基于水平集方法的几何活动轮廓模型综述
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ｔ ｈ ｅ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ● 计算机技术应用
基于水平集方法的 几何活动轮廓模 型综述
文／ 王晓 菲
上 式 中， 内外驱 动力 的具 体表 达式 分别
随 着 时代发 展 科技 进 步，计 算机 图像 分 割 的技 术及 方法也 越
一
个 曲面 中，将 其作 为水平集 函数 ， Ｙ ， ｆ ） 的
１ ． ２有限差分法 实现活动轮廓模型的 离散化 键词 】几何活动轮廓模型 曲线 演化 水平
法
零水平集 ｆ ＝Ｏ ） 转换成为三维 曲面 的演化 。这 样 ，我们可 以得到几何活动轮廓模 型曲线 的演
化方程：
本 文 中 介 绍 一 种 活 动 轮 廓 模 型 的离 散 化方 法， 即有 限差 分算 法。有 限差 分法 是 由 Ｋａ ｇ ｓ ，Ｗｉ ｔ ｋ ｉ ｎ ｓ等 提 出 的， 其 时 间 复 杂 度 为 Ｏ（ ｎ ） ，具体描述如下： 用 差 分 网 格 代 替连 续 域， 可 以表 示 为
ｌ 中提取 出有效信息用 以控制和限制轮廓 曲
愤 化， 即通 过 最 小化 与 之 对 应 的 能量 泛 函 ，
用 ， 表示ｕ （ ｉ Ａ ｘ ， ｊ ａ ｙ ） 或者Ｕ （ Ｘ ｏ ， ｙ ｏ ） ，那么有 ，
Ｉ ＋Ｉ Ｖ Ｇ ￣
， ． ｙ ） Ｉ
（ ３ ）
其 中，ｇ 是边缘检 测函数 ，当位 于均质 区
（ ） 表示 演化 曲线 的斜 率，即 曲线长度 的变化
速度 ； （ ） 表示演化 曲线 曲率的变化 率。 是 标准差为 的高斯 函数 ， 的大小影 响函数的 作用范围及作用强度 。 项可 以根据实际情况
进行调整和设计 。
对演化方程的数值求解过程 ，是隐式求解 从 ｎ维 曲线演化 的问题转化至 ｎ ＋ ｌ维空间的曲 面演化 的水平集函数 ，即水 平集方法 。以 ｎ ＝ ２ 为例 来讨 论，将 二维 平面 演化 曲线 Ｃ嵌入 到
为
｛ ｆ： 刚
Ｉ Ｃ （ ｖ ， ０ ） ＝Ｃ ｏ （ ） （ ２ ）
其 中，Ｆ表示演化 曲线 的速度参数，ｃ是
一
１ ｆ ｝ ｉ ｌ ｔ （ Ｖ ） ） ＝ 去 （ ） Ｉ ） ２ ＋ （ ） １ ） ｌ ２ ）
【 ＝ 一 Ｉ Ｖ （ Ｉ （ ｘ ， ） ） ｒ ．
Ｉ Ｕ ， ＝ Ｕ （ Ｘ ｏ ＋ △ ， ）
线 不断逼近 目标对象 的边界 。在不断地发
演变 过程中，活动轮廓模型逐渐形成 了不
分类 方式，较常见的是根据 曲线演化方式 同，将 活动轮廓模型分为基于边界、基于
．
差 分 格 式 又 分 为 向 前 差 分 ， 向 后 差 分 和
下：
Ｖ— Ｖ
一
＋
这 个 阶 段 的 模 型 克 服 了 参 数 活 动 轮 廓 模
型中的一些缺 陷，但 它并没有涉及到最优化活
动轮廓 能量泛 函等更深层次 的问题 。 ２ ． ２测地活动轮廓模型
和混合 型活动轮廓模型。最常见并且被广 动轮廓模型和几何活动轮廓模型 。 本 文采 用 的是基 于 曲线表达 形式 的分 类 首 先引入 并介绍活动轮廓模型基础，继 介绍 其相 关经典方法，最后对几何活动
活动轮廓是 由Ｋ ａ ｓ ｓ 等人 于 １ ９ ８ ７年提 出的， 标是检测并分割 出图像 中有价值 的区域 。 曲线演化的活动轮廓模型 需要人工在 目标
ｕ （ ｘ ， ） ｕ （ ｉ Ａ ｘ ， ） ， ０
ｎ Ａ ｘ ， ０ ≤ Ｙ ｎ ａ ｙ，
口＝ 一
： 附近 绘制 一条 初始 轮廓 线，Ｋ ａ ｓ ｓ 等 从原
