2.2。2等差数列前n项和
2.2.2等差数列的通项公式(第4课时)等差数列前n项和的性质 学案(含答案)
2.2.2等差数列的通项公式（第4课时）等差数列前n项和的性质学案（含答案）第4课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n 项和的函数特征求最值知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列若等差数列的项数为2nnN*，则S2nnanan1，S 偶S奇nd，S奇0；性质2若等差数列的项数为2n1nN*，则S2n12n1anan是数列的中间项，S奇S偶an，S奇0知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系1将公式Snna1变形，得Snn2n.若令A，a1B，则上式可以写成SnAn2Bn，1等差数列前n项和Sn不一定是关于n的二次函数当公差d0时，Snna1，不是项数为n的二次函数当d0时，此公式可看成二次项系数为，一次项系数为，常数项为0的二次函数，其图象为抛物线yx2x上的点集，坐标为n，SnnN*因此，由二次函数的性质可以得出结论当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值2关于n的二次函数也不一定是等差数列的前n项和，由SnAn2BnC，当C0时，Sn不是某等差数列的前n项和；当C0时，令A，a1B，则能解出a1和d，因此这时一定是某等差数列的前n项和2若an为等差数列，公差为d，则为等差数列，公差为.1等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数2等差数列an的前n项和SnAn2Bn.即an 的公差为2A.3若等差数列an的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.4数列an的前n项和Snn21，则an不是等差数列题型一等差数列前n项和的性质的应用例11等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；2已知某等差数列an共有10项，若其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求其公差解1在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列27030S3m100，S3m210.2依题意有a1a3a5a7a915，a2a4a6a8a1030，得5d15，d3.反思感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简.化难为易.事半功倍的效果跟踪训练11等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S69，则S9________.2等差数列an的公差为，且S100145，则奇数项的和a1a3a5a99________.答案118260解析1S3，S6S3，S9S6成等差数列，2S6S3S3S9S6，即2933S99，S918.2设a1a3a5a99S奇，a2a4a6a100S偶，则S奇S偶S100145.S偶S奇50d25.得2S奇120，S奇60.题型二Sn与函数的关系命题角度1SnAn2Bn的应用例21两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解方法一设Snk7n22n，Tnkn23n，k0，则a5S5S4k75225k7422465k，b5T5T4k5235k423412k..方法二.2已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，且S77，S1575，求数列的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1d.S77，S1575，即解得a1d2，，数列是等差数列，且其首项为2，公差为.Tnn2nnN*反思感悟将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数，可得Snn2n.即Snna1dn2n，利用Sn与函数的关系可以使运算更简便跟踪训练21在例21的条件下，求的值2已知等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S515，求S9.解1设Snk7n22n，Tnkn23n，则a565k，b6T6T5k6236k523514k，.2为等差数列，设公差为d，则d1，n3d1n3n2，927，S97963.命题角度2等差数列an的前n项和Sn的最值例3在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值解方法一S9S17，a125，925d1725d，解得d2.Sn25n2n226nn132169.当n13时，Sn有最大值169.方法二同方法一，求出公差d2.an25n122n27.a1250，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d2.S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130，a140.当n13时，Sn有最大值169.方法四同方法一，求出公差d2.设SnAn2Bn.S9S17，二次函数fxAx2Bx的对称轴为x13，且开口方向向下，当n13时，Sn取得最大值169.反思感悟1等差数列前n项和Sn取得最大小值的情形若a10，d0，则Sn 存在最大值，即所有非负项之和若a10，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和2求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正.负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练3已知等差数列an中，a19，a4a70.1求数列an的通项公式；2当n为何值时，数列an的前n 项和取得最大值解1由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1n1d112nnN*2方法一由1知，a19，d2，Sn9n2n210nn5225，当n5时，Sn取得最大值方法二由1知，a19，d20，an是递减数列令an0，则112n0，解得n.nN*，n5时，an0，n6时，an0.当n5时，Sn取得最大值数形结合感悟事物本质典例在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________答案解析方法一由当且仅当n8时Sn 最大，知a80且a90，于是解得1d，故d的取值范围为.方法二Snn2n，由题意知d0，对称轴x，n8时，Sn取最大值7.58.5，即87，d.素养评析利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷等差数列ana10，d0或a10，d0中，andna1d，其图象为ydxa1d上的一系列点，要求Sn的最大小值，只需找出距x轴最近的两个点；Snn2n，其图象为yx2x上的一系列点要求Sn的最大小值，只需找出距对称轴最近的点.1若数列an的前n项和Snn22n，则an1an的值为A1B2C3D4答案B解析由Snn22n可判断an为等差数列，公差为2.an1an2.2若等差数列an的前5项和为25，则a3的值为A2B3C4D5答案D解析S55a325，a35.3设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7________.答案49解析S77749.4等差数列an中，若公差为2，a1a4a76，则a3a6a9________.答案18解析a3a6a9a1a4a7a3a1a6a4a9a76d12，a3a6a912618.5等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，S100，则Sn 取最小值n________.答案5解析S100，可设Snnn10，对称轴n5，且d0.n5时，Sn最小1等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形1Sn；2Snn2n；3n.2求等差数列前n项和最值的方法1二次函数法用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观2通项法当a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，d0，时，Sn取得最小值。
等差数列的前n项和教案
等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。
2. 掌握等差数列的前n项和的计算公式。
3. 能够运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。
二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。
2. 等差数列的前n项和的计算公式。
三、教学难点1. 等差数列的前n项和的公式的推导过程。
2. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的前n项和的计算方法。
2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的前n项和的应用。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等差数列的前n项和的性质。
五、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。
2. 等差数列的前n项和的计算公式。
3. 等差数列的前n项和的性质。
4. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。
第一章：等差数列的概念及其性质1.1 等差数列的定义1.2 等差数列的性质1.3 等差数列的通项公式第二章：等差数列的前n项和的计算公式2.1 等差数列前n项和的定义2.2 等差数列前n项和的计算公式2.3 等差数列前n项和的性质第三章：等差数列的前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的单调性3.2 等差数列前n项和的奇偶性3.3 等差数列前n项和的最值问题第四章：运用等差数列的前n项和公式解决实际问题4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用4.2 等差数列前n项和的优化问题4.3 等差数列前n项和与数学竞赛第五章：等差数列的前n项和公式的推导过程5.1 等差数列前n项和公式的推导方法5.2 等差数列前n项和公式的证明5.3 等差数列前n项和公式的拓展与应用六、等差数列的前n项和的图形直观6.1 等差数列前n项和的图形表示6.2 等差数列前n项和的图形性质6.3 等差数列前n项和的图形应用7.1 等差数列前n项和的数值方法7.2 等差数列前n项和的数值例子7.3 等差数列前n项和的数值分析八、等差数列的前n项和的实际应用8.1 等差数列前n项和在经济学中的应用8.2 等差数列前n项在工程学中的应用8.3 等差数列前n项在和生物学中的应用九、等差数列的前n项和的问题拓展9.1 等差数列前n项和的相关问题拓展9.2 等差数列前n项和的问题研究进展9.3 等差数列前n项和的问题解决策略十、等差数列的前n项和的教学设计10.1 等差数列前n项和的教学目标设计10.2 等差数列前n项和的教学方法设计10.3 等差数列前n项和的教学评价设计重点和难点解析一、等差数列的概念及其性质补充和说明：等差数列是一种常见的数列，其特点是相邻两项的差值是常数。
2.2.2等差数列的前n项和
2.2.2等差数列的前n 项和1、掌握等差数列前项和公式及其推到方法；2、能够利用等差数列前n 项和公式解决一些简单的等差数列问题；3、熟练掌握等差数列中的五个基本量n n a S n d a ,,,,1之间的关系并能够做到知三求二。
一、复习回顾1.等差数列的概念2.等差数列的通项公式3.等差数列的性质二、新课导学※ 探索新知探究1：1.如图堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共7层，这堆钢管共有多少根？这个问题可以看成是求等差数列4，5，6，7，8，9，10的和。
2.1+2+3+…+100=？如何计算更简便？这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…，n ，…的前100项的和。
问题：我们如何求一个以a 1为首项，d 为公差的等差数列的前n 项和呢？ 设等差数列{a n }前n 项的和为S n ,即S n =a 1+a 2+…+ a n所以Sn=_______ ______(公式1，已知＿＿＿和＿＿＿时用此公式)尝试练习1：等差数列｛a n ｝中a 1=-4,a 8=-18,n=8，求S n ?当求一个等差数列前n 项和时，若知a 1，d ，但未知a n ，那又该如何求Sn 呢？刚刚学习了2)(1n n a a n S +=，an 如何用a 1，d 来表示呢？自己尝试把a n 的表达式代入？ S n =_____________(公式2，已知＿＿＿和＿＿＿时用此公式)尝试练习2：等差数列{a n }中，已知a 1=5,d=3, 求这个数列的前10项的和。
等差数列前n 项和公式：公式一：公式二：两个公式的共同点是需知 a 1和 n ，不同点是前者还需知 a n ，后者还需知 d ，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.（知三求二） 记忆公式：用梯形面积公式记忆等差数列前n 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n 项和的两个公式.例1.已知等差数列}{n a 中，（1）751=a ，1057=a , 求7S ；（2）101-=a ，4=d ， 54=n S ，求n ；（3）255=S ，10010=S ，求1a 及d 。
等差数列的前N项和
等差数列的前n项和公式类同于
梯形的面积公式
；
用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式， 这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差 数列前n项和的两个公式.
n
返回
三、等差数列前n项和公式的应用： 例1 某长跑运动员7天里每天的训练量（单位： m）是： , 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500 这位运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列 记为{an}, 其中 a1=7500, a7=10500. 有等差数列前n项和公式知 Sn=7(a1+a7)/2=63000 答：这位长跑运动员7天共跑了63000m
3、等差数列4，3，2，1，…前多少项的和是－18?
4、所有被7除余3的两位数之和为____________.
五、综合提升
例1.在等差数列｛an｝中，a4=0.8,a11=2.2, 求a51+a52+„+a80
a1 3d 0.8 解 :由 通 项 公 式得 , a1 10d 2.2
二、等差数列前n项和公式的推导： 设等差数列{an}，Sn为前n项和， Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒，Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
又因
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
(1)+(2),得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
（3）等差数列的性质
等差数列的性质: 等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
2.2.2等差数列的前n项和公式3
已知 S n 7 n 45 ，则 a n 为整数的正整数 n
Tn n 3bn来自的个数是（）A.2 B.3 C .4 D.5
例 （1）等差数列{an}的前n项和为Sn， 若S12=84，S20=460，求S28
（2）等差数列{an}中，S4=1，S8=4， 则a17+a18+a19+a20=
谢谢聆听！
2.2.2等差数列的前n项和公式3
任课教师:
&2.2.2等差数列的前n项和（3）
例1、（1）在等差数列{an}中，已知 a5+a10=58，a4+a9=50，求它的前10项 之和S10；
（2）已知{an}为等差数列，Sn=m，Sm=n， 其中m、n∈N*，求Sm+n
（3）在等差数列{an}中，公差为d，已知
例、设Sn是等差数列{an}的前n项和，
（1）S3 1，则 S6
；
S6 3
S12
（2）a5 5，则S9
。
a3 9
S5
例、设 S n , T n是等差数列 {a n }和 {bn }的前 n 项和，
已知 S n 7 n 45 ，则 a 5
。
Tn n 3
b5
变式：设 S n , T n是等差数列 {a n }和 {bn }的前 n 项和，
10
S10=4S5，则ad1
.
例2、设数列{an}为等差数列，其前n项和 为Sn，且S4=-62，S6=-75 （1）求通项an及前n项和Sn； （2）求|a1|+|a2|+|a3|+……+|an|的值。
例、
1.项数为 2n的等差数列 {an}中
求证（1） S偶 S奇 nd；
2.2.2等差数列前n项和公式
练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之 和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
a1+an=34
an+an-1+an-2+an-3=110
Sn
n(a1 2
an )
34n 2
187,n
11
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn
na1
1 2
n(n
1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
+ S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101
100101
S=
2
=5050
实例2
如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各 层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11， 求钢管的总数 .
