法向量求法及应用方法

法向量求法及应用方法

平面法向量的求法及其应用

一、平面的法向量

1、定义：如果al：，那么向量a叫做平面：的法

向量。平面:-的法向量共有两大类（从方向上

分），无数条。

2、平面法向量的求法

方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面:的法向量；=（X, y,1）［或*=（x,1,z），或： = （1,y,z）］，在平面:内任找两个不共线的向量a,b。由二，，得n a=o 且nb=o，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。

方法二：任何一个X,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。Ax By Cz 0 （A,B,C不同时为0），称为平面的一般方程。其法

向量n> = （AB,C）；若平面与3个坐标轴的交点为R

（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如图所示，则平面方程为:{ b 亍1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。

方法三（外积法）：设必&为空间中两个不平行的非零向量，其外积a b为一长度等于|a||b|si n =，（9为.,两者交角，且0":::二），而与, 皆垂直的向

量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由…的方向转为

■的方向时，大拇指所指的方向规定为a b的方向，a b a。

、

J -1 |t

T T

J

X 1 乙 X 1 y 1

设a ugyszjb 二凶卩乙),则 a 汉 b = |

y 2 Z

2

J —

X 2 Z 2 J

X 2 y 2

(注：1、二阶行列式：M=a

: =ad_cb ； 2、适合右

c d

‘

手定则。)

例 1、 已知，a'(21,0),bl( — 1,2,1), 试求(i ): ( 2): b 爲.

Key:⑴ a 汉 b=(1,—2,5) ； (2)b3=(-1,2,5)

例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD —ABCP 中， 求平面 AEF 的一y 个法量向二AF AE =(1,2,2) 量n 。

二、平面法向量的应用

1、 求空间角

(1)、求线面角：如图2-1,

设n 是平面:'的法向量， AB 是平面:的一条斜线，

A -

，则AB 与平面: 所成的角

为：

n

t t n

n, AB

arccos 2

2

|n||AB|

T T n AB

J -< n, AB arccos 、

2

|n| |

平面角为：

T T

m n

图 2-1-

1:

>4 --- /sin 日=| cos c n, AB 纠

AB| 2

求面面角：设向量m

， n 分别是平面.的法

量，则二

的

T T

m

n

6

v -：：：m, n 二arccos （图2-2）；

|m| fn|

T T

J J m n

二:-arccos （图2-3）

v -：：：m, n

|m| |n|

两个平面的法向量方向选取合适，可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，m的方向对平面，而言向外，n的方向对平面而言向内；在图

2-3中，m的方向对平面：而言向内，n的方向对平面「：而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角-1-

的平面角

2、求空间距离

（1 ）、异面直线之间距离：

方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量

T T

a、b，

求a、b的法向量n，即此异面直线平b的公垂线的方向向量；J . n “ a

②在直线a、b上各取一点A、B,，作向量A B；

③求向量A B在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为

d =|AB ：

n

I ,其中 nla,nlbA a, B b |n|

(2)、点到平面的距离：

方法指导：如图2-5若点B 为平面」a

夕曙点，点

A

|AB ・n| fn|

(3)、直线与平面间的距离：

方法指导：如图2-6,直线a 与平面a 之间的距离: 丰，

其中A :Ba 。 n 是平面:的

(4)、平面与平面间的距离： 方法指导：如图2-7,两平行平面 之间的距离：

d=^j ，其中A ：,B 「：。n 是平面:、

|n|

:的法向量。

3、 证明

p

(1)、证明线面垂直：在图2-8中,m 向m

为平面a 内任一点，平面的法向量为n ，则点P 到 平面a 的距离公式为d =

AB n d

二

|n|

mt

“图

a

N A

n

a

a

图

是平面:的法向量，a是直线a的方向

向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线 （2） 、证明线面平行：在图2-9中,m 向是平面:的 法向量，a 是直线a 的方向向量，证明平面的法 向量与直线所在向量垂直（m ・a' = o ）。

（3） 、证明面面垂直：在图2-10中，m 是平面:的 法向量，n 是平面［的法向量，证明两 平面的法向量垂直（m ・n=O ）

（4）、证明面面平行：在图2-11中,

m'向是平面:的法向量，n 是平面的

三、高考真题新解

1、（ 2005全国I ，18）（本大题

满分12分）

已知如图3-1,四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB // DC ,

DAB =90 ,PA_

底面 ABCD ，且

PA=AD=DC= 1

AB=1 , M 是 PB 的中点

（I ）证明：面PAD 丄面PCD ; （U ）求AC 与PB 所成的角；

（川）求面 AMC 与面BMC 所成二面角的大小

m 「n ) 法向量，证明两平面的法向量共线（

O

D 图C