第七章 不等式7-1不等式的性质与解法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y＝ax2＋ bx＋ c(a>0) －b－ Δ x1＝ 2a －b＋ Δ x2＝ 2a b x1＝x2＝－ 2a 方程无解 不等式解集为 不等式解集为 Δ＝b －4ac
2
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)
ax ＋bx＋c>0(a>0)
2
ax2＋bx＋ c<0(a>0)
图 象 与 解
Δ>0
{x|x<x1或x>x2}
< bc；
性质 5
(同向可加性)a>b，c>d⇒a＋c > b＋d；
性质6 同向可乘性a>b>0 ⇒ac > bd； c>d>0 性质 7 性质 8 n≥2)． (不等式的乘方)a>b>0⇒an > bn(n∈N 且 n≥2)； n n (不等式的开方)a>b>0⇒ a > b (n∈N 且
[例2] (1)若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与 (x2－y2)(x＋y)的大小； (2)设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的 大小． 解析：(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y) ∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0， ∴－2xy(x－y)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)
总结评述：实数大小的比较问题常常利用不等式的基本 a 性质或“b>1，且 b>0⇒a>b”来解决，比较法的关键是第二 步的变形， 一般来说， 变形越彻底， 越有利于下一步的判断．
(文)已知0<x<y<a<1，m＝logax＋logay，则 有( ) A．m<0 B．0<m<1 C．1<m<2 D．m>2 解析：由0<x<y<a得，0<xy<a2，又0<a<1， 故m＝logax＋logay＝logaxy>logaa2＝2，故 选D. 答案：D
ห้องสมุดไป่ตู้
5．写一元二次不等式的解集时，一定要将 图象的开口方向与判别式结合起来．当二次 项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为 零的情形． 6．解对数不等式时，莫忘定义域的限制． 7．换元法解不等式时，要注意把求得的新 元的范围等价转化为原来未知数的取值范 围． 8．解不等式的每一步变形要保持等价．
一、数的大小比较
比较数或式的大小时，可以利用不等式的性
质进行比较；也可以作差(与0比)和作商(与1
比)比较；还可以利用函数的单调性进行比
较，要注意结合题目的特点选取恰当的方 法．
二、含参数的不等式问题 一般分为两类：一类是已知参数的取值范围， 求不等式的解；另一类是求使不等式有解
3．一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax>b 的解集： b ①当 a>0 时，解集为{x|x> }． a b ②当 a<0 时，解集为{x|x<a}． ③当 a＝0 时，若 b≥0，则 x∈∅. 若 b<0，则 x∈R.
4.一元二次不等式与二次函数、一元二次方 程的关系 的符号 一元二次方程 二次函数 Δ 一元二次不等式
A· B≥0 ⇔ B≠0 A· B≤0 A ；B≤0⇔ . B≠0
如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．
6．高次不等式的解法
只要求会解可化为一边为0，另一边可分解 为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要 注意穿根时“奇过偶不过”．
7．含绝对值不等式的解法：一是令每个绝 对值式为0，找出其零点作为分界点，分段 讨论，二是平方法． 8．含根号的不等式解法，一是换元法，二 是平方法． 9．解含参数的不等式时，要对参数分类讨
不等式解集为 b {x|x≠－ ，x∈R} 2a 不等式解集为 R
{x|x1<x<x2}
不等式解集为∅ 不等式解集为∅
Δ＝0 Δ<0
5.分式不等式的解法 fx 先通分化为一边为 ，一边为 0 的形式，再等价转 gx A A A 化为整式不等式．注意 B>0⇔A· B>0；B<0⇔A· B<0；B≥0
④解不等式中的同解变形； ⑤证明不等式中的等价变形． 2．解不等式的试题常以填空题和解答题的 形式出现，含字母参数的不等式较多，此时 需要对字母参数进行分类讨论； 3．证明不等式是考查的重点，经常与一次 函数、二次函数、对数函数、导数等知识相 结合．近几年在函数、向量、数列、解析几 何各种知识网络的交汇处命题，重点考查不 等式知识，试题的立意高、难度大、综合性 强，近两年高考命题难度有下降的趋势；
知识归纳 1．实数的三歧性 (1)对任意两个实数 a、b，a>b、a＝b、a<b 三者有且 仅有一个成立． (2)a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0. a a a b>0 时，a>b⇔ >1；a＝b⇔ ＝1；a<b⇔ <1. b b b 它们是比较数的大小，对不等式进行等价变形的基本 理论依据．
分析：因为满足条件的不等式对任意 a<0，b<－1 都成 立， 所以可取特值检验； 观察三个代数式都含因式 a， a<0， 又 1 1 故可转化为 1，b，b2的大小比较．
a a 1 解析：解法 1：令 a＝b＝－2 得， ＝1， 2＝－ ，从而 b b 2 a a 有b>b2>a，故选 D. 1 1 解法 2：∵b<－1，∴b >1，∴b<b2<1，
b a D．若 a<b<0，则a>b
c d (理)已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，a－b>0(其中 a， b，c，d 均为实数)．用其中两个不等式作为条件，余下的一 个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数 是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
解析：设 ab>0 为①，bc－ad>0 为②， c d a－b>0 为③， 1 若①②成立，则ab(bc－ad)>0， c d 即 － >0，即③成立； a b c d 若①③成立，则 ab(a－b)>0，
三、恒成立问题 一般地，a>f(x)恒成立，f(x)的最大值为M， 则a>M； a<f(x)恒成立，f(x)的最小值为m，则a<m.
