对量子力学中不确定关系的认识

不确定关系

物理082 任传辉叶品昭摘要：对海森堡不确定关系的建立与相关实验做了简单介绍，不确定关系的一些简单的运用与计算，一点不确定关系的体会与其他几条不确定关系。

关键词：不确定关系波粒二象性波函数统计规律

正文

不确定关系又名“不确定性原理” ,“测不准原理”，是德国物理学家海森伯在1927年提出的, 它反映了微观粒子运动的基本规律, 是物理学中又一条重要原理。它是自然界的客观规律，不是测量技术和主观能力的问题。是量子理论中的一个重要概念。

不确定关系是制约着自然界的一条基本原理。但作为量子力学原理初学者,往往觉得不确定关系很难捉摸,自从海森堡在1927年提出并论证了这一原理后，对它的解释在国内外学者中一直存在着原则的争论。

海森堡不确定关系

海森堡不确关系（有时也译成成海森堡测不准原理）是指在一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。位置的不确定性x∆和动量的不确定性p∆是不可避免的：

∆p

x

∆

≥

2/

其中 是约化普朗克常数。

1、不确定关系的建立

1927年2月，爱因斯坦向海森堡指出：“在原则上试图单靠可观察量去建立理论，那是完全错误的。实际上刚好相反，正式理论决定我们能观察到的东西。只有理论，自然规律的知识，才能使我们从感官印象中推断出基本现象。”

海森堡马上领悟到：云室里的一条电子轨迹只是一长串颗粒状的，其尺寸比电子大得多的小水珠，并不代表电子真正通过的一条精确地电子轨迹。

接着海森堡用γ射线显微镜这一理想实验，对位置和速度进行一番操作和分析，结果发现了著名的“不确定原理”，即：在微

观领域里谈论一个例子同时具有确定的速度和位置，是毫无意义的。要想准确度知道位置x，就不能同时知道其动量p；要想准确知道动量p，就不能同时准确知道其位置x；如果我们放松一点，让粒子的位置有个间隙x∆，动量就有个间隙p∆，那他们之间的关系就满足下面公式：

x≈

∆（h为普朗克常量）

∆

p

h

诸如位置和动量，能量和时间这些物理量的不确定关系，正是量子力学中出现统计关系的根本原因。

2、电子单缝衍射

电子单缝衍射实验说明了电子的波粒二象性，并验证了不确定关系。

图一、单狭缝衍射简图

我们可以用波粒二象性来讲述位置和动量之间的互补性。用平面波来描述粒子。假若，这平面波遇到一座有一条狭缝的不透明挡墙，平面波会穿过狭缝，在档墙后面的探测屏障，显示出干涉现象。从中心点（最大波强度之点）到第一个零点（零波强度之点）的夹角θ，根据单狭缝衍射公式，可以表达为

sin ωλθ/=；

其中,λ是波长，θ是狭缝宽度。θ是衍射现象的一种估量。狭缝越窄，衍射现象越宽阔，θ越大；狭缝越宽，衍射现象越窄缩，θ越小。当粒子穿过狭缝之前，在 y 方向（垂直于粒子前进方向，x 方向）的动量y p 是零。穿过狭缝时，粒子的y p 遭到改变。y p 可以由粒子抵达探测屏障的位置计算出来。y p 的不确定性∆y p 大约是

ωλθθ/sin p p p y ≈≈≈∆

当粒子穿过狭缝时，我们可以相当有信心的说，粒子的位置不确定性y ∆是狭缝宽度：

y ∆ω≈

所以，

p p y y λ=∆∆ 从德布罗意假说，

p h /=λ

其中,h 是普朗克常数，p 是动量。

所以，

h p p y =∆∆

它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量越小，动量的不确定量就越大，反之亦然。因此不可能用某一时刻的位置和动量描述其运动状态。轨道的概念已失去意义，经典力学规律也不再适用。

从电子的衍射实验可以看出:电子所呈现的粒子性,只是经典粒子概念中的主要部分———颗粒性,即电子具有一定的质量、电荷等属性. 但并没有严格地确定的位置、速度(轨道) ;电子的波粒二象性实际上主要是指物质具有颗粒性和相干性. 应当指出:经典粒子和经典波都是在宏观条件下,物质的理想模型. 在某些情况下,有些物质仅显示其粒子性,而其波动性受到抑制. 而在另一些情况下,有些物质却只显示波动性,其粒子性又受到抑制. 例如,当电子穿过云室时,显示出有一定的质量,电荷等粒子的属性,其波动性就没有明显地表

露出来,所以可以看作经典粒子. 而宏观电磁场,则主要显示波动性,而不是显示粒子性,因此可视为经典的波. 可见经典粒子与经典波动实际上都是分别忽略了波动性和粒子性的理想模型。

对经典力学的质点, 只要我们知道质点的初始条件, 即t= 0时质点的坐标X 0,和动量P 0 (或初速度v 0) 则t>0的任意时刻质点的坐标X

和动量P 由牛顿力学方程可以唯一确定, 而对微观粒子体系中的粒子则不然, 我们不能说在某时刻粒子在某一地点出现,而只能说粒子在该点可能出现, 出现的几率决定于状态波函数的绝对值平方|ψ|2这是微观粒子波粒二象性决定的。微观粒子的运动, 坐标和动量不是同时可以确定的, 也就是微观粒子的坐标和动量之间存在不确定关系, 正是微观粒子有波粒二象性的反映。

不确定关系尽管有着各种不同的导出方法,但它们共同的依据都是物质的二象性. 从而充分表明波粒二象性的确是不确定关系的物理基础。

3、海森堡显微镜实验

用来定位电子位置的海森堡伽

马射线显微镜。波长为λ的入射伽马

射线，被电子散射后，进入显微镜

的孔径角θ。在经典光学里，分辨电

子位置的不确定性是D x /λ=∆。

为了辩解不确定性原理，海森堡设计了一个想像的伽马射线显微镜实验。在这实验里，一个测量者朝着电子射出一粒光子，想要测量一个电子的位置和动量。

波长短的光子可以很精确地测量到电子位置；但是，这光子的动量很大，而且会因为被散射至随机方向，转移了一大部分不确定的动