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；
等差数列的前n项和PPT优秀课件1
（2）100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725（元）， 存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)， 因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整 取”多收益87.912元
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27（元）， 第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）; 第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）; ………… 第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)， 本息和为3600+179.82=3779.82元；
解 得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三： 设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C， 则A，B，C成等差数列， 且A=10，A+B=30, 解得B=20，
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根， 下面每一层比上一层多放一根，共8层，这 堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数 量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同 样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第二章2.2.2(一)
整理得n2＋13n－420＝0.解之得n＝15，n＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．
小结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程 和是两个等差数列的前n项和．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(一)
跟踪训练3 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛， 要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( B ) A．9
解之得n＝4. 又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d， 解之得d＝－171.
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例2
2.2.2(一)
(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an} Sn Tn ＝
的前3m项的和S3m； (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知
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2.2.2(一)
例3 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1 分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前
本 课 时 栏 目 开 关
1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟 后第二次相遇？
2.2.2(一)
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
学习要求 1．理解等差数列前n项和公式的推导过程． 2．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由
本 课 时 栏 目 开 关
其中三个求另外两个． 3．掌握等差数列前n项和公式及性质的应用． 学法指导 1．运用等差数列的前n项和公式的关键在于准确把握它们的结构 特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当 的公式解决问题． 2．要善于从推导等差数列的前n项和公式中，归纳总结出一般的 求和方法——倒序相加法．
等差数列的前n项和公式的性质省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
(1)当1≤n≤6(n∈N*)时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝12n－n2.
(2)当n≥7(n∈N*)时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an) ＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋…＋a6) ＝－Sn＋2S6＝n2－12n＋72.
∵a1<0，∴d>0，∴Sn＝na1＋21n(n－1)d＝12dn2－221dn
＝d2n－2212－4841d.
∵d>0，∴Sn 有最小值．
又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．
解法 2：同解法 1，由 S9＝S12 得 a1＝－10d
代入aann＝＋1＝a1＋a1＋nn－d≥1d>0≤0 得，－ －1100dd＋ ＋nnd－≥10>d≤0
∵a1<0，∴d>0， 解得 10＜n≤11. ∴n 取 10 或 11 时，Sn 取最小值．
解法 3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0， ∴3a11＝0，∴a11＝0.∵a1<0，∴前 10 项或前 11 项和最小．
小结：求等差数列{an}前n项和Sn旳最值常用措施： 措施1：二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn，
2.2.2等差数列前n项和公式 旳性质及其应用
思（2分钟）
1.等差数列旳递推公式是什么？
an－ an－1＝d（n≥2） an－1＋an＋1＝2an（n≥2）
2.等差数列通项公式是什么？构造上它有什么特征？ an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋k. 在构造上是有关n旳一次函数.
3.等差数列前n项和旳两个基本公式是什么？
『变式探究』
§2.2.2 等差数列的前n项和的性质
学习目标：1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 理解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3、激情投入、高效学习，培养良好的数学思维品质以及发散思维。
二、问题导学：自学课本，思考并回答下列问题:复习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .复习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .新知：与前n 项和有关的等差数列的性质：1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也成等差数列，公差为2k d .3. 等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1°若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S n S n +偶奇＝大家试推到这些性质。
例1：已知等差数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 如果是，它的首项与公差分别是什么？ 拓展： 已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式，并判断此数咧是否是等差数列。
小结： 例2：已知等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，若S 12=84，S 20=460,求s 28.（你能找到多少种方法？） 小结：n 2(1) 求证：数列{}n a 是等差数列；(2) 问数列{}n a 的前多少项和做大；(3) 设数列{b n }的每一项都有bn=|a n|,求数列{b n }的前n 项和Tn.小结：四、深化提高：1. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）.A. 3B. 4C. 6D. 122. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.3. 等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.4. 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.5. 已知等差数列{}n a 的前四项和为25，后四项和为63，前n 项和为286，n 五、我的学习总结：（1）我对知识的总结 （2）我对数学思想及方法的总结。
&2.2.2等差数列的前n项和公式
等差数列前n 等差数列前n项和公式
2 S n = n(a1 + an )
an = a1 + (n − 1)d
n(a1 + an ) Sn = 2
n(n − 1) S n = na1 + d 2
1。对于这两个公式分别有四个未知数，如果 已知其中的任何三个可以求另外一个 2。请注意这两个公式的灵活运用
1 练习： 的前n项和为 练习： 已知数列 {an } 的前 项和为Sn = n + n 2 求这个数列的通项公式。 求这个数列的通项公式。这个数列是等 差数列吗？如果是，它的首项与公差分 差数列吗？如果是， 别是什么？ 别是什么？
2
练习:
• 等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,则该数列前多 少项和最小? • 在首项为正数的等差数列{an}中,它的前3项 和与前11项和相等,问此数列的前多少项和 最大? • 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12, 且S12>0,S13<0, (1)求公差d的取值范围; (2)该数列前几项的和最大.
an − an −1 = d (n ≥ 2且n ∈ N * ) 1．等差数列的定义 ．等差数列的定义：
2．等差数列的通项公式：(1)an = a1 + (n − 1)d ．等差数列的通项公式： (2)an = am + (n − m)d
a+b 3．等差中项：A = 2 ⇔ a, A, b 成等差数列 ．等差中项：
实际上高斯解决了1+ 2 + 3 + ... + n + ... 等差数列的前 n 项和的问题
1 + 2 + ... + n-1 + n n + n-1 + ... + 2 + 1
§2.2等差数列的前n项和
• 3．若等差数列{an}的通项公式为an＝2n－3(n∈N＋且n≤10) ，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝35，a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝45，结合 等差数列的性质和前n项和公式，上面的问题可以有多种求法 ，若记S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10， 则
• 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10， 求前110项之和．
• 本题既可以按照基本方法先求首项和公差，写出前n项和 公式来求解，也可以利用等差数列的前n项和性质进行求解．
[解题过程] 方法一：设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，
则 Sn＝na1＋nn－2 1d.
1．等差数列的前 n 项和公式与函数
由于等差数列的前 n 项和公式
Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋a1－d2n. • (1)当d＝0，a1≠0时，Sn＝ na1 ，它是n的
一次
函数．
• 2．等差数列的前n项和的性质
• 设{an}是公差为d的等差数列，则
• (1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也成等差数列，公差为 m2d .
