空间点线面的位置关系(优质课)
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A B
精选课件
4
3. 空间直线与平面的位置关系有三种：
1、直线在平面内
直线a与平面α有无数多个公共点
记作：直线a 平 面 α
α
2、直线与平面相交
直线与平面只有一个公共点
记作：直线a∩平面α=点A
3、直线与平面平行
A α
直线与平面没有公共点
记作：直线a//平面α
α
精选课件
a a
a
5
4.空间平面与平面的位置关系有两种：
公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
①图形语言：
P
l
②符号语言： P,P l P l
③该公理反映了平面与平面的位置关系：
精选课件
17
3.填空: (1)___不__在__同__一__直__线__上__的三点确定一个平面;
(2)两条 平行或 相交直线确定一个平面;
D'
C'
观察：在右图的长方体中，
BB'// AA',DD'// AA'，那么 A '
B'
BB'与DD'平行吗？
D
C
A
B
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …
之间有何关系？
abcde
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
精选课件
20
3.平面的基本性质
(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（1）两个平面平行---没有公
共点的两个平面
α
记作：平面α//平面β
（2）两个平面相交---两个平面不
重合，并且有公共点
记作：平面 平 α面 直 β线a
a
精选课件
6
5. 空间两条直线的位置关系：
①平行直线——在同一个平面内，没有公共点的两条直线。
②相交直线——在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。
精选课件
b10ack
3.平面的基本性质
公理1： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
①图形语言： A B C
②符号语言：
A , B , C 不 共 线 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 A , B , C
精选课件
11
3.平面的基本性质
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B aC
已知点A a，求证过点A和直线a可以确定一个平面.
精选课件
12
3.平面的基本性质
公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
α
a
b 记作：a//b
β
a Ob
记作：abO
③异面直线——不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。
b
a γ
精选课件
7
小结 点、线、面之间的位置关系及语言表达
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上
α
A
A
点A不在平面α上
α
直线a在平面α内 α
a a
A∈α A∈ α
aα
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∥α
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8
1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
B
A l
（1）
al
P
b
（2）
D
2.观察长方体中点、直线、平面之间的位置关系 A
C B
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D C
A
B
9
思考：
(1)过一点可以做几条直线？两点呢？
(2)过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
精选课件
13
思考：
(1)不共面的四点可以确定多少个平面? 4 个 (2)共点的三条直线可以确定多少个平面? 1个或3个
精选课件
14
3.平面的基本性质
公理2：若一条直线上的两点在一个平面内，
(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个
平面. √
(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面. √
(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个
平面重合. √
精选课件
b19ack
3.平面的基本性质
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
则这条直线在此平面内.
①图形语言：
Al
B
②符号语言：A l,B l且 A ,B l
精选课件
15
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
精选课件
16
3.平面的基本性质
空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.
D1
C1
A1
B1
D C
A
B
精选课件
2
平面的概念与画法
几何里的平面是无限延展的.
常常把水平的平面画成锐角为450， 横边长等于其邻边长2倍的平行四边形.
表示①平面α、平面β、平面γ；
②用表示平行四边形的四个顶点
或两个相对顶点的字母来表示，
如平面ABCD或平面AC、平面BD.
β
如果一个平面被另一个平面挡住，
则这遮挡的部分用虚线画出来也可以不画。 α
.
精选课件
3
1.空间点与直线的位置关系有两种：
①点A在直线上
A
记作： Al
②点B在直线外
记作： Bb
2.空间点与平面的位置关系有两种：
①点B在平面内
记作： B
②点A在平面外
记作： A
l
B
b
§4 空间图形的基本关系与公理
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形： 点、线、面组成.认识清楚它们的位置关系，对 于我们认识空间图形是很重要的.
精选课件
1
观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线， 以及侧面、地面之间的关系吗？
长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的， 有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在 的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内 的直线等等.
符号表Biblioteka Baidu: a//b,b//c a//c.
c
a
a
α
bc
注4：①平行具有传递性；
②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条 直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.
(3)有一个公共点的两个平面交于 唯一的一条直线.
