rls算法的收敛性分析

RLS

与

LMS

算

法

的

收

敛

性

比

较

分

析

学号：S120101057

姓名：贾雪婷

摘要：介绍了自适应滤波器的基本原理，对最小均方(LMS, Least Mean Squares)和递归最小二乘(RLS, RecursiveL east Squares)自适应算法进行仿真分析及对比研究。仿真结果及实例均表明，两种算法都能有效抑制和抵消各种干扰，但相比之下，RLS算法具有更好的收敛性能及稳定性，除收敛速度快于LMS算法和NLMS 算法以及稳定性强外，而且具有更高的起始收敛速率、更小的权噪声和更大的抑噪能力。

关键词：自适应滤波；最小均方；递归最小二乘；收敛性；对比研究Abstract: Introducing the basic principle of adaptive filter,as for the minimum mean square(LMS, Least Mean Squares)and Recursive Least Squares(RLS, RecursiveL east Squares) adaptive algorithm is applied to the simulation analysis and comparative study. The simulation results and examples indicate that the, two kinds of algorithm can effectively restrain and offset all kinds of interference, but in contrast, RLS algorithm has better convergence performance and stability, In addition to convergence speed faster than LMS algorithm and NLMS algorithm and the stability, but also have higher initial rate of convergence、smaller right noise and more noise suppression ability.

Key words: adaptive filtering;LMS;RLS; astringency; Comparative study

一、 自适应滤波的原理

自适应滤波的原理如图一所示：

输入信号x(n)通过参数可调数字滤波后产生输出信号y(n)，将其与参考信号d(n)进行比较，形成误差信号e(n)，e(n)通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终使e(n)的均方值最小。如何提高收敛速度、增强稳定性以满足信号处理的高效性、实时性，一直是人们研究的重点和热点。

二、 自适应算法

（1） LMS 算法

自适应滤波器在时刻n 的向量定义：

抽头权向量：011()[(),(),...,()]T

M W n b n b n b n -= 参考输入向量：()[(),(1),...,(1)]T

X n x n x n x n M =--+

()d n 是主输入信号，()y n 是期望输出值，()e n 是误差信号，也是系统输出值，M 是滤

波器长度。

由维纳-霍夫方程可知，最小均方误差为：22*min ([])[]j j E e E d W P τ

=-

实际上，该方程与维纳滤波器结果完全一样。自适应滤波器与维纳滤波器相比，其差别在于它增加了一个识别控制环节，将输出与期望值进行比较，利用误差()e n 去控制()W n ，

使2

[]j E e =最小值，从而得到()W n 的估计*

()W n 。

根据最优的数学算法最陡下降法，下一个权矢量1()j W n +等于现在的权矢量()j W n 加一

个正比于梯度j ∇的负值变化量，即有：1j j j W W μ+=-∇ 通过梯度下降法：2

1[]

|j j j j W W dE e W W dW μ

+==-

推导可知：12j j j j W W e X μ+=+其中j j j j e d W X τ

=-

算法步骤： 步骤一：初始化： 步骤二：更新：1,2,3,...n =

滤波：()()()T

y n W n X n =； 误差估计：()()()e n d n y n =-；

权向量更新：*

(1)()2()()W n W n e n X n μ+=+；

其中μ是用来控制稳定性和收敛速度的步长参数。为确保自适应过程的稳定性，μ必

须满足02/in MP μ<<，其中2

[()]in P E X n =为输入功率。

（2） RLS 算法

SISO 系统动态过程的数学模型：1

1

()()()()()A z z k B z u k n k --=+ （1） 其中()u k ，()z k 为输入输出量，()n k 为噪声。式中

11212()1...a

a n n A z a z a z a z ----=++++112

12()...b b

n n B z b z b z b z ----=+++展开后得到：1212()(1)(2)...(1)(2)...()a b n n b z k a z k a z k a bu k b u k b u k n =------+-+-++-模型（1）可化为最小二乘格式：

()()()z k h k n k τθ=+ （2）

记1212[,,...,,,...,]a b n n a a a b b b τ

θ=为待估计的参数。

()[(1),...,(),(1),...,()]a b h k z k z k n u k u k n τ=------，对于1,2,...k L =（L 为数据长

度）。方程（2）构成一个线性方程组，写成()()()L

L L z k H k n k θ=+；

(1)(2)()L z z Z z L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，(1)(2)()L h h H h L τττ

⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，(1)(2)()L n n n n L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦ 根据最小二乘法一次完成算法，其参数估计为：1ˆ()L L L L LS H H H Z ττθ-=。 参数递推估计，每取得一次新的观测数据后，就在前次估计结果的基础上，利用新引入的观测数据对前次估计的结果，根据递推算法进行修正，减少估计误差，从而递推地得出新的参数估计值。这样，随着新观测数据的逐次引入，一次接一次地进行参数估计，直到参数估计值达到满意的精确程度为止。 算法步骤：

步骤一：初始化(0)0W =；1

(0)P I σ-=，其中I 为单位矩阵； 步骤二：更新1,2,...n =计算

更新增益矢量：()(1)()/[()(1)()]T

g n P n X n X n P n X n λ=-+-；

滤波：()(1)()T

y n W n X n =-； 误差估计：()()()e n d n y n =-；

更新权向量：()(1)()()W n W n g n e n =-+；

更新逆矩阵：1

()[(1)()()(1)]T

P n P n g n X n P n λ-=---；

其中，()P n 为自相关矩阵()xx P n 的逆矩阵，常数λ是遗忘因子，且01λ<<。

总上所述：算法实现的主要步骤为：（1）数据采集与生成，取()d n ，()X n ；（2）对参数的初始化；（3）自适应的滤波处理；（4）滤波器系数更新

三、 仿真

（1） 仿真过程简介