(一)三角函数与解三角形

答题突破练：(一)三角函数与解三角形

1.已知锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a －b c ＝cos B cos C

. (1)求角C 的大小； (2)求函数y ＝sin A ＋sin B 的值域.

2.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3BD ，cos ∠BAD ＝223

. (1)求cos ∠ABD ；(2)若AD ＝42，CD ＝3，求BC .

3.已知在△ABC 中，AC ＝3，C ＝120°，cos A ＝3sin B .

(1)求边BC 的长； (2)设D 为AB 边上一点，且△BCD 的面积为1538

，求sin ∠BDC .

4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆的半径R ＝2， 且tan B ＋tan C ＝

2sin A cos C

. (1)求B 和b 的值；(2)求△ABC 面积的最大值.

5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C .

(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；

(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值.

1.解 (1)由2a －b c ＝cos B cos C

，利用正弦定理可得2sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B ， 可化为2sin A cos C ＝sin(C ＋B )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴C ＝π3

. (2)y ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－π3－A ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭

⎫π3＋A ＝sin A ＋32cos A ＋12

sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6， ∵A ＋B ＝2π3，0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，∴π6＜A ＜π2，∴π3＜A ＋π6＜2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦

⎤32，1， ∴y ＝sin A ＋sin B 的值域为⎝⎛⎦⎤32，3.

2.解 (1)设BD ＝x ，则AB ＝3x ，∵cos ∠BAD ＝223

， 在△ABD 中，由余弦定理可得cos ∠BAD ＝AB 2＋AD 2－BD 2

2×AB ×AD ， 即223＝9x 2＋AD 2－x 2

2×3x ×AD

，解得AD ＝22x . 由余弦定理可得，cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝9x 2＋x 2－8x 22×3x ×x

＝13. (2)∵AD ＝42＝22x ，∴x ＝2.

∵cos ∠CDB ＝cos ∠ABD ＝13

，CD ＝3，BD ＝2， 在△BCD 中，由余弦定理可得，BC 2＝BD 2＋DC 2－2DB ·DC ·cos ∠BDC

＝4＋9－2×2×3×13

＝9.∴BC ＝3.

3.解 (1)由cos A ＝3sin B 及C ＝120°，得cos(60°－B )＝3sin B ，

展开得12cos B ＋32

sin B －3sin B ＝0，即cos(B ＋60°)＝0， 又0°

(2)由S △BCD ＝12×3×BD ×sin 30°＝1538，解得BD ＝532

.在△BCD 中， 由余弦定理得，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos B ＝214，所以CD ＝212

， 在△BCD 中，由正弦定理得，BC sin ∠BDC ＝CD sin B ，即3sin ∠BDC

＝212×2，所以sin ∠BDC ＝217.

4.解 (1)因为tan B ＋tan C ＝2sin A cos C ，所以sin B cos B ＋sin C cos C ＝2sin A cos C

， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .

因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A .因为sin A ≠0，

所以cos B ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.由正弦定理b sin B

＝2R ， 得b ＝2R sin B ＝2×2×

22＝2. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以4＝a 2＋c 2－2ac ，

由基本不等式，得4＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ，所以ac ≤

42－2

＝2(2＋2). 因为S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin π4

＝24ac ≤24×2×(2＋2)＝1＋2，当且仅当a ＝c 时，等号成立， 所以△ABC 面积的最大值为1＋ 2.

5.解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，

∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，

∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，

∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，

∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12

，又0

. (2)当c ＝2时，a ＋b ＝3c ＝23，

∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab

－1， ∴sin C ＝1－cos 2 C ＝1－⎝⎛⎭⎫4ab －12