直线与圆锥曲线题型总结

直线和圆锥曲线基本题型

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题

1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22

:14x y C m

+=始终有交点，求m 的取值范围

解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22

:1

4x y C m +=过动点

04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22

:14x y C m

+=始终有交点，

14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。

题型二：弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2

(1)

y k x y x

=+⎧⎨

=⎩消y 整理，得 2222(21)0k x k x k +-+= ①

由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104

k << ②

由韦达定理，得：212221

,k x x k

-+=-121x x =。则线段

AB

的中点为22211

(,)22k k k

--

。 线段的垂直平分线方程为：

22

1112()22k y x k k k

--=--令y=0,得0211

22

x k =

-，则

211(

,0)22

E k -

ABE ∆为正三角形，∴211(

,0)22

E k -到直线AB 的距离。

(AB =2

k =

212k d k +=2

2

2

23141122k k k k k

-+∴

+=

解得3913

k =±

满足②式 此时

05

3

x =

。 题型三：动弦过定点的问题 例题3、已知椭圆

C ：22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为

32，且在x 轴上的顶点

分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程；

（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：（I ）由已知椭圆C 的离心率32

c e a =

=，2a =,则得3,1c b ==。从而椭圆的方程为2

214

x y +=

（II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为

1(2)y k x =+，由122(2)

44

y k x x y =+⎧⎨+=⎩消

y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-=

1

2x -和是方程的两个根，2112

1164

214k x k -∴-=+

则

2

112

12814k x k -=

+，

112

1414k y k =

+， 即点M 的坐标为

21122

11284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N

的坐标为222

22

22

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=- 12122

k k k k t

-∴

=-+，

直线MN

的方程为：

121

121

y y y y x x x x --=

--，

∴令

y=0，得211212

x y x y x y y -=

-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t

=又2t >，

∴402t

<

<椭圆的焦点为(3,0)4

3t

∴=，即433t =

故当43

3

t =

时，MN 过椭圆

的焦点。

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22

221x y a b

+= (0)a b >>上的三点，其中点

A (2

3,0)是椭圆的右顶点，直线

BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC ⋅=，2BC

AC =，

如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；

(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与 直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。

解：(I)

2BC AC

=，且BC 过椭圆的中心O

OC AC ∴=0AC BC ⋅=2

ACO π

∴∠=

又

A (23,0)

∴点C 的坐标为

(3,3)。

A (23,0)是椭圆的右顶点，23a ∴=，则椭圆方程为：22

2112x y b

+= 将点

C (

3,3)代入方程，得24b =，

∴椭圆E

的方程为22

1124

x y +=

(II) 直线PC 与直线QC 关于直线3x =

对称，

∴设直线

PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为：