4.下列命题正确的是( D) A. 经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
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18
练习
5.判断下列命题是否正确:
(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点. ×
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4
3. 空间直线与平面的位置关系有三种：
1、直线在平面内
直线a与平面α有无数多个公共点
记作：直线a 平 面 α
α
2、直线与平面相交
直线与平面只有一个公共点
记作：直线a∩平面α=点A
3、直线与平面平行
A α
直线与平面没有公共点
记作：直线a//平面α
α
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a a
a
5
4.空间平面与平面的位置关系有两种：
公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
①图形语言：
P
l
②符号语言： P,P l P l
③该公理反映了平面与平面的位置关系：
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3.填空: (1)___不__在__同__一__直__线__上__的三点确定一个平面;
(2)两条 平行或 相交直线确定一个平面;
D'
C'
观察：在右图的长方体中，
BB'// AA',DD'// AA'，那么 A '
B'
BB'与DD'平行吗？
D
C
A
B
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …
之间有何关系？
abcde
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
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3.平面的基本性质
(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（1）两个平面平行---没有公
共点的两个平面
α
记作：平面α//平面β
（2）两个平面相交---两个平面不
重合，并且有公共点
记作：平面 平 α面 直 β线a
a
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5. 空间两条直线的位置关系：
①平行直线——在同一个平面内，没有公共点的两条直线。
②相交直线——在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。
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3.平面的基本性质
公理1： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
①图形语言： A B C
②符号语言：
A , B , C 不 共 线 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 A , B , C
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11
3.平面的基本性质
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B aC
已知点A a，求证过点A和直线a可以确定一个平面.
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3.平面的基本性质
公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
α
a
b 记作：a//b
β
a Ob
记作：abO
③异面直线——不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。
b
a γ
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7
小结 点、线、面之间的位置关系及语言表达
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上
α
A
A
点A不在平面α上
α
直线a在平面α内 α
a a
A∈α A∈ α
aα
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∥α
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1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
B
A l
（1）
al
P
b
（2）
D
2.观察长方体中点、直线、平面之间的位置关系 A
C B
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D C
A
B
9
思考：
(1)过一点可以做几条直线？两点呢？
(2)过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
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13
思考：
(1)不共面的四点可以确定多少个平面? 4 个 (2)共点的三条直线可以确定多少个平面? 1个或3个
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3.平面的基本性质
公理2：若一条直线上的两点在一个平面内，
(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个
平面. √
(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面. √
(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个
平面重合. √
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3.平面的基本性质
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
则这条直线在此平面内.
①图形语言：
Al
B
②符号语言：A l,B l且 A ,B l
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15
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
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16
3.平面的基本性质
空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.
D1
C1
A1
B1
D C
A
B
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2
平面的概念与画法
几何里的平面是无限延展的.
常常把水平的平面画成锐角为450， 横边长等于其邻边长2倍的平行四边形.
表示①平面α、平面β、平面γ；
②用表示平行四边形的四个顶点
或两个相对顶点的字母来表示，
如平面ABCD或平面AC、平面BD.
β
如果一个平面被另一个平面挡住，
则这遮挡的部分用虚线画出来也可以不画。 α
.
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3
1.空间点与直线的位置关系有两种：
①点A在直线上
A
记作： Al
②点B在直线外
记作： Bb
2.空间点与平面的位置关系有两种：
①点B在平面内
记作： B
②点A在平面外
记作： A
l
B
b
§4 空间图形的基本关系与公理
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形： 点、线、面组成.认识清楚它们的位置关系，对 于我们认识空间图形是很重要的.
精选课件
1
观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线， 以及侧面、地面之间的关系吗？
长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的， 有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在 的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内 的直线等等.
符号表Biblioteka Baidu: a//b,b//c a//c.
c
a
a
α
bc
注4：①平行具有传递性；
②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条 直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.
(3)有一个公共点的两个平面交于 唯一的一条直线.
4.下列命题正确的是( D) A. 经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
精选课件
18
练习
5.判断下列命题是否正确:
(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点. ×