S偶＋S奇＝354， ∴SS偶 奇＝3227，
∴SS偶 奇＝ ＝119622， ， ∴d＝192－6 162＝5， 又∵S 奇＝a1＋a211×6＝3(2a1＋10d)＝162， ∴a1＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.
• [题后感悟] 等差数列{an}中，a1，a3，a5，…是首项为a1 ，公差为2d的等差数列，a2，a4，a6，…是首项为a2，公差为 2d的等差数列．当项数为2n时，S偶－S奇＝nd，方法二中运用 到了这些性质.
• 有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn， 若TSnn＝7nn＋＋32，求ab55.
等差数列求和性质
数)，那么这个数列一定是等差数列吗？
开 关
3．如果{an}是一个等差数列，那么{|an|}还是等差数列吗？如果不再
是等差数列，如何求{|an|}的前n项和？
这一节课我们就来解答上面的问题．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
探究点一 数列{an}的前n项和Sn与an的关系
问题 我们已经知道，如果通项公式an已知，就能求出Sn；反
正整数时，Sn 取到最值．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前 n项和Sn取到最值时序号n的规律.
序
本号
等差数列
基本量 前 n 项和 Sn Sn 的最值
课
时 栏 目 开
1 1,3,5,7,9，…，
a1＝_1_， d＝_2_
Sn＝_n_2
(Sn)min＝1， 此时 n＝1__
前n项和Sn的最小值．
解 方法一 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.
本 ∴a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<….
课 时
∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．
栏 目
易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.
开
关
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2.2.2（二）
方法二 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12.
时
栏
故S23＝S24最小.
目
开
关
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2.2.2（二）
[问题情境]
1．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？
本
如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？
高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和(一)课
以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三
求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体
求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
11
预课当跟习堂踪导讲检演学义测练1 在等差数列{a栏n}中目.索引 CONTENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
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[学习目标]
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由
其中三个求另外两个.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
2
预课当习堂导讲检学义测
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挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
(1)a1＝65，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d.
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
解 由题意，得 Sn＝na1＋ 2 an＝n56－ 2 23＝－5，
解得n＝15.
又 a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－61.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
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(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
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解 由已知，得 S8＝8a1＋2 a8＝84＋2 a8＝172，解得 a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
13
2.2.2等差数列的前n项和
2.2.2等差数列的前n 项和峡山中学 数学组一、课标点击(一)学习目标：1．掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题2通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法(二)教学重、难点：重点：等差数列n 项和公式的理解、推导及应用难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题 二、教学过程: （一）知识链接1．等差数列的定义是什么？ 2．等差数列的通项公式是什么？ （二）问题导引高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050。
教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050”(三)自主探究自主学习课本第35页至37页例3前的部分内容，并完成以下问题。
知识点梳理：1．等差数列的前n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半2)(1n n a a n S += 2．2)1(1dn n na S n -+= 思考与讨论:(1) 等差数列前n 项和公式有何特点，应用时如何选取合适的公式？(2) 如果一个数列的前n 项和的公式为c bn an S n ++=2（c b a ,,为常数）， 那么这个数列一定是等差数列吗？(3) 在等差数列中通项n a 与前n 项和n S 之间满足什么关系？ (四) 典例探讨例1 已知等差数列{n a }的公差为2，第20项2920=a ，求前20项的和点拨：n n S n a d a ,,,,1这五个量知三求二，根据题意选取不同的公式。
2.2.2 等差数列的前n项和-王后雄学案
张喜林制2.2.2 等差数列的前n 项和教材知识检索考点知识清单1．等差数列的前n 项和公式为=n S =2．若数列}{n a 的前n 项和公式为B A Bn An S n ,(2+=为常数），则数列}{n a 为 3．以前n 项的项数为横坐标，前n 项和为纵坐标的图象为抛物线上的一些4．等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为,n S 那么数列-k k 2S ,S )(,,23+∈-N k S S S k k k 是等差数列，其公差等于5．若在等差数列}{n a 中，,0,01<>d a 则n s 存在 ；若在等差数列}{n a 中，,0,01><d a 则n s 存在6．等差数列的项数若为)(2+∈N n n 项，则=n S 2 ．且=-奇偶S S =偶奇S S ,7．等差数列的项数若为)(12+∈-N n n 项，则=-12n S ,).12(n a n -且1,S S -==-n nS S a n 偶奇偶奇（其中 =奇S =偶S , ）8．若}{},{n n b a 为等差数列，,,11k nk n k n k n b B a A ∑∑====则=mmb a 要点核心解读1．等差数列的前n 项和公式及应用公式1：;2)(1n n a a n s +=公式2：;2)1(1d n n na s n -+= 公式3：Bn An S n +=2一般地，若已知首项1a 和n a 或,1n a a +求n S 用公式1；若已知首项1a 和公差d ，求n S 用公式2；其他情况下，应视条件灵活运用所学知识（等差数列的性质、通项公式、前n 项和公式等）进行转化，使问题得到解决．