来 越受 到 关注和 重 视，其应 用领 域 也越 来越 广 泛。活 动轮 廓模 型 是 图像 分割 中获取 边缘信 息 的重 要 方法 ，因 而成 为研 究热 点和 难 点。 文 中开始 部分 引入 并介 绍 了 活 动轮廓 模 型及 其其 中一 种数 值 实现 方 法，之 后基 于 不 同的 曲线 表 达对 其进 行分 类 ，针 对 类别 中 的 几何 活动模 型 进行 详 细 阐述， 阐述 中有 几何 活 动轮廓 模 型经 典 方 法的描 述 。最后 对模 型进 行 总 结 和展 望 。
方 程 的 问题 。
Ｉ。
对几何 活动轮 廓模 型的图像分割方法进行
，
它 们 可 以分 别 合 并 为
“ ・ ： 二 “ ＊ ： 二 丝± ＝ ！
ｈ ｈ
＝
模型 的发展前景进行展望 。
在 测 地 活 动 轮 廓 线 模 型 中， 内 力 项 令
动轮廓模型及数值实现
受 的分类方 式是基 于 曲线表达形式分为参
：
— ： 二 一
， ’ “ ＝
、
’ ／
几 何 活 动 轮 廓 模 型 的 第 二 个 阶 段 的 标 志
＝
， ” ； ：
Biblioteka Baidu
性模型被称为测 地活动轮廓 模型，该模型的实
质是将轮廓 曲线 的演化 问题 转化成求解偏微分
丝 ＝ 【 Ｕ 叫＋ ｌ ＝ Ｕ （ Ｘ ｏ ＋ ， Ｙ ｏ ＋ ） Ｖ
为正 ，位于边 界时 则趋 向于 ０ ，可 唬 域 时 函数ｇ 以用于 判 断图像 中 的像素 点是 否位 于 目标边
缘。
中心差分等形式，并不是唯一确定的 。其 中， 以向前差 分的一阶、二阶差分格式为例列举如
其 中 （ ） 和 （ ） 是两个权 重系数 ，分 别用 于控制 曲线在演化过程 中的收缩和 形变程度 。
个 曲率函数，即Ｆ ＝ ， 是 常值参数，
是演化 曲线的曲率，Ｆ主要用来控制 曲线 Ｃ 向
目 标逼近 的速度 ；Ｎ表示 向外是正方向的法线
向量 ， 而ｃ （ ｖ ， ０ ） ＝ｃ ｏ （ ） 是对演化曲线的初始化。
基于水平集方法的 几何活动轮廓模 型综述
文／ 王晓 菲
上 式 中， 内外驱 动力 的具 体表 达式 分别
随 着 时代发 展 科技 进 步，计 算机 图像 分 割 的技 术及 方法也 越
一
个 曲面 中，将 其作 为水平集 函数 ， Ｙ ， ｆ ） 的
１ ． ２有限差分法 实现活动轮廓模型的 离散化 键词 】几何活动轮廓模型 曲线 演化 水平
法
零水平集 ｆ ＝Ｏ ） 转换成为三维 曲面 的演化 。这 样 ，我们可 以得到几何活动轮廓模 型曲线 的演
化方程：
本 文 中 介 绍 一 种 活 动 轮 廓 模 型 的离 散 化方 法， 即有 限差 分算 法。有 限差 分法 是 由 Ｋａ ｇ ｓ ，Ｗｉ ｔ ｋ ｉ ｎ ｓ等 提 出 的， 其 时 间 复 杂 度 为 Ｏ（ ｎ ） ，具体描述如下： 用 差 分 网 格 代 替连 续 域， 可 以表 示 为
ｌ 中提取 出有效信息用 以控制和限制轮廓 曲
愤 化， 即通 过 最 小化 与 之 对 应 的 能量 泛 函 ，
用 ， 表示ｕ （ ｉ Ａ ｘ ， ｊ ａ ｙ ） 或者Ｕ （ Ｘ ｏ ， ｙ ｏ ） ，那么有 ，
Ｉ ＋Ｉ Ｖ Ｇ ￣
， ． ｙ ） Ｉ
（ ３ ）
其 中，ｇ 是边缘检 测函数 ，当位 于均质 区
（ ） 表示 演化 曲线 的斜 率，即 曲线长度 的变化
速度 ； （ ） 表示演化 曲线 曲率的变化 率。 是 标准差为 的高斯 函数 ， 的大小影 响函数的 作用范围及作用强度 。 项可 以根据实际情况
进行调整和设计 。
