.5 28.7 25.1 29.1
粉色 31.2 28.3 30.8 27.9
橘黄色 27.9 25.1 28.5 24.2
绿色 30.8 29.6 32.4 31.7
5
27.2
29.6
26.5
32.8
条件：各个水平的观察数据来自于 服从正态分布总体中的随机样本，各 个总体相互独立，方差相同。
二、数据结构
A1
因 素 B
1 2
因 素 A
A2 x12 x 22 xk 2 x2
B B B x
x11 x 21 x k1 x 1
k
j
Ar x1 r x2r x kr xr
x i x1 x 2 xk x
假定条件： 这r×k个总体的每一个总体均服从正 态分布，且有相同的方差。这是进行双 因素方差分析的假定条件。
H0
对于因素AH ，接受 ，说明养料对 1 西红柿重量的影响不显著。对于因素B， 接受 ，说明不同水温对西红柿重量的 影响高度显著。
养料1
养料2
养料3
总和
冷 凉 温 热
4 C 10 C 16 C 22 C
0 0 0 0
20 16 9 8 53
19 15 10 7 51
21 14 11 6 52
60 45 30 21 156
总和
解 : 对因素A : H 0 : 1 2 3 , 养料之间无差异 H 1 : 1 , 2 , 3不全相等, 养料之间有差异 对因素B : H 0 : 1 2 3 4 , 水温之间无差异 H 1 : 1 , 2 , 3 , 4不全相等, 水温之间有差异
误差来 源 因素A 因素B 误差 合计
离差平方和 自由度 均方差 SSA SSB SSE SST r-1 k-1 n-r-k+1 n-1 MSA MSB MSE
F值
FA MSA FB MSB
MSE MSE
例题（p138例7~3）
习题：假设某水生植物研究所要求 确定植物养料处理和水温处理对色拉的 小型鲜红色西红柿重量（单位：克）的 影响，得到的试验数据如下表：试据此 资料检验养料和水温对西红柿重量（单
x
j
x
2
n x
j
j
x
2
SSA=SST-SSE
26.5 28.695 28.7 28.695
2
SST xij x
2 2
32.8 28.695 115.9295
2
组内误差项离差平方和: 2 SSE xij x j j i
（五）均值的F检验
1、提出原假设和备择假设
H 0 : 1 2 3 4 H1 : 1 , 2 , 3 , 4不全相等
2、计算F值 F=10.486
3、选择显著性水平
，确定临界值
F r 1, n r 由 0.05知F r 1, n r F0.05 3,16 3.24
8.572
29.6 29.56
2
2
j 3 : xi 3 x3 13.192 j 4 : xi 4 x 4 6.632
2
组内误差项离差平方和: 2 SSE xij x j j i
10.688 8.572 13.192 6.632 39.084
二、方差分析的原理 1、系统性差异：因素中的不同水平 造成的。（用水平之间的方差即组间方 差描述）它既包括系统性因素，也包括 随机性因素。 2、随机性差异：抽选样本的随机性 而产生的。（用水平内部的方差即组内 方差描述）它仅包括随机性因素。
原理：方差分析就是通过不同方差 的比较，作出接受或拒绝原假设的判断。
SSE SST SSA SSB
它们的自由度分别为： SST： rk-1=n-1 SSA: r-1
均方差的计算：
SSA MSA r 1 SSB MSB k 1 SSE MSE n r k 1
F值的计算：
FA FB
MS A MS E MS B MS E
双因素方差分析计算表
（四）方差分析表
组间方差 MSA F 组内方差 MSE 在上例中: 25.6152 F 10.486 2.4428
方差分析表
方差类别 离差平 自由度df 平均平 方和SS 方MS 组间 组内 总差异 SSA SSE SST r-1 n-r n-1 MSA MSE F值 MSA/MSE
计算总均值
n n nj x x
ij
26.5 31.2 32.8 x 20 573.9 28.695 20
（二）计算离差平方和
总离差平方和: SST 组内误差项离差平方和:
x
ij
x n 1s
2
2
2 SSE xij x j n j 1s 2 j j i j 组间水平项离差平方和: SSA
F F
4、作出统计结论(比较统计量与临界 值的大小） F检验为右侧检验Hale Waihona Puke Baidu
5、作出经营管理决策结论 即通过检验知：不全相等，说明饮料 的颜色对销售量有显著影响。
习题1：某服装制造公司的培训科长 想对过去几年中使用的培训工人的三种 方法进行评估，随机挑选了15位工人分 成三组按三种方法进行培训后，观察他 们的日产量，得到如下数据：
三、离差平方和的分解 将总离差平方和分解为三个组成部分 即SSA、SSB和SSE，以分别反映因素A的 组间差异，因素B的组间差异和随机误 差SSE的离散状况。
它们的计算公式分别为:
SST xij x n 1s
2 2 2
2 2
2 SSA x j x k x j x k r 1s x j 2 SSB xi x r xi x r k 1s x i 2
误差来源 因素A 因素B 误差 合计
离差平方和 自由度 均方差 0.5 294 7.5 302 2 3 6 11 0.25 98 1.25
F值 0.2 78.4
F r 1,n r k 1 F0.052, 6 5.14 FA 0.2 5.14 F k 1,n r k 1 F0.053, 6 4.76 FB 78.4 4.76
日产量 方法1 方法2 方法3
1 15 22 18
2 18 27 24
3 19 18 16
4 22 21 22
5 11 17 15
以0.05的显著性水平检验不同的培训 方法对工人的日产量是否有影响?
方差类 离差平 自由度 平均平 F值 df 别 方MS 方和 SS 40 2 20 1.25 组间 组内
无色 粉色 橘黄色 绿色 26.5 31.2 27.9 30.8 28.7 28.3 25.1 29.6 25.1 30.8 28.5 32.4 29.1 27.9 24.2 31.7 27.2 29.6 26.5 32.8 136.6 27.32 5 147.8 29.56 5 132.2 157.3 26.44 31.46 5 5 573.9 28.695