如：已知等差数列}{n a 中，(1)若,1285=+a a 求;12s (2)若,18,684==a a 求;20S (3)若,5,12125==S S 求⋅10s对于(1)可利用等差数列的性质得.72126)(62)(128512112=⨯=+=+=a a a a S对于(2)可先由条件求出首项1a 和公差d ，再由公式2求⋅20S对于(3)可先由条件利用公式3得到关于A 、B 的方程组，解出A 和B 的值，再由公式3求⋅10S 2．前n 项和公式与通项公式的结合，即方程思想的运用等差数列的通项公式与前n 项和公式反映了等差数列的首项、1a 公差d 、通项n a 前n 项和n s 以及项数n 之间的关系，通过它们可由n n t S a d a ,,,和n 五个量中的任意三个求出另外两个，即“知三求二”，运用这一方法可以解决等差数列中基本量的求解，如求1a 和d ，项数n 等问题．3．等差数列前n 项和的主要性质等差数列}{n a 的前n 项和n s 具有以下常用性质：,,,,)1(34232n n n n n n n S s s S S s s ---仍成等差数列．Bn An S n +=2)2(即n s 是n 的缺常数项的二次函数．(3)若等差数列首项1a 与公差d 异号，即01<d a 时，前n 项和n s 必有最值，若1a 与d 同号，即,01>d a 则11a s =即是n S 的最值（此种情况较明显，一般不必研究）．(4)等差数列}{n a 中，当n 为奇数时，+=-1,a S S h 偶2121+=-n a d n （中间项）； 21.+=n n a n S （项数与中间项的积）； 11-+=n n s s 偶奇（项数加1比项数减1）．当n 为偶数时，;2d n s s =-⋅奇偶 12122S ,22.++=+=nnn a n a S a n an s 偶奇4．等差数列前n 项和的最值解决等差数列前n 项和最值的基本思想是利用前n 项和公式与函数方法解决，常用的有以下几种： (1)找转折项：若给出等差数列的通项公式或首项、公差易求时，一般可找转折项来求n s 的最值，若n S d a ,01<必有最值，当0,01><d a 时，n s 有最小值；当0,01<>d a 时，n S 有最大值，由通项0≥n a （或)0≤n a 便可求出转折项，从而求出n S 的最值．(2)二次函数法：利用前n 项和公式=-+=d n n na s n 2)1(1,)2(212n da n d -+结合二次函数的性质讨论最大值或最小值．（将n s 看做自变量n 的二次函数）．(3)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使n S 取最值． 5．数列的前n 项和n S 与通项n a 的关系由n n n a a a a a s +++++=-1321 与++=-211a a s n ,123--+++n n a a a 可得n n n a S S =--1).2≥n （又,11a S =⎩⎨⎧⋅≥-==∴-)2(),1(11n S S n s a n nn利用此关系式可由n S 求n a 或进行n S 与n a 的相互转化．典例分类剖析考点1 前n 项和公式的运用命题规律(1)利用前n 项和公式求其他的量（如首项,1a 公差d ．项数n 等）．(2)利用前n 项和公式解决一些简单的求和问题． [例1] （2010年浙江模拟题）在小于100的正整数中共有多少个数被3除余27这些数的和是多少？ [解析] 被3除余2的正整数可以写成)(23N n n ∈+的形式．[答案] 由,10023<+n 得,3232<n 即n 可取0，1，2，3，…，31，32，所以在小于100的正整数中共有33个数被3除余2．把这些数从小到大排列出来就是2，5，8，…，98，它们组成一个等差数列},{n a 其中,33,98,2331===n a a 因此它们的和为.16502)982(3333=+⨯=S[启示] 本题运用等差数列通项公式和前n 项和公式解题．[例2] 已知}{n a 为等差数列，,,n S m S m n ==其中,n m =/,,+∈N n m 求⋅+n m S [答案] 解法一：（常规解法，方程思想）思路：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=d m m m a n d n n na m 2)1(,2)1(11由可解出.,1d a故 .2)1)(()(1d n m n m a n m S n m -++++=+解法二：（常规方法，整体代换，不求),1d a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=-+=],)1(2[22)1(],)1(2[22)1(1111d m a m d m m m a n d n a n d n n na m 以上两式相减，即=+--+-])()(2[21221d m m n n m n a .n m -.0,=/-∴=/n m n m∴ 上式可化为.2)1(21=--+-d n m a 即.2)1(21-=-++d n m a 由 2)1)(()(1dn m n m a n m s n m -++++=+])1(2[2)(1d n m a n m -+++=.)2(2n m n m --=-⋅+=解法三：设),(2+∈+=N x Bx Ax s x则⎩⎨⎧=+=+②①.,22m Bn An n Bm Am ①一②得.)()(22m n n m B n m A -=-+-.1)(,-=++∴=/B n m A n m故),()()(2n m n m B n m A +-=+++即.)(n m n m S n m --=+-=+ 解法四：（利用性质，简化运算）等差数列中若,q p n m +=+则⋅+=+q p n m a a a a 不妨设,n m >m m n n n m a a a a S S ++++=--++121⋅+-=-=+)(2)(1m n a a n m m n .2)(211-=--=+=+∴++nm m n a a a a m n n m.)()(2)(1n m n m a a n m S n m n m --=+-=++=∴++注意多种方法的比较．[启示] 由于本题是字母系数，用解法一太繁琐，此法不可取．d a ,1是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素,1a ,d 再解决其他问题．但本题解法二关键在于求出了-+-(|21a .2)=-d n m解法三的关键在于求出了,1)(4-=++B n m 这种设而不解的“整体化”思想，在解决有关数列的问题中要注意运用，同时要注意等差数列中Bn An s n +=2的应用．母体迁移 1．(1)（上海高考题）已知数列}{n a 中，=1a ,2,71+=-+n n a a 求=+++1721a a a (2)（2010年湖北省重点中学联考题）已知数列}{n a 中，,2,3,7221+==-=+n n a a a a 则=100S 考点2 等差数列的性质 命题规律(1)利用等差数列前n 项和的性质简化运算过程． (2)等差数列的性质在求和中的灵活运用．[例3] (1)等差数列}{n a 的前12项和为354，前12项中奇数项与偶数项的和之比为27：32，求公差d ．(2)有两个等差数列},{},{n n b a 满足=++++++++n n b b b b a a a a 321321,327++n n 求⋅55b a[解析] (1)前12项中奇数项，偶数项分别构成以21,a a 为首项，2d 为公差的新的等差数列，n n b b b a a a ++++++ 2121,)2(分别为等差数列}{},{n n b a 的前玮项和，因此可用等差数列前n项和公式或其他相关性质解答．[答案] (1)解法一： 前12项中=⨯⨯+=d a S 225661奇,3061d a +,3662256)(611d a d d a S +=⨯⨯++=偶 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++∴,354)366()306(,3236630611127:d a d a d a d a l 解得⎩⎨⎧==.2,51a d 解法二：)()(11311242a a a a a a S S +++-+++=- 奇偶)()()(11123412a a a a a a -++-+-=⋅=d 6⎪⎩⎪⎨⎧=+=,354,3227偶奇偶奇S S S S ⎩⎨⎧==∴.162,192S 奇偶S.5,6162192=∴=-=-∴d d S S 奇偶(2)解法一：设等差数列}{},{n n b a 的公差分别为,,21d d 则,21212)1(2)1(211121112121d n b d n a d n n nb d n n na b b b a a a n n -+-+=-+-+=++++++ 则有 ⋅++=-+-+32721212111n n d n b d n a ①又由于,44211155d b d a b a ++= ② 观察①②，可在①中取,9=n得⋅=++⨯=++126539297442111d b d a 故⋅=126555b a解法二：设}{},{n n b a 的前n 项和分别为,,n n B A 则有=n n B A ,327++n n 其中2)(1na a A n n +=由于,2591a a a =+即,2591a a a =+ 故.929)(5919⨯=⨯+=a a a A同理.959⨯=b B 故995599⨯⨯=b a B A 故⋅=++⨯==1265392979955B A b a解法三：因为等差数列前n 项和.2a bn an s n =+=⋅+)(abn n 根据已知，可令=+=n n B kn n A ,)27( .)3(kn n +,654)247(5)257(455k k k A A a =⨯+⨯-⨯+⨯=-=∴ .124)34(5)35(455k k k B B b =⨯+-⨯+=-=⋅==∴1265126555k k b a 解法四：由⋅=++⨯==-=--126539297,99551212B A b a k b a B A n n n n [启示] (1)把目标式用o ．