工程制图第三章

如图所示 , 四棱柱中间的切槽是由两个侧平面和 一个水平面切割而成。
平面Ⅰ为侧平面,它与四棱 柱侧面的交线为两条铅垂线 AA1,BB1。
平面Ⅱ为一水平面,它与 四棱柱侧面和侧平面的交线共 同围成一六边形。 作图时 , 先作反映切口特 征且具有积聚性的正面投影 , 然后补画其它两面投影。
Ⅰ A
B Ⅱ A1 B1
例20：求俯视图
例20：求俯视图
[例21]：求切割体的水平面的投影
侧平面
正垂面 水平面 分析： 侧平面 6 8 5 3 1
1. 截平面数量 及相对投面影面的位置
9
7
正垂面 4 2
2.截交线的空间形状及投影形状
水平面
5' （6`） 3` （ 4` ） 1` （2`）
9` 7` （8`）
作图: 1.求特殊点 2.求一般点
Ⅰ
A
B
C
Ⅱ
A1
B1
C1
2.棱锥切割体
【例12】已知三棱锥被正垂面所截切,求其截交线。 解题思路：利用正垂面的积聚投影求作三条 S 棱与该平面的交点，即三个折点的V投影。 s´ n´ k´ b´ k″ m″ c´ a″(c″) c n″ b″ A B 截平面 s″ P M N C
截交线
K
m´ a´ a m
b
d a
c
圆柱体表面上定点，关键利用其表面投影的积聚性。
例5：求圆柱表面AB线段的侧面和水平投影。 A
O
a c