[例 1]
已知 a<0，b<－1，那么下列不等式成立的是 ( )
a a A．a>b>b2 a a C.b>a>b2
a a B.b2>b>a a a D.b>b2>a
误区警示 1．两个同向不等式的两边不能分别相减，也不能 分别相除，在需要求差或商时，可利用不等式的性质 转化为同向不等式相加或相乘． 2．a≥b 含义是“a>b”或“a＝b”，只要其中一个 成立，则 a≥b 就成立． a>b a≥b a≥b ⇒a>c， ⇒a>c， ⇒a≥c. b≥c b>c b≥c
3．特别注意不等式成立的条件．对每一条性质，要弄 清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发 生的变化；避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误，特 别注意关于符号的限制条件． 如：a>b 1 1 1 1 ⇒ < 是成立的，但 a>b⇒ < 是错误的， a b ab>0 a b a>b>0 a>b ⇒ ac>bd 是 成 立 的 ， 但 ⇒ ac>bd 是 错 误 c>d>0 c>d 的． a>b>0⇒an>bn(n∈N*)是正确的， a>b⇒an>bn 是错误的， 但 若规定 n 为正奇数时，a>b⇒an>bn 是正确的．
2
a a 又∵a<0，∴ >0> 2>a，故选 D. b b
答案：D
(文)(2011· 浙江泉州)若 a、b、c 为实数，则下列命题正 确的是( )
A．若 a>b，则 ac2>bc2 B．若 a<b<0，则 a2>ab>b2 1 1 C．若 a<b<0，则 < a b
解析：对于选项A，c＝0时，ac2＝bc2；取a ＝－2，b＝－1知选项C、D错，故选B. 答案：B
●课程标准 1．不等式 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活 中存在着大量的不等关系，了解不等式(组) 的实际背景． 2．一元二次不等式 ①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型的过程． ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应 函数、方程的联系．
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次 不等式，尝试设计求解的程序框图． 3．二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组． ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元一次不等式组． ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性 规划问题，并能加以解决．
2．不等式的性质 性质 1 性质 2 性质 3 (对称性)a>b⇔b<a； (传递性)a>b，b>c⇒a > c； (可加性)a>b⇒a＋c > b＋c
移项法则： 不等式中的任意一项都可以变成它的相 反数后从一边移到另一边． 性质4 c>0 可乘性a>b a>b > bc ； ⇒ ac ⇒ ac c<0
1 (理)(2010· 全国Ⅰ文)设 a＝log32，b＝ln2，c＝5－2，则 ( A．a＜b＜c C．c＜a＜b B．b＜c＜a D．c＜b＜a )
即 bc－ad>0，即②成立； bc－ad 若②③成立，则由③得 ab >0， 由②bc－ad>0 得 ab>0， 即①成立．故正确命题个数为 3 个，选 D.
答案：D 点评：运用不等式性质时，一定要注意不等 式成立的条件，若减弱了条件或增强了条件 都可能得出错误的结论.
