定积分的性质和基本定理

第二节 定积分的性质

和基本定理

用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效的，简便的计算方法。

§2.1 定积分的基本性质

一、定积分的基本性质

性质 1

∫b

a 1dx=∫b

a dx=b-a

证 0

lim →λ∑=n

1

i f(ξi ）Δx i ＝

lim →λ∑=n

1

i １·Δx i ＝0

lim →λ (b-a)=b-a

所以

∫b

a 1dx=∫b

a dx=b-a

性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］上可积，且

∫b a［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx

证：设F(x)=αf(x)+βg(x),由

lim →λ∑=n

1

i F(ξi ）Δx i ＝0

lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］

Δx i

＝0

lim →λ［α∑=n

1

i f(ξi ）Δx i ＋β∑=n

1

i g(ξi ）Δ

x i ］

＝α∫b

a f(x)dx+β∫b

a g(x)dx ，

因此

αf(x)+βg(x)在［a,b ］上可积，且

∫b a ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β

∫b

a g(x)dx

特别当α=1,β=±1时，有

∫b a ［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx ±∫

b a

g(x)dx

当β=0时

∫b a αf(x)dx=α∫b a f(x)dx

性质2 主要用于定积分的计算

性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意

两点构成的区间上可积，则

∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx

证 a,b,c 的位置，由排列知有六种顺序

(i)当a

在划分区间［a,b］时，可以让点C是一个固定的分点，则有

∫b a

f(x)dx= 0

lim →λ∑

],[b a f(ξi ）Δx i

∑

]

,[c a

＝0

lim →λ［∑]

,[c a f(ξi ）Δx i ＋∑]

,[b c f(ξi )Δx i ］

＝0

lim →λ∑]

,[c a f(ξi )Δx i ＋0

lim →λ∑]

,[b c f(ξi ）Δx i

＝∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx

（ii)当c

由(i)知

∫a

c f(x)dx=∫b

c f(x)dx+∫a

b f(x)dx 有

-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b a f(x)dx,则 ∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx 对于其它4种位置与(ii)证明类似。

性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。。

性质4 若f(x)在［a,b ］上可积，f(x)≥0，且a

a

f(x)dx ≥0

证 由f(ξi ）≥0,Δx i >0，有f(ξi ）Δx i >0有

∑

=n

1

i f(ξi ）Δx i >0，由函数极限不等式知

∫b a

f(x)dx=0

lim →λ∑=n

1

i f(ξi ）Δx i ≥0

性质4用于不通过计算，判别定积分的符号。

性质5 若f(x),g(x)在［a,b ］上可积，f(x)≥g(x)，

且a

∫b

a f(x)dx ≥∫b

a g(x)dx

证：由f(x)-g(x)≥0，由性质2，4知。

∫b a f(x)dx-∫b a g(x)dx ＝∫b a ［f(x)-g(x)］

dx ≥0

性质5用于不通过计算，比较两定积分大小。

性质6 若f(x)在［a,b ］上连续f(x)≥0但f(x)０，则

∫b a f(x)dx>0

证 由f(x)=0，则存在x 0∈［a,b ］，不妨设x ０∈(a,b)，有f(x ０)>0，由f(x)在［a,b ］上连续，所以在点x ０处连续，即0

x x lim →f(x)=f(x ０)>0，由连续保

号性知，对0<2

)x (f 0

存在δ１>0，当x ∈(x ０-δ１,x ０＋δ１）时，有f(x)> 2)x (f 0x ∈［x ０－21δ，x ０＋2

1

δ］⊂ (x ０－

δ１，x ０＋δ１）时，f(x)> 2)

x (f 0，则

∫b

a f(x)dx=∫x ０－

2

1

δa

f(x)dx+⎰

δ+

δ-

2x 2x 1020f(x)dx+

∫b

x ０＋

2

1

δf(x)dx

≥⎰

δ+

δ-2x 2x 102

0f(x)dx ≥

⎰

δ+

δ-2x 2x 102

02

)

x (f 0 dx=

2)x (f 0⎰δ+

δ-

2x 2x 1020dx=2

)x (f 01δ>0

性质6用于判断定积分值的符号

推论 若f(x),g(x)在［a,b ］上连续，f(x)≥g(x)，

且f(x)≠g(x)，a

∫b

a f(x)dx>∫b

a g(x)dx

该推论用于不通过计算比较两定积分的大小

若将性质5用不等式

－｜f(x)｜≤f(x)≤｜f(x)｜，有

－∫b

a ｜f(x)｜dx ≤∫b

a f(x)dx ≤∫b

a ｜f(x)｜dx ，于是有

性质7 若f(x)在［a,b ］上连续，则

｜∫b a f(x)｜dx ≤∫b a ｜f(x)｜dx

性质8 若f(x)在［a,b ］上连续，m 、M 是f(x)区