a
B

b

c （b）

O1
圆柱面在俯视图上的投 影有积聚性，利用投影的积 1.先求三个特殊点 A、B、C 聚性。 的三个投影； a


c b

2.作曲线AB的侧面投影；
曲面立体截交线的形状
二、 平面立体的截交线
S 截交线 P M N C 截（断）面 K 截交线的特性： 1.是闭合的平面 折线; 2.折点是平面立 体的棱线与截平 面的交点; 3.折线是平面立 体的表面与截平 面的交线; 4.截交线是立体 表面与截平面的 共有线.
A
截平面 B
1. 棱柱切割体
【例8】已知四棱柱被正垂面所截切,求其截交线。 (d´) c´ b´ a´ e d a c b 截平面 方法:1.利用截平面和棱柱的积聚投影求出折点的V、H投影;2.根据V、H投
注意不可见的线
三、 回转体的截交线
截交线的特性： 1.截交线是闭合的平面 曲线或平面曲线与直 线围成的平面图形。 2.截交线是曲面立体的 表面与截平面的公有 线。 求截交线的方法: 曲线是由无数个 点组成的。因此,只要 求出足够的公有点， 依次连成光滑曲线， 即求得截交线。
圆柱切割体
平面平行轴线
例7：求作立体的第三投影,并完成其表面上的点和线的 其余投影.
a` e` d` c` b` a`` (b``) (e``) c``
d``
a
e’’
b e c
d
d’’
c’’
3-3 切割体的投影
一、切割体及截交线的概念
基本体被平面截切后的部分 称为切割体，截切基本体的平面 称为截平面，基本体被截切后的 断面称为截断面，截平面与立体 表面的交线称为截交线。
第3章
立体的投影
3-1 平面立体的投影 3-2 回转体的投影 3-3 切割体的投影 3-4 相贯体的投影
立体是由面所围成的空间几何形体。
平面立体
基本体：按一定规律形成的简单几何体。
回转体 组合体
平面立体：所有表面均为平面的立体。
棱柱 回转体：部分或全部表面为曲面的立体。
圆柱
棱锥
圆锥
圆球
组合体：由两个或两个以上的基本体经过切割、叠加等 方式组合而成的。
侧平面 6 8 5 3 1
9
7
正垂面 4 2
水平面
5' （6`） 3` （ 4` ） 1` （2`）
9` (8``) 7` （8`） 6`` 2``
Y。 9``
作图: (7``) 5`` 1``
1.求特殊点
2.求一般点 3 判断可见性
4.检查
y 4 8 5 3 1
2
y 1
6
8
6 4 2
9
7
9 3
5 7
截交线 切割体 截断面 截平面
截交线基本性质：
1、封闭性: 截交线为封闭的平面图形。 2、共有性：截交线既在截平面上，又在立体表面上，是截平 面与立体表面共有点的集合。 截平面 截平面
平面立体的截交线形状
1 2 截交线形状是封闭的平面多边形。 截平面由一个或多个组成。
3 截平面相对投影面有平行, 垂直,一般位置。
侧平面 1' 3 7（5） 1 6（4） 2 1"
正垂面
1. 求棱线的交点再 作图： 连线 ( 线上取点）
3. 检查漏线和多线 2. 判断可见性.
例10 求立体切割后的投影。
4 5 1
（ 3 ）
3 6
4 5
（ 6 ）
2 1
（ 2 ）
3 2 3 6 1 4
2
6 1 5 4
5
例11：求四棱柱被截切截交线的投影。
b
c
a
棱柱体表面上定点，关键利用其表面投影的积聚性。
【例3】 补全平面立体表面上各点和直线的其它投影。
（ 2´ ） b´ a´
空间思考：
2″ (c″) c´ d´ d″ 1´ a″
1）点Ⅰ、Ⅱ分别在
b″
( 1" ) d
立体的哪一侧面上； 2)直线ABCD是怎样 的线段。
2 c a b
D 1
A B C Ⅰ
1
4 b 3
A
c
求作圆柱体截交线的方法: 1.利用圆柱体表面定点的作图； 2.利用圆柱的积聚性。
[例16]： b’(c’)
c
c1
b
b1’(c1’)
b1
C C1 c(c1) B B1
A A1 a (a1)
b(b1)
[例17]：
[例18]：
例19：求俯视图
●
●
●
●
例19：求俯视图
C
2.圆锥体表面上定点
纬圆法
已知点A的正投影，求其他投影。 1. 过点的正投影 作纬圆的正投影 （a″） （直线） 。 2.求纬圆的水平投 影（圆）。
a´
A a
圆锥体表面上定点也可利用纬圆法作图
【例6】补全圆锥体表面上线的另两面投影。
c´ c″ (b″)
分析AB、BC线的所处 的位置及形状。
d″
s n b
k
【例13】求作切割三棱锥的H、W面投影。
s′
s″
a′
b′
c′ a″ (c″) c
b″
a
s
b
作图：1.利用积聚性求折点的正投影;
2.利用投影原理求出折点的H、V投影; 3.将折点连线既是截交线; 4.将未被切割的棱线加深。 s′ n´ (m′) a′ f´ a f
Pr k′
k″
s″ n″ b″
平面垂直轴线
平面倾斜轴线
平面与圆柱相交截交线的投影图
PV PV
PV
平面平行轴线 矩形
平面垂直轴线 圆
平面倾斜轴线 椭圆
【例15】已知圆柱被正垂面所截切,求其截交线。
4″ (4´) (d´) 3´ d″ (2´) c´ a´ 1´ 2″ b´ b″3″ c″ a″ 1″ Ⅱ D Ⅳ
B
Ⅲ
C
Ⅰ
d
2 a
1´ 2´ 3´ 4´ O 2″ (4″) 1″
3″
X
YW
2 3
1
4
平行
平行
YH
3. 棱锥台
3-2 回转体的投影
圆 柱 体 圆 锥 体 圆 球
素线
回转轴
回转轴
回转轴
素线
母线 素线 母线
母线
回转体的侧面是光滑曲面，因此画投影图时，仅画曲面上可见面和不可见 面的分界线的投影。
3-2 回转体的投影
一、 圆柱体
(e``)
c``
作图：
1.点A是半球相对正面的转向轮廓线上的点,可 直接求得其余两投影。 2.线段CD是一段水平圆弧,其水平投影反映实 形,侧面投影为一段直线。
a
d c e
b
3.线段BC是一段正垂圆弧,其水平投影和侧面 投影均为一段椭圆弧。点C投影已求出,再求点B 的投影。 4.取若干一般点(如点E)，求解方法同点B。 5.判别可见性，光滑连线。
3. 判别投影的可见性；
二、 圆锥体
1. 圆锥体的投影
s' s'
s" S s"
V
W
s
s
2.圆锥体表面上定点
s´
素线 法 已知圆锥侧面上点的 一个投影，求其他两个投 影。 1.已知A点的正投影 2.已知B点的正投影 3.已知C点的正投影
s″
( b´ ） c´
a´
(a″)
b″
c″
b s a
B
A
c 点在面上，一定 圆锥体表面上定点要利用素线法作图 在体表面的素线上。
作图： 利用积聚投影及投影特性求出其他投影。
二、 棱 锥
1.棱锥的投影
V
源自文库
（以正三棱锥为例）
s'
s"
a'
Wa
b' s b
c' a"(c") c
b"
一、 棱 锥
（以正三棱锥为例）
s'
s"
s′
s〞 c′
V
b′
S
a〞 c〞 C
W
a' b〞 b'
高平齐
c'
长对正
c
a"
c"
b"
a′
a
s b
A a
B
c
b
宽相等

