运筹学第二章对偶理论灵敏度分析

问然
题 •原问题的约束系数矩阵与对偶问 的 题的约束系数矩阵互为转置矩阵
定 •极大化问题的每个约束对应于极 义 小化问题的一个变量，其每个变
量对应于对偶问题的一个约束。
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n 一
对 偶
a11x1 a12x2 a1nxn (,)b1
9 x3
0
s
.t
.
1 1
1 4
x3
1 x 1 3
7
x2 x3
9
x 1 0
x2 0
x
3
0
A B C 拥有量
问 工时
111
3
题
材料 单件利润
147 233
9
的
导
假设有客户提出要求，购买工厂所拥有的 工时和材料，为客户加工别的产品，由客
出 户支付工时费和材料费。那么工厂给工时 和材料制订的最低价格应是多少，才值得
的
总利润最小
min W=3y1+9y2
导
保证A产品利润
y1+y2≥2
出
保证B产品利润
y1+4y2≥3
保证C产品利润
y1+7y2≥3
售价非负
y1≥0 y2≥0
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
问 单件利润 2 3 3
题 的 导 出
mW i n3y19y2
minW
(3,9)
y1 y2
y1 y2 2
变量数： m个
第i个变量≥0
题
第i个约束类型为“≥”
第i个变量≤0
第i个约束类型为“＝” 第i个变量是自由变量
的
定
变量数：n个
第j个变量≥0
约束条件：n个
第j个约束类型为“≥”
义
第j个变量≤0
第j个约束类型为“≤”
第j个变量是自由变量 第j个约束类型为“＝”
约束条件右端项
约束条件右端项
对 偶 问 题 的 写 出
对 偶 问 题
s.t.
a1 1 a2 பைடு நூலகம்
am1
a1 2 a2 2
am2
a1n x1 b1
a2n
am n
x2 xn
b2 bm
x1, x2 ,, xn 0
对 称 形 式 的
的 定 义
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m 对
s.t.
a11 a12
.t
.
1 1
1 4
1 x 1 3
7
x2 x3
9
x 1 0 x2 0 x 3 0
minW
(3,9)
y1 y2
s
.t
.
1 1 1
1 4 7
y1 y2
2 3 3
y1 y2
0
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n
理
对偶理论就是研究线性规划及其对 偶问题的理论，是线性规划理论的
重要内容之一。
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
问 单件利润 2 3 3
题 的 导 出
mZ a2 x x 1 3 x2 3 x3
x1 max Z (2,3,3) x2
x1 x2 x3 3
s.t.x1 x1
4x2 7x3 0, x2 0,
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
a12y1
a22 y2
am2 ym
c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym符号不限
例2
对
mZ i n 4 x 12 x2 3 x3
偶 问
4x1 5x2 6x3 7
182x1x191x32
出卖工时和材料 ?
A B C 拥有量
问 工时
111
3
题
材料 单件利润
147 233
9
的
导
•出卖资源获利应不少于生产产品的获利;
出
约束
•价格应该尽量低，这样，才能有竞争力;
目标
•价格应该是非负的
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
问 单件利润 2 3 3
题 用y1和y2分别表示工时和材料的出售价格
例1标准型对偶问题
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n
a11x1 a12x2 a1n xn b1
s.t.a21x1
a22x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amnxn bm x1, x2,, xn 0
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m
x2
10
x3
11 14
题
x1 0, x2符号不限 , x3 0
的
mW a 7 x y 1 1y2 1 1y3 4
写
4 y1 8y2 12y3 4 5y1 9 y2 13y3 2
出
6 y1 10y2
3
y1符号不限, y2 0, y3 0
线
对偶原理
性
规
对偶单纯形方法
划
灵敏度分析
进
一
步
研
究
对偶问题概念：
任何一个线性规划问题都有一个伴
生的线性规划问题，称为其“对偶”
问题。
对
对偶问题是对原问题从另一角度进
偶
行的描述，其最优解与原问题的最 优解有着密切的联系，在求得一个
原
线性规划最优解的同时也就得到对 偶线性规划的最优解，反之亦然。
a12y1
a22 y2
am2
ym
(,
)c2
题 的 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn
题
y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
对偶问题对应表
对 原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题）
偶
目标函数maxZ
问
约束条件： m个
第i个约束类型为“≤”
目标函数minZ
s
.t
.
y y
1 1
4 y2 7 y2
3 3
y 1 0 , y 2 0
s
.t
.
1 1 1
1 4 7
y1 y2
2 2 3
y1 y2
0
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
问 单件利润 2 3 3
题 的 导 出
x1 max Z (2,3,3) x2
x3
s
a1n
a21 a22
a2n
am1 y1 c1
am2
amn
y2 ym
c2 cn
偶 问 题
y1, y2 ,, ym 0
maZxCX 对
对
AX b
称
偶
s.t.
X
0
形
问 题
式
mW inbTYT
的
对
的 定
s.t.YATT
YT 0
CT
偶 问
题
义
对偶问题的特点
对
偶
•若原问题目标是求极大化，则对 偶问题的目标是极小化，反之亦
a21x1
a22x2
a2n xn
(, )b2
般 线 性
问 题 的 定 义
am1x1 am2x2 amnxn (,)bm xj 0( 0,或符号不限) j 1 ~ n
规 划 问
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m
a11y1 a21y2 am1ym (, )c1