吉林省长春市2020届高三质量监测(四模)数学(文)试题+Word版含答案byde

长春市 2020 届高三质量监测文科数学

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.

1. 已知集合{|(2)0}A x x x …=-，{1,0,1,2,3}B =- ，则A B =I A. {0,1,2} B. {1,3}- C. {1,2} D. {0,1,2,3}

2. 若1+(1)i (R),||2z a a z =-∈=

，则 a =

A. 0或 2

B. 0

C. 1或 2

D. 1 3. 下列与函数y x

=

定义域和单调性都相同的函数是 A. 2log 2

x

y = B. 21log ()2x y = C. 21

log y x

= D. 1

4y x =

4. 已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是 A. 1a B. 3a C. 8a D. 10a

5. 若单位向量12,e e 夹角为60︒，122-=a e e ，则||=a

A. 4

B. 2

C.

3 D. 1

6. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是

A. 甲的数据分析素养高于乙

B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养

C. 乙的六大素养中逻辑推理最差

D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲

7. 命题:p 存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立；:q 0a ∀>，

()ln

a x

f x a x

+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是 A. p q ∧ B. ()()p q ⌝∨⌝ C. ()p q ∧⌝ D. ()p q ⌝∧

8. 已知函数{

|ln |,0()2(2),0

x x f x x x x >=

-+≤，则函数()3y f x =-的零点个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 已知α为锐角，且sin()

3tan()3sin()3

π

απαπα+

=+-，则角α=

A. 12π

B. 6π

C. 4π

D. 3

π

10. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线被圆22

40x y y +-=截得的弦长为2，

则双曲线的离心率为 A.

2 B.

3 C.

22 D. 23

11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，*12

(N )n n n a S n n

++=

∈，则n S = A. 121n -+ B. 2n

n ⋅ C. 31n

- D. 1

23

n n -⋅

12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F,G 分别为棱11111,,A D DD A B 的中点，给出下列命题：

①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④ EF 和1BB 成角为4

π

. 正确命题的个数是

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13. 若,x y 满足约束条件222022

x y y x y …

……+⎧⎪-⎨-⎪⎩，则z x y =+的最大值为___________.

14.曲线()2sin f x x =在3

x π

=处的切线与直线10ax y +-=垂直，则a =_________.

15. 在半径为2的圆上有,A B 两点，且2AB =，在该圆上任取一点P ，则使得△PAB 为锐角三角形的概率为______.

16. 三棱锥-A BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥

-A BCD 体积的最大值为__________；三棱锥-A BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的

截面圆的面积为 __________.（本题第一空2分，第二空3分） 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分）

已知在△ABC的三个内角分别为,,

A B C，2

sin sin2cos

B A A

=，

1

cos

3

B=.

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若2

AC=，求AB长.

18.（本小题满分12 分）

2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：

30

50

100

擅长不擅长合计

男性

女性

合计

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？

2

()0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.072 2.706

3.841 5.024 6.6357.87910.828

P k

k

K≥

（2

()

,

()()()()

n ad bc

n a b c d

a b c d a c b d

K

-

==+++

++++

其中）

19. （本小题满分12 分）

如图，在直三棱柱

111

ABC A B C

-中，底面ABC为等腰直角三角形，AB BC

⊥，1

24

AA AB

==，,

M N分别为

11

,

CC BB的中点，G为棱

1

AA上一点，若

1

A B⊥NG.

（Ⅰ）求证：

1

A B GM

⊥；

（Ⅱ）求点

1

A到平面MNG的距离.

21.（本小题满分12 分）