4．解决含有绝对值不等式问题的基本思想 是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值 符号的不等式去解．脱去绝对值符号的方法 主要有： (1)据定义：|x|≤a(a>0)⇔－a≤x≤a |x|≥a(a>0)⇔x≥a或x≤－a分段讨论，含多个 绝对值符号(高考限于2个)的情形，可令每 一个为0，找出分界点再分段，特别注意 a>0的条件． (2)平方法：只有在不等式两端同号的情况 下才适用． (3)客观题还常结合几何意义求解．
4．应用题是高考命题的热点，而且应用问 题多数与不等式相关，需要根据题意，建立 不等关系，设法求解；或者用均值不等式、 函数单调性求出最值等．
●备考指南
(1)要加强对本章一些常用思想方法的复
习．①等价转化的思想：解不等式的过程实
质上就是利用不等式的性质进行等价转化的
过程．许多数学问题要依据题设与结论的结 构特点、内在联系选择适当的解决方案，最 终归结为不等式的求解或证明．②分类讨论 思想：对含有参数的不等式问题，一般要对 参数进行分类讨论，在复习时，应引导学生 学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，
(2)在复习时应强化不等式的应用，提高应 用意识．要总结不等式的应用规律，以便提 高解决问题的能力．如在实际问题中，有构 造不等式求解或构造函数求最值等方法，求 最值时要注意等号成立的条件． (3)加强与三角、数列、平面向量、解析几 何、导数交汇的训练．
重点难点 重点：①实数运算的性质及实数的三歧性 ②不等式的性质 ③一元二次不等式的解法． 难点：①不等式性质的条件与不等式性质的 应用 ②不等式的等价变形．
(2)根据同底数幂的运算法则． aabb a a－b a－b b－a b abba＝a · ＝(b) a 当 a>b>0 时，b>1，a－b>0， a a－b 则( ) >1，于是 aabb>abba. b a 当 b>a>0 时，0< <1，a－b<0， b a a－b 则(b) >1，于是 aabb>abba. 综上所述，对于不相等的正数 a、b，都有 aabb>abba.
a＋b 4．基本不等式： ab≤ 2 (a，b>0)． ①探索并了解基本不等式的证明过程． ②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
●命题趋势 1．不等式的性质是主要考查点之一，常常 与指数函数、对数函数、充要条件等联系起 来考查，主要是选择与填空题．常见考查方 式： ①依据给定的条件，利用不等式的性质，判 断不等式或有关的结论是否成立； ②利用不等式的性质与实数的性质、函数的 性质相结合，比较数的大小； ③判断不等式中条件与结论之间的关系，是 充分条件或必要条件或充要条件；
2
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)
ax ＋bx＋c>0(a>0)
2
ax2＋bx＋ c<0(a>0)
图 象 与 解
Δ>0
{x|x<x1或x>x2}
< bc；
性质 5
(同向可加性)a>b，c>d⇒a＋c > b＋d；
性质6 同向可乘性a>b>0 ⇒ac > bd； c>d>0 性质 7 性质 8 n≥2)． (不等式的乘方)a>b>0⇒an > bn(n∈N 且 n≥2)； n n (不等式的开方)a>b>0⇒ a > b (n∈N 且
[例2] (1)若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与 (x2－y2)(x＋y)的大小； (2)设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的 大小． 解析：(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y) ∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0， ∴－2xy(x－y)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)
总结评述：实数大小的比较问题常常利用不等式的基本 a 性质或“b>1，且 b>0⇒a>b”来解决，比较法的关键是第二 步的变形， 一般来说， 变形越彻底， 越有利于下一步的判断．
(文)已知0<x<y<a<1，m＝logax＋logay，则 有( ) A．m<0 B．0<m<1 C．1<m<2 D．m>2 解析：由0<x<y<a得，0<xy<a2，又0<a<1， 故m＝logax＋logay＝logaxy>logaa2＝2，故 选D. 答案：D
ห้องสมุดไป่ตู้
5．写一元二次不等式的解集时，一定要将 图象的开口方向与判别式结合起来．当二次 项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为 零的情形． 6．解对数不等式时，莫忘定义域的限制． 7．换元法解不等式时，要注意把求得的新 元的范围等价转化为原来未知数的取值范 围． 8．解不等式的每一步变形要保持等价．
一、数的大小比较
比较数或式的大小时，可以利用不等式的性
质进行比较；也可以作差(与0比)和作商(与1
比)比较；还可以利用函数的单调性进行比
较，要注意结合题目的特点选取恰当的方 法．
二、含参数的不等式问题 一般分为两类：一类是已知参数的取值范围， 求不等式的解；另一类是求使不等式有解
3．一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax>b 的解集： b ①当 a>0 时，解集为{x|x> }． a b ②当 a<0 时，解集为{x|x<a}． ③当 a＝0 时，若 b≥0，则 x∈∅. 若 b<0，则 x∈R.
