不等式选讲(选修4―5)PPT课件

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2．(2012·福建高考)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且1a＋21b＋31c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. 解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m， 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又因为f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
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1．设f(x)＝2|x－1|＋|x＋2|. (1)求不等式f(x)≥4的解集； (2)若不等式f(x)<|m－2|的解集是非空集合，求实数m的取值 范围． －3x，x≤－2， 解：(1)f(x)＝4－x，－2<x≤1， 3x，x>1， 令3x＝4或4－x＝4得x＝43或x＝0.
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所以f(x)≥4的解集为(－∞，0]∪43，＋∞. (2)f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞ )上递增， 所以f(x)≥f(1)＝3. 由f(x)<|m－2|的解集非空，可得|m－2|>3， 即m>5或m<－1， 所以m的取值范围为(－∞，－1)∪(5，＋∞).
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[做考题 体验高考] 1．(2012·江苏高考)已知实数x，y满足：|x＋y|＜13，|2x－y|＜16，
求证：|y|＜158. 证明：因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题 设知|x＋y|＜13，|2x－y|＜16，从而3|y|＜23＋16＝56，所以|y|＜158.
x<－12，
或－12≤x<4，
－x－5>2， 3x－3>2，
或xx≥＋45， >2，
解得
x<－7，或53<x<4，或
x≥4，即
x<－7
或
5 x>3.
∴原不等式的解集为x|x<－7或x>53.
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－x－5，x<－12， 法二：f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝3x－3，－12≤x<4，
x＋5，x≥4. 画出f(x)的图像，
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与绝对值不等式有关的参数范围问题
[例2] 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果关于x的不等式f(x)≤2有解，求a的取值范围． [思路点拨] (1)a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，用零点分析 法解不等式； (2)可利用绝对值的几何意义求出f(x)的最小值，然后求a的 范围．
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③当x≥1时，不等式化为－1＋x＋1＋x≥3， 即x≥32. 所以，原不等式的解为x≥32. 综上，原不等式的解集为－∞，－32∪32，＋∞.
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(2)因为关于x的不等式f(x)≤2有解， 所以，f(x)min≤2. 因为|x－1|＋|x－a|表示数轴上的点到x＝1与x＝a两点的 距离之和， 所以，f(x)min＝|a－1|. 所以|a－1|≤2， 解得－1≤a≤3. 所以，a的取值范围为[－1,3]．
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绝对值不等式的求解 [例1] 设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)>2； (2)求函数y＝f(x)的最小值． [思路点拨] 利用“零点分段法”或“绝对值的几何意义”求解．
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[规范解答] (1)法一：令 2x＋1＝0，x－4＝0 分别得 x＝－12，x＝4. 原不等式可化为：
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(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a| ⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
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高考对本讲内容的考查主要是： (1)绝对值不等式的求解； (2)与绝对值不等式有关的参数问题的求解； (3)绝对值三角不等式、基本不等式、柯西不等式在证 明不等式以及求最值中的应用．
求y＝2与f(x)图像的交点为：(－7,2)，53，2. 由图像知f(x)>2的解集为：x|x<－7或x>53. (2)由(1)的法二知：
f(x)min＝－92.
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绝对值不等式的求解方法 (1)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法： ①c>0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可. ②c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.
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(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法： ①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； ②把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间； ③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨 论所得的不等式在这个区间上的解集； ④这些解集的并集就是原不等式的解集.
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[规范解答] (1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. 由f(x)≥3，得|x－1|＋|x＋1|≥3. ①当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3， 即x≤－32. 所以，原不等式的解为x≤－32. ②当－1<x<1时，不等式化为1－x＋1＋x≥3， 即2≥3. 所以，原不等式无解．
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(2)证明：由(1)知1a＋21b＋31c＝1， 又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)1a＋21b＋31c≥
1 a· a
＋
2b·12b＋ 3c·13c2＝9.
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3．(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围． 解：(1)当a＝－3时，f(x)＝－ 1，2x2＋ ＜5x， ＜x3≤ ，2， 2x－5，x≥3. 当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x＜3时，f(x)≥3无解； 当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4； 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．