二次函数中的存在性问题(等腰三角形)答案

1、（福建龙岩）

解：（1）抛物线的对称轴55

22

a x a -=-

= （2）(30)A -， (54)B ， (04)C ，

把点A 坐标代入2

54y ax ax =-+中，解得1

6

a =-

215

466

y x x ∴=-++

（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索．

设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．

过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，

2

BM = ① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．

222228480AB AQ BQ ∴=+=+=

在1Rt ANP △中，1P N =

=

==

152

P ⎛∴ ⎝⎭ ② AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △． 在2Rt BMP △中，2MP ==== 252P ⎛∴ ⎝⎭

③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．

画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．

过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3

Rt Rt PCK BAQ △∽△．312

P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5

P K = 5CK ∴= 于是1OK =

3(2.51)

P ∴-，

2、[07年云南省

]解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ∴(1)(5)y a x x =--． 又∵抛物线经过点(0,5)C ∴55a =，1a =． ∴抛物线的解析式为2(1)(5)65y x x x x =--=-+． （2）∵E 点在抛物线上， ∴m = 42–4×6+5 = -3．

∵直线y = kx +b 过点C （0， 5）、E （4， –3）， ∴5,4 3.

b k b =⎧⎨+=-⎩ 解得k = -2，b = 5．

设直线y =-2x +5与x 轴的交点为D ，当y =0时，-2x +5=0，解得x =52．∴D 点的坐标为（5

2

，0）． ∴S =S △BDC + S △BDE =1

515(5)5+(5)32222

⨯-⨯⨯-⨯=10．

（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，

∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．

（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形．

理由如下：∵22

0024254AP BP ==+>，

∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线 交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、4P 、5P 、6P ，

除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点． （说明：只说出P 点个数但未简要说明理由的不给分）

3、[08广东梅州]

解： （1） DC ∥AB ，AD =DC =CB ， ∴ ∠CDB =∠CBD =∠DBA ， ∠DAB =∠CBA ， ∴∠DAB =2∠DBA ，

∠DAB +∠DBA =90 ， ∴∠DAB =60 ， ∠DBA =30 ， AB =4， ∴DC =AD =2， R t ∆AOD ，OA =1，OD =3，.

∴A （-1，0），D （0， 3），C （2， 3）．

（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A （－1，0），B （3，0）， 故可设所求为 y =a （x +1）（ x -3） 将点D （0，

3）的坐标代入上式得， a =3

3

-

． 所求抛物线的解析式为 y =).3)(1(3

3

-+-

x x ···································· 7分 其对称轴L 为直线x =1． ········································································· 8分 （3） ∆PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：

①因直线L 与DB 不平行，DB 的垂直平分线与L 仅有一个交点P 1，P 1D =P 1B ，

∆P 1DB 为等腰三角形； ·

········································································· 9分 ②因为以D 为圆心，DB 为半径的圆与直线L 有两个交点P 2、P 3，DB =DP 2，DB =DP 3， ∆P 2DB ， ∆P 3DB 为等腰三角形；

③与②同理，L 上也有两个点P 4、P 5，使得 BD =BP 4，BD =BP 5． ···················· 10分 由于以上各点互不重合，所以在直线L 上，使∆PDB 为等腰三角形的点P 有5个．

4、[08浙江温州]解：（1）

Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．

点D 为AB 中点，1

32

BD AB ∴==．

90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，

DH BD AC BC ∴

=，312

8105

BD DH AC BC ∴==⨯=．

（2）

QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．

C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x

-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+．

（3）存在，分三种情况：

①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．

1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠．84

cos 1cos 10

C ∴∠==

=，

45QM QP ∴=，1364251255

x ⎛⎫

-+ ⎪⎝⎭∴

=，185x ∴=．

②当PQ RQ =时，312

655

x -

+=，6x ∴=． ③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，

11224CR CE AC ∴===．tan QR BA C CR CA ==， 3

6

6

528

x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．

5、（09 重庆）．

解：（1）由已知，得(30)C ，，(22)D ，，

90ADE CDB BCD ∠=-∠=∠°，

1

tan 2tan 212

AE AD ADE BCD ∴=∠=⨯∠=⨯=．

∴(01)E ，． ····························································································· （1分）

设过点E D C 、、的抛物线的解析式为2

(0)y ax bx c a =++≠． 将点E 的坐标代入，得1c =．

将1c =和点D C 、的坐标分别代入，得42129310.

a b a b ++=⎧⎨

++=⎩，

································ （2分）

A

B

C

D E R

P H Q

M 2 1 H

A B C

D

E R

P

H

Q