与d 两个基本量来表示，此法具有普遍性．若能进一步利用好等差数列的性质，则可使求解过程简捷．(2)等差数列的项随项数而均匀变化，这是等差数列的最本质特征，而等差数列的性质则是这一特征的具体反映，利用等差数列的性质解题，就是要从等差数列的本质特征入手去思考，分析题目，这样做必定会获得事半功倍的效果．母体迁移 2．(1)在等差数列}{n a 中，=++1272a a a ,24求⋅13S (2)等差数列}{n a 的公差,21=d 且,145S 001=求++31a a ⋅++995|a a (3)已知等差数列}{n a 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项和中奇数项和与偶数项和之比为7：6，求中间项．(4)已知等差数列}{n a 的前4项和为25，后四项和为63，前n 项和为286，求项数n ． 考点3 等差数列}{n a 各项取绝对值后组成的数列|}{|n a 的前n 项和 命题规律(1)将不熟悉的数列问题转化为熟悉的数列问题．(2)利用数列与二次函数的关系确定哪些项为正，哪些项为负．[例4] 在等差数列}{n a 中，,12,60171-=-=a a 求数列|}{|n a 的前n 项和．[解析] 本题实质是求等差数列}{n a 前n 项绝对值的和，需要先搞清哪些项是正的，哪些项是负的． [答案] 等差数列}{n a 的公差.316)60(12117117=---=--=a a d)1(360)1(1-+-=-+=∴n d n a a n.633-=n又.21,0633,0<<-∴<⋅n n a n∴ 等差数列}{n a 的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．设n S 和/n S 分别表示数列}{n a 和|}{|n a 的前n 项和．当20≤n 时，]2)1(360[/-+--=-=n n n S S n n .2161232n n +-=当20>n 时，202020/2)(S S S S S S n n n -=-+-=)3219202060(22)1(360⨯⨯+⨯---+-=n n n .12602161232+-=n n ∴ 数列|}{|n a 的前n 项和为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤+-=.20,1260216123,20,21612322/n n n n n n S n[特别提醒] (1)对于这类数列的求和问题，一是要弄清哪些项为正，哪些项为负；二是要尽量将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，即等差数列的问题．(2)解答本题的关键是确定等差数列}{n a 的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．母体迁移3．（2010年烟台模拟题）数列}{n a 的前n 项和为,102n n S n -=求数列|}{|n a 的前n 项之和．考点4 n S 的最值问题 命题规律(1)用求二次函数的最值方法求其前，n 项和的最值，但要注意的是⋅∈+N n (2)利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使n S 取最值． (3)利用“通项法”来求n s 的最值．[例5]等差数列}{n a 中，,,0941S S a =>则n S 取最大时，=n [解析] 解法一：n S 有最大值，n S ∴是开口向下的抛物线．由于,94s s =故对称轴为.5.6294=+=n 从而6=n 或7时，n S 最大，如图2 -2 -2 -1所示．解法二：=⨯+∴=d a S S 2344,194 .6,289911d ka d a -=⨯+ .0,01<∴>d a-=-+-⋅=-+=∴2122)1()6(2)1(n d d n n d n d n n na S n .213n d∴<,0d 开口向下，且对称轴⋅∈==+N n n ,5.62136=∴n 或7时，n S 最大．解法三：由解法二中①得-+-=-+=n d d n a a n (6)1(1.)7()1d n d -=由⎩⎨⎧≤≥+,0,01n n a a 得⎩⎨⎧≤-≥-.0)6(,0)7(d n d n ⎩⎨⎧≥-≤-∴<.06,07,0n n d 解得,76≤≤n 故6=n 或.7 [答案] 6或7[方法点拨] 解法一利用等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，结合二次函数的性质解答此题；解法二是从写出n s 的二次函数表达式入手；解法三是采用正负项分界法，解法更为简便．母题迁移 4．（2010年广东省部分重点中学联考题）数列}{n a 是等差数列，.6.0,501-==d a (1)从第几项开始有;0<n a(2)求此数列的前n 项和的最大值，考点5 等差数列的前n 项和公式的实际应用 命题规律(1)从实际生活应用中抽象出等差数列的前n 项和公式模型． (2)利用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的实际问题．[例6] 某地在抗洪抢险中接到预报，24 h 后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24 h 内另筑起一道堤坝作为第二道防线．经计算，如果有20辆大型翻斗车同时工作25 h ，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20 min 就有一辆车到达并投入工作，问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24 h 内完成第二道防堤，请说明理由．[解析] 本题利用总工时来计算总工作量的应用问题，而每辆车工时之和可以表示成一个等差数列的和，问题的本身可转化为求解关于翻斗车数量的不等式即可． [答案] 设从现有的一辆车投入工作算起，各车的工作时间，依次组成数列},{n a 则⋅-=--311n n a a ∴ 数列}{n a 构成首项为24，公差为31-的等差数列，设还需组织（n-l ）辆车，则=+++n a a a 21 ≥--+)31.(2)1(24n n n .2520⨯ .0)120)(25(,030001452≤--≤+-∴n n J n n η.241,2512025[]=-∴=≤≤∴n n n m i故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24 h 内完成第二道防堤[启示] 本题的基本关系是每辆车每小时的工作量×车数×时间=工作总量，母题迁移5．（原创题）假设某市2010年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2010年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造的住房面积的比例首次大于85%?优化分层测讯学业水平测试1．已知}{n a 是等差数列，,1010=a 前10项和,7010=s 则其公差=d ( )．23.-A 31.-B 31.C 32.D 2．等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 若,10,242==S s 则6s 等于( )．12.A 18.B 24.C 42.D3．已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n A 和,n B 且,3457++=n n B A n n 则使得n n b a 为整数的正整数n 的个数有( )．A.2个B.3个C.4个 D ．5个4．在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项的和为165．所有偶数项的和为150，则n 等于( )．