4.一元二次不等式与二次函数、一元二次方 程的关系 的符号 一元二次方程 二次函数 Δ 一元二次不等式
A· B≥0 ⇔ B≠0 A· B≤0 A ；B≤0⇔ . B≠0
如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．
6．高次不等式的解法
只要求会解可化为一边为0，另一边可分解 为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要 注意穿根时“奇过偶不过”．
7．含绝对值不等式的解法：一是令每个绝 对值式为0，找出其零点作为分界点，分段 讨论，二是平方法． 8．含根号的不等式解法，一是换元法，二 是平方法． 9．解含参数的不等式时，要对参数分类讨
不等式解集为 b {x|x≠－ ，x∈R} 2a 不等式解集为 R
{x|x1<x<x2}
不等式解集为∅ 不等式解集为∅
Δ＝0 Δ<0
5.分式不等式的解法 fx 先通分化为一边为 ，一边为 0 的形式，再等价转 gx A A A 化为整式不等式．注意 B>0⇔A· B>0；B<0⇔A· B<0；B≥0
④解不等式中的同解变形； ⑤证明不等式中的等价变形． 2．解不等式的试题常以填空题和解答题的 形式出现，含字母参数的不等式较多，此时 需要对字母参数进行分类讨论； 3．证明不等式是考查的重点，经常与一次 函数、二次函数、对数函数、导数等知识相 结合．近几年在函数、向量、数列、解析几 何各种知识网络的交汇处命题，重点考查不 等式知识，试题的立意高、难度大、综合性 强，近两年高考命题难度有下降的趋势；
知识归纳 1．实数的三歧性 (1)对任意两个实数 a、b，a>b、a＝b、a<b 三者有且 仅有一个成立． (2)a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0. a a a b>0 时，a>b⇔ >1；a＝b⇔ ＝1；a<b⇔ <1. b b b 它们是比较数的大小，对不等式进行等价变形的基本 理论依据．
分析：因为满足条件的不等式对任意 a<0，b<－1 都成 立， 所以可取特值检验； 观察三个代数式都含因式 a， a<0， 又 1 1 故可转化为 1，b，b2的大小比较．
a a 1 解析：解法 1：令 a＝b＝－2 得， ＝1， 2＝－ ，从而 b b 2 a a 有b>b2>a，故选 D. 1 1 解法 2：∵b<－1，∴b >1，∴b<b2<1，
b a D．若 a<b<0，则a>b
c d (理)已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，a－b>0(其中 a， b，c，d 均为实数)．用其中两个不等式作为条件，余下的一 个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数 是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
解析：设 ab>0 为①，bc－ad>0 为②， c d a－b>0 为③， 1 若①②成立，则ab(bc－ad)>0， c d 即 － >0，即③成立； a b c d 若①③成立，则 ab(a－b)>0，
三、恒成立问题 一般地，a>f(x)恒成立，f(x)的最大值为M， 则a>M； a<f(x)恒成立，f(x)的最小值为m，则a<m.
[例 1]
已知 a<0，b<－1，那么下列不等式成立的是 ( )
a a A．a>b>b2 a a C.b>a>b2
a a B.b2>b>a a a D.b>b2>a
误区警示 1．两个同向不等式的两边不能分别相减，也不能 分别相除，在需要求差或商时，可利用不等式的性质 转化为同向不等式相加或相乘． 2．a≥b 含义是“a>b”或“a＝b”，只要其中一个 成立，则 a≥b 就成立． a>b a≥b a≥b ⇒a>c， ⇒a>c， ⇒a≥c. b≥c b>c b≥c
3．特别注意不等式成立的条件．对每一条性质，要弄 清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发 生的变化；避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误，特 别注意关于符号的限制条件． 如：a>b 1 1 1 1 ⇒ < 是成立的，但 a>b⇒ < 是错误的， a b ab>0 a b a>b>0 a>b ⇒ ac>bd 是 成 立 的 ， 但 ⇒ ac>bd 是 错 误 c>d>0 c>d 的． a>b>0⇒an>bn(n∈N*)是正确的， a>b⇒an>bn 是错误的， 但 若规定 n 为正奇数时，a>b⇒an>bn 是正确的．
2
a a 又∵a<0，∴ >0> 2>a，故选 D. b b
答案：D
(文)(2011· 浙江泉州)若 a、b、c 为实数，则下列命题正 确的是( )
A．若 a>b，则 ac2>bc2 B．若 a<b<0，则 a2>ab>b2 1 1 C．若 a<b<0，则 < a b
解析：对于选项A，c＝0时，ac2＝bc2；取a ＝－2，b＝－1知选项C、D错，故选B. 答案：B
●课程标准 1．不等式 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活 中存在着大量的不等关系，了解不等式(组) 的实际背景． 2．一元二次不等式 ①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型的过程． ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应 函数、方程的联系．
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次 不等式，尝试设计求解的程序框图． 3．二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组． ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元一次不等式组． ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性 规划问题，并能加以解决．
2．不等式的性质 性质 1 性质 2 性质 3 (对称性)a>b⇔b<a； (传递性)a>b，b>c⇒a > c； (可加性)a>b⇒a＋c > b＋c
移项法则： 不等式中的任意一项都可以变成它的相 反数后从一边移到另一边． 性质4 c>0 可乘性a>b a>b > bc ； ⇒ ac ⇒ ac c<0
1 (理)(2010· 全国Ⅰ文)设 a＝log32，b＝ln2，c＝5－2，则 ( A．a＜b＜c C．c＜a＜b B．b＜c＜a D．c＜b＜a )
即 bc－ad>0，即②成立； bc－ad 若②③成立，则由③得 ab >0， 由②bc－ad>0 得 ab>0， 即①成立．故正确命题个数为 3 个，选 D.
答案：D 点评：运用不等式性质时，一定要注意不等 式成立的条件，若减弱了条件或增强了条件 都可能得出错误的结论.
4．解决含有绝对值不等式问题的基本思想 是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值 符号的不等式去解．脱去绝对值符号的方法 主要有： (1)据定义：|x|≤a(a>0)⇔－a≤x≤a |x|≥a(a>0)⇔x≥a或x≤－a分段讨论，含多个 绝对值符号(高考限于2个)的情形，可令每 一个为0，找出分界点再分段，特别注意 a>0的条件． (2)平方法：只有在不等式两端同号的情况 下才适用． (3)客观题还常结合几何意义求解．
4．应用题是高考命题的热点，而且应用问 题多数与不等式相关，需要根据题意，建立 不等关系，设法求解；或者用均值不等式、 函数单调性求出最值等．
●备考指南
(1)要加强对本章一些常用思想方法的复
习．①等价转化的思想：解不等式的过程实
质上就是利用不等式的性质进行等价转化的
过程．许多数学问题要依据题设与结论的结 构特点、内在联系选择适当的解决方案，最 终归结为不等式的求解或证明．②分类讨论 思想：对含有参数的不等式问题，一般要对 参数进行分类讨论，在复习时，应引导学生 学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，
(2)在复习时应强化不等式的应用，提高应 用意识．要总结不等式的应用规律，以便提 高解决问题的能力．如在实际问题中，有构 造不等式求解或构造函数求最值等方法，求 最值时要注意等号成立的条件． (3)加强与三角、数列、平面向量、解析几 何、导数交汇的训练．
重点难点 重点：①实数运算的性质及实数的三歧性 ②不等式的性质 ③一元二次不等式的解法． 难点：①不等式性质的条件与不等式性质的 应用 ②不等式的等价变形．
(2)根据同底数幂的运算法则． aabb a a－b a－b b－a b abba＝a · ＝(b) a 当 a>b>0 时，b>1，a－b>0， a a－b 则( ) >1，于是 aabb>abba. b a 当 b>a>0 时，0< <1，a－b<0， b a a－b 则(b) >1，于是 aabb>abba. 综上所述，对于不相等的正数 a、b，都有 aabb>abba.
a＋b 4．基本不等式： ab≤ 2 (a，b>0)． ①探索并了解基本不等式的证明过程． ②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
●命题趋势 1．不等式的性质是主要考查点之一，常常 与指数函数、对数函数、充要条件等联系起 来考查，主要是选择与填空题．常见考查方 式： ①依据给定的条件，利用不等式的性质，判 断不等式或有关的结论是否成立； ②利用不等式的性质与实数的性质、函数的 性质相结合，比较数的大小； ③判断不等式中条件与结论之间的关系，是 充分条件或必要条件或充要条件；