r
k

纬圆的半径？
辅助纬圆法
B、过K点作一个与正 面平行的辅助纬圆

k
k

注意：该辅助 纬圆的正面投 影反映其实形， 水平投影和侧 面投影积聚成 与直径等长的 一直线。 k
例7：求作立体的第三投影,并完成其表面上的点和线的 其余投影.
A点在空间上的位置 a` e` d` c` b` a`` (b``) d`` 折线BCD空间形状及投影特性
1.圆柱体的投影
V
W
A
a
积聚性
任何回转体的投影中，必须用细点画线画出轴线和圆的对称中心线。
2.圆柱体表面上取点
d´ a´ (b´) b″ c´ d″ (c″) (a″)
已知圆柱面上点的一个投 影，求其他两个投影。 1.已知A点的正投影 2.已知B点的正投影 3.已知C点的正投影 4.已知D点的水平投影
d
a b c e g 3 2 Y
f a 1
d c 4
b e
1
4
完成作图: 10'
判断可见性
检查轮廓线 是否多线和漏线
7'
1' 4' 5' （3'） （2'）
9' （6 ' 8’11 ' ）
g 11 2 3 f 7 6 9 10 2 1 4 3 a b c e
8
5 Y
d
1
4
一、概
3-4 述
相贯体的投影
2. 棱锥表面上点的投影
S
A K
素线法：利用过A点的素线SK为桥梁求A点的投影。
2. 棱锥表面上点的投影
s'
s"
（2´） 1´
(2″)
(1")
a' a
b'
d´
c'
a"
c"
d"
1.空间思考,判断 点在锥体的什么位置， 哪个侧面上。 2.利用素线法， b" 求作其他投影。
2
c
1
s
d b
【例4】补全三棱锥表面上各点和直线的其他投影。 Z
影求出折点的W投影;3.依次将折点联起来既为截交线;4.将保留的线加深。
d″ e″
c″ b″ E a″
截交线
D C
P
(e´)
B
A
例9：补充四棱柱被截切后的投影。 （7 ' ） 6" 7" 6' 4' （5 ' ） （3 ' ） 2' 3" 5" 4" 2"
分析：
1. 平面立体形体表面性质 的分析（积聚性） 2. 截平面相对投影面的位 置（平行，垂直） 3. 截交线的空间分析及 投影分析（积聚性）
s'
s"
作图步骤：
7'
（8'） 6' 1' a' 8"
7"
6" 3" 4" 5" 1" b" a" (c " )
四棱锥表面上取 截交线的各顶点
（2'） 4' 2" 5' （3'） b'd 2 c' d" 8 3 c 4
a
1
7 s 6 5 b
完成作图:
多线擦除 1.将各点连成线 2.检查漏线和多线 3.判断可见性
本章学习重点：
1、立体的投影 2、表面定点和线 3、截交线 4、相贯线
3-1 平面立体的投影
一、棱柱
（以正六棱柱为例）1.棱柱的投影
V
W
长对正
高平齐
宽相等
例1：完成五棱柱的投影。
例2：完成棱柱的投影。
2.棱柱表面上点的投影
在投影图中，给出立体表面上一点的某一投影，要求 作出该点的其它投影。 c″ c´ 已知六棱柱表面上点 a´ (b´) a″的一面投影，求其他两面 投影。 b″ 1.已知A点的正投影 2.已知B点的正投影 3.已知C点的水平投影
[例22]：
g'
分析： g'' b''
f' d'' a' 2'' f
1.分析形体特征 2. 截平面数量 及相对位置
b' e' （d ' c ' f ' ）
1' 4' a' （3'） （2'）
c '' e' 3.截交线的形状 作图: 1'' 1.求特殊点
Y
g
2.求一般点 3 判断可见性 4.检查
2
3
b′
m
k s n b
c′ (m″) a″(c″) f″ c
例14：试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影。
空间分析： 7' 6'（8'）
四棱锥被水平面切割， 截交线应是平面多边形 ，其水平投影反映实形 ，侧面投影是一条线。
1'
（2'） 4' 5' （3'）
空间分析：
四棱锥被正垂面切割， 截交线也应是平面多边 形，其正面投影积聚为 一条线，水平投影侧面 投影小于实形的类似形 。
e´ a´
d´
b´
e″ a″
AB为曲线，BC为直 线。 C B
c a e d b
A
三、 圆球
1. 圆球的投影
O
转向轮 廓线 转向 轮廓 线
O
转向轮廓线
2. 球表面上的点
辅助纬圆法
A、过K点作一个与水 平面平行的辅助纬圆 注意：该辅助纬 圆的正面投影和 侧面投影积聚成 与直径等长的一 直线，水平投影 反映其实形。 k k