A ．9 B.10 C ．11 D ．125．等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有 项．6．设,221)(+=x x f 利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求+-+-)4()5(f f f f +++ )0( )6()(5)f +的值为7．在数列}{n a 中，,66,2171==a a 且它的通项公式是关于正自然数n 的一次函数，则它的前10项和为8．（2010年济南市模拟题）近日国内某大报纸有如下报道：加薪的学问学数学，其实是要使人聪明，使人思维更加缜密．在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案，一是每年增加薪水1000元；二是每半年增加薪水300元，请选一种．一般不擅数学的，很容易选前者，因为一年加1000元总比两个半年共加600元要多．其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如：在第二年的年末依第一种方案可以加得l 000 +2000 =3000(元)；而第二种方案在第一年加得300+ 600= 900（元），第二年加得900 +1200=2100（元），总数也是3000元．但到第三年，第一种方案加得1000+2000 +3000=6000（元）；第二种方案则为300+600 +900 +1200 +1500 +1800=6300（元），比第一种方案多了300元．第四年、第五年会更多．因此，你若能在该公司干三年以上，则应选第二种方案根据以上材料，如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少元？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）1．（2011年全国高考题）设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若,11=a 公差,24,22=-=+k k S S d 则k=( )．8.A 7.B 6.C 5.D2．若数列}{n a 是等差数列，首项.,0,020*********a a a a >+>ω,02006<a 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是( )．4009.A 4010.B 4011.C 4012.D3．等差数列}{n a 与},{n b 它们的前n 项之和分别为n S 与,n S 若),(27417+∈++=N n n n S S n n 则1111b a 的值是( )． 47.A 23.B 34.C 7178.D 4．已知等差数列的前n 项和为,n s 若,0,01213><S S 则此数列中绝对值最小的项为( )，A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项5．（2009年安徽高考题）已知}{n a 为等差数列，=++531a a a .99,105642=++a a a 以n S 表示 }{n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( )．21.A 20.B 19.C 18.D6．根据市场调查结果，预测某种家用电器从年初开始的n 个月内累积的需求量n S （万件），近似地满足--=2ln 2(90n n S n )12,,2,1)(5 =n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )． A.5月、6月 B.6月、7月 C.7月、8月 D ．8月、9月7．等差数列}{n a 中，,51-=a 它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项．余下的10项的平均值为4．则抽去的是( )．8.a A 6.a B 10.a C 11.a D8．设等差数列}{n a 满足,53138a a =且,01>a 则前n 项和n S 中最大的是( )．10.s A 11.S B 20.S C 21.s D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）9．等差数列}{n a 中，其前n 项和为100，其后的2n 项和为500，则紧随其后的3n 项和为10.（2009年辽宁高考题）等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且==-435,556a s S11.若一个等差数列前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的翱为390，则这个数列有 项．12.（北京高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列}{n a 是等和数列，且,21=a 公和为5，那么8]a 的值为____，这个数列的前n 项和n s 的计算公式为三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）等差数列}{n a 的前n 项和记为,n s 已知,3010=a .5020=a(1)求通项,n a(2)令,242=n s 求n ．14.（13分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走Im ，乙每分钟走5 m ．(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15.（14分） （2010年湖北省部分重点中学联考题）已知}{n b 是首项为l ，公差为34的等差数列，且 nna a a b n n ++++++= 21221 (1)求证：}{n a 也是等差数列；(2)若++=++=+==874654332211,,,a a c a a a c a a c a c ,109a a +如此构成数列},{n c 求数列 }{n c 的通项公式，。
§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和
20×(20 −1) S= ×20 = 3 800(m). 2
答 植树工人共走了3 800m路程 路程. 植树工人共走了3 800m路程.
九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达 后有一洪峰到达. 例11 九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达. 为确保安全， 为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第 二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车， 20台同型号翻斗车 二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆 工作24h后方可筑成第二道防线. 24h后方可筑成第二道防线 工作24h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施 其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min 20min能有 工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min能有 一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h 25辆车 24h内能 一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h内能 否构筑成第二道防线？ 否构筑成第二道防线？ 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位： 解 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位： h)依次设为 依次设为： h)依次设为：
∵a1 =1 a120 =120, n =120 ,
120×(1+120) ∴S120 = = 7 260 支） （ . 2
支铅笔. 答：V形架上共放着7 260支铅笔. 形架上共放着7 260支铅笔
1.回顾从特殊到一般的研究方法; 1.回顾从特殊到一般的研究方法; 回顾从特殊到一般的研究方法 2.倒序相加的算法及数形结合的数学思想; 2.倒序相加的算法及数形结合的数学思想; 倒序相加的算法及数形结合的数学思想 3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用， 3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用，及函数与方 掌握等差数列的两个求和公式及简单应用 程的思想. 程的思想.
人教社2024中职数学拓展模块一教学课件-等差数列的前n项和(第1课时)
．
等差数列前 n 项的和等于首末两项的和乘项数除以 2 ．
新知探究
➢
等差数列的前 n 项和公式 Sn
n
a1 + an 2
的推导
对于公差为d的等差数列，我们用两种方法表示Sn．
Sn a1 (a1 d ) (a2 2d ) Sn an (an d ) (an 2d )
[a1 (n 1)d](1) [an (n 1)d](2)
新知探究
➢
等差数列的前 n 项和公式 Sn
n
a1 + an 2
的推导
（1）+（2）得到
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an )
n a1 an .
由此得到
Sn
n
a1 + an 2
．
(a1 an )
新知探究
➢ 等差数列的前 n 项和公式
因为 an = a1+(n－3; an 2
又可写成
Sn = na1+
n （n－1）
2
d．
问题 （1）你能说出两个公式中包含的变量有哪些吗？ Sn ，a1，n ，d ，an
（2）两个公式从哪些角度反映等差数列性质，公式如何选择？
巩固练习
1．在等差数列 {an}中，a1 5,a10 95,n 10,求Sn .
解：依题意得，S10
2
作业布置
教材第52页，练习第 1题的（3）（4）．
再见
10
5 95 2
500.
2．在等差数列{an}中，a1 = 100，d = －2，n = 50，求 S50.
解：依题意得，S50
50 100
50
2
等差数列的前n项和的最值教学文稿
6
213+23+33+ +n3=nn2+12
(3)裂项法：设{an}是等差数列，公差d≠0
1+1+1++ 1 =n
a1a2 a2a3 a3a4
anan + 1 a1an + 1
其中ana1n+1
1 1 =dan
1 -
an+1
求 和 S n= 1 1 3+ 3 1 5+ 5 1 7++ 2 n -1 1 2 n + 1
例3设等差数列 an 的前n项和为s n ,
已知a324,s110 求：
①数列an 的通项公式 an=-8n+48
②当n为何值时，s
s22最大
n
最大，
求等差数列前n项的最大(小)的方法
方法1:由Sn
dn2 2
(a1
d)n利用二次函 2
数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法2:利用an的符号
①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此 时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由 an≥0且an+1≤0求得.
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
a a
n
n1
0
0
n
15 2
得
n
13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
课时作业4：2.2.2 等差数列的前n项和(一)
2.2.2 等差数列的前n 项和(一)一、基础过关1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －1答案 D解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又因a 1＝1适合a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 B解析 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.3．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( )A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13 答案 D解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2，∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝12或13时，S n 最大，故选D.4．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15答案 D解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15. 5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________． 答案 23或24解析 ∵a 24＝0，∴a 1，a 2，…，a 23<0，故S 23＝S 24最小．6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．答案 4或5解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1＋3d ＝1S 5＝5a 1＋5×42d ＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝0，∴S 4＝S 5同时最大．∴n ＝4或5.7．设S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9.解 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.二、能力提升8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9答案 C解析 因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 B解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2， 得a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.10．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 013＋a 2 014＞0，a 2 013·a 2 014＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．答案 4 026解析 由条件可知数列单调递减，故知a 2 013＞0，a 2 014＜0，故S 4 026＝4 026(a 1＋a 4 026)2＝2 013(a 2 013＋a 2 014)＞0， S 4 027＝4 027(a 1＋a 4 027)2＝4 027×a 2 014＜0， 故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 026.11．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0， ∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 12>0a 1＋a 13<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0a 7<0. ∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．三、探究与拓展13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．。
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小结
n(a1 an ) 2、求和公式 ( ) Sn 2 n( n 1) ( )Sn na1 d 2
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;
3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.
②应用求和公式时一定弄清项数n. ③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，
①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.
a n a1 ( n 1) d
公式2
n（n 1) Sn na1 d 2
应用：知 三 求 二
公式记忆
—— 类比梯形面积公式记忆
（a1 an ) n Sn 2
（n 1) n Sn na1 d 2
a1
n
an
等差数列前n项和公式的函数特征：
1 d 2 d Sn na1 n n 1 d n a1 n 2 2 2
第3项与倒数第3项的和： ··· ···
3＋98 ＝101，
第50项与倒数第51项的和：50＋51＝101， 100 5050. 于是所求的和是： 101 2
高斯算法用到了等差数列的什么性质？
m n p q a m a n a p aq .
情景2
如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、 5、6、7、8、9、10，求钢管总数。
d d 2 设A , B a1 , 则Sn An Bn A, B是常数 2 2
结论：
an 是公差为2 A的等差数列
S n An 2 Bn( A, B为常数)
举例
例1、等差数列 {a n } 的公差是2，第20项是29，求前 20项的和 S 20 .
例 2：分别按等差数列{an}的下列要求计算： 1 (1)已知 a1 005＝ ，求 S2 009； 41 (2)已知 d＝2，S100＝10 000，求 an.
高斯（1777---1855）， 德 国数学家、物理学家和天文学 家。他和牛顿、阿基米德，被 誉为有史以来的三大数学家。 有“数学王子”之称。
求 S=1+2+3+···+100=？ 你知道高斯是 ··· 怎么计算的吗？ 高斯算法：
首项与末项的和：
第2项与倒数第2项的和：
1＋100＝101，
2＋99 =101，
灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求
a +a 的值.
(4 10) 7.
(4 10) 7 S 49. 2
新课
设等差数列an 的前n项和为Sn , 即Sn a1 a2 an .
怎样求一般等差数列的前n项和呢？
Sn a1 a2 an . Sn an an1 a1.
即求：S=4+5+6+7+8+9+10.
高斯算法：
还有其它算 法吗？
S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 14×3+7=49.
S=4+5+6+7+8+9+10. S=10+9+8+7+6+5+4. 相加得：
倒序相加法
2S (4 10) (5 9) (6 8) (7 7) (8 6) (9 5) (10 4)
例3.等差数列的前10项和为30，前30项和为 90，求它的前20项和．
已知数列{an }的前n项和为Sn 2n 30 n 例4、
2
（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；
（2）求使得 S n 最小序号n的值。
变式.数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6. (1)从第几项开始有an＜0； (2)求此数列的前n项和的最大值．
2Sn (a1 an ) (a2 an 1 ) (an a1 )
n(a1 an ).
a1 an a2 an 1 an a1
n(a1 an ) Sn . 2
等差数列的前n项和公式
公式1
n（a1 an ) Sn 2