2017年高考数学解析几何圆锥曲线真题汇编

2017年高考数学《解析几何》真题汇编

1.（北京卷（理））已知抛物线2

:2C y px =过点(1,1)P ,过点1

(0,)2

作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.

解：（Ⅰ）因为抛物线C 过点(1,1)P ，把(1,1)P 代入2

2y px =，得12

p =

∴2

:C y x =

∴焦点坐标1(,0)4，准线为14

x =-

。 （Ⅱ）设过点1(0,)2

的直线方程为1

:2

l y kx =+

，1122(,),(,)M x y N x y 直线:OP y x =，直线2

2

:y ON y x x =

由题意知12

1112

(,),(,

)x y A x y B x x 由212y kx y x

⎧

=+⎪⎨⎪=⎩

，可得22

1(1)04k x k x +-+=

12122211

,4k x x x x k k

-∴+=

= 121212111222

1

()

12222x kx x y x x y kx kx x x x ++∴+=++=+ 211112

1

122(1)22124k

k kx kx k x x k x -=+=+-⋅=⨯ ∴A 为线段BM 中点。

2.（北京卷（文））已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x

轴上，离心率为

2

． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5． 解：（Ⅰ）

焦点在x 轴上，且顶点为(2,0)±2a ∴=

2

c e a =

=c ∴=222a b c =+1b ∴=

∴椭圆方程为2

214

x y +=

（Ⅱ）设()()()00000,0,,,,D x M x y N x y - ， 直线AM 的方程是()0

022y y x x =

++ ， DE AM ∴⊥，00

2

DE x k y +∴=-

， 直线DE 的方程是()0002x y x x y +=-

- ，直线BN 的方程是()0022

y

y x x -=-- ， 直线BN 与DE 直线联立

()()00000222x y x x y y y x x +⎧

=--⎪⎪

⎨

-⎪=-⎪-⎩

， 整理为：

()()00000222

x y

x x x y x +-=-- ，即()()()2200042x x x y x --=- 即()()()22

0004424x x x x x ---=-，解得042

5

E x x +=，

代入求得045

E y y ==- ∴5

4N E y y =

又

4

S 5

BDE E BDN N S y y ==△△

BDE ∴∆和BDN ∆面积的比为4:5

3.（全国卷Ⅰ）已知椭圆C ：（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1

，），

P 4（1，

）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.

解：（1）由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点

又由

22221113

4a b a b

+>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上 因此222

11,1314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224

1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩

故C 的方程为2

214

x y += （2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k

如果l 与x 轴垂直，设:l x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得,A B 的坐标分别为

(,,22

t t -

则1222

122k k t t

+=

-=-，得2t =，不符合题设

从而可设:(1)l y kx m m =+≠，将y kx m =+代入2

214

x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=

由题设可知2

2

16(41)0k m ∆=-+>

设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222844

,4141

km m x x x x k k -+=-=++

22

22=1x y a b

+22

而 12121211y y k k x x --+=

+1212

11

kx m kx m x x +-+-=+ 121212

2(1)()

kx x m x x x x +-+=

由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=

即222448(21)(1)04141m km k m k k --++-=++，解得1

2

m k +=-

当且仅当1m >-时，0∆>，于是1

:2

m l y x m +=-

+，所以l 过定点(2,1)- 4.（全国卷Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.

（1）求点P 的轨迹方程；

（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .

解：（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则000(,0),(,),(0,)N x NP x x y NM y =-= 由2NP NM =

得，00,x x y y ==

因为00(,)M x y 在C 上，所以22

122

x y +=，因此点P 的轨迹方程为222x y += （2）由题意知(1,0)F -，设(3,),(,)Q t P m n -，则

(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---=+-， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---

由1OQ PQ =得22

31m m tn n --+-=

又由（1）知22

2m n +=，故330m tn +-=

所以0OQ PF =，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ， 所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .