涡量输运方程

1、粘性流体运动的涡量输运方程

为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。推导过程如下：

其Lamb型方程是：

引入广义牛顿内摩擦定理：

Lamb型方程变为：

对上式两边取旋度，得到：

整理后得到：

这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。在这三者中，最常见的是粘性作用。由于：

（1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为：

这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。

（2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为：

张量形式为。

（3）对于二维流动，上式简化为：

2、粘性流体运动的有旋性

理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。但粘性流体运动一般总是有旋的。用反证法可说明这一点。对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为：

根据场论知识，有：

代入上式，得到：

如果流动无旋，则：

这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘性力的作用消失，说明粘性流体流动与理想流体流动完全相同，且原方程的数学性质也发生了变化，由原来的二阶偏微分方程组变成一阶偏微分方程组。但问题出在固壁边界上。在粘性流体中，固壁面的边界条件是：不穿透条件和不滑移条件，即：。

要求降阶后的方程组同时满足这两个边界条件一般是不可能的。这说明粘性流体流动一般总是有旋的。

但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流体的速度，也就是固壁面与理想流体质点不存在相对滑移，这时不滑移条件自动满足，这样理想流体方程自动满足固壁面边界条件。说明在这种情况下，粘性流体流动可以是无涡的。但一般情况下，固壁面与理想流体质点总是存在相对滑移的，受流体粘性的作用，必然要产生旋涡。由此可得出结论：粘性流体旋涡是由存在相对运动的固壁面与流体的粘性相互作用产生的。

3、粘性流体旋涡的扩散性

粘性流体中，旋涡的大小不仅可以随时间产生、发展、衰减、消失，而且还会扩散，涡量从强度大的地方向强度小的地方扩散，直至旋涡强度均衡为止。

以一空间孤立涡线的扩散规律为例说明之。涡线强度的定解问题为：

这是一个扩散方程的定解问题，其解为：

4、粘性流体能量的耗散性

在粘性流体中，流体运动必然要克服粘性应力作功而消耗机械能。粘性流体的变形运动与机械能损失是同时存在的，而且机械能的耗散与变形率的平方成正比，因此粘性流体的机械能损失是不可避免的。