对演化方程的数值求解过程 ，是隐式求解 从 ｎ维 曲线演化 的问题转化至 ｎ ＋ ｌ维空间的曲 面演化 的水平集函数 ，即水 平集方法 。以 ｎ ＝ ２ 为例 来讨 论，将 二维 平面 演化 曲线 Ｃ嵌入 到
为
｛ ｆ： 刚
Ｉ Ｃ （ ｖ ， ０ ） ＝Ｃ ｏ （ ） （ ２ ）
其 中，Ｆ表示演化 曲线 的速度参数，ｃ是
一
１ ｆ ｝ ｉ ｌ ｔ （ Ｖ ） ） ＝ 去 （ ） Ｉ ） ２ ＋ （ ） １ ） ｌ ２ ）
【 ＝ 一 Ｉ Ｖ （ Ｉ （ ｘ ， ） ） ｒ ．
Ｉ Ｕ ， ＝ Ｕ （ Ｘ ｏ ＋ △ ， ）
线 不断逼近 目标对象 的边界 。在不断地发
演变 过程中，活动轮廓模型逐渐形成 了不
分类 方式，较常见的是根据 曲线演化方式 同，将 活动轮廓模型分为基于边界、基于
．
差 分 格 式 又 分 为 向 前 差 分 ， 向 后 差 分 和
下：
Ｖ— Ｖ
一
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这 个 阶 段 的 模 型 克 服 了 参 数 活 动 轮 廓 模
型中的一些缺 陷，但 它并没有涉及到最优化活
动轮廓 能量泛 函等更深层次 的问题 。 ２ ． ２测地活动轮廓模型
和混合 型活动轮廓模型。最常见并且被广 动轮廓模型和几何活动轮廓模型 。 本 文采 用 的是基 于 曲线表达 形式 的分 类 首 先引入 并介绍活动轮廓模型基础，继 介绍 其相 关经典方法，最后对几何活动
活动轮廓是 由Ｋ ａ ｓ ｓ 等人 于 １ ９ ８ ７年提 出的， 标是检测并分割 出图像 中有价值 的区域 。 曲线演化的活动轮廓模型 需要人工在 目标
ｕ （ ｘ ， ） ｕ （ ｉ Ａ ｘ ， ） ， ０
ｎ Ａ ｘ ， ０ ≤ Ｙ ｎ ａ ｙ，
口＝ 一
： 附近 绘制 一条 初始 轮廓 线，Ｋ ａ ｓ ｓ 等 从原
来 越受 到 关注和 重 视，其应 用领 域 也越 来越 广 泛。活 动轮 廓模 型 是 图像 分割 中获取 边缘信 息 的重 要 方法 ，因 而成 为研 究热 点和 难 点。 文 中开始 部分 引入 并介 绍 了 活 动轮廓 模 型及 其其 中一 种数 值 实现 方 法，之 后基 于 不 同的 曲线 表 达对 其进 行分 类 ，针 对 类别 中 的 几何 活动模 型 进行 详 细 阐述， 阐述 中有 几何 活 动轮廓 模 型经 典 方 法的描 述 。最后 对模 型进 行 总 结 和展 望 。
方 程 的 问题 。
Ｉ。
对几何 活动轮 廓模 型的图像分割方法进行
，
它 们 可 以分 别 合 并 为
“ ・ ： 二 “ ＊ ： 二 丝± ＝ ！
ｈ ｈ
＝
模型 的发展前景进行展望 。
在 测 地 活 动 轮 廓 线 模 型 中， 内 力 项 令
动轮廓模型及数值实现
受 的分类方 式是基 于 曲线表达形式分为参
：
— ： 二 一
， ’ “ ＝
、
’ ／
几 何 活 动 轮 廓 模 型 的 第 二 个 阶 段 的 标 志
＝
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性模型被称为测 地活动轮廓 模型，该模型的实
质是将轮廓 曲线 的演化 问题 转化成求解偏微分
丝 ＝ 【 Ｕ 叫＋ ｌ ＝ Ｕ （ Ｘ ｏ ＋ ， Ｙ ｏ ＋ ） Ｖ
为正 ，位于边 界时 则趋 向于 ０ ，可 唬 域 时 函数ｇ 以用于 判 断图像 中 的像素 点是 否位 于 目标边
缘。
中心差分等形式，并不是唯一确定的 。其 中， 以向前差 分的一阶、二阶差分格式为例列举如
其 中 （ ） 和 （ ） 是两个权 重系数 ，分 别用 于控制 曲线在演化过程 中的收缩和 形变程度 。
个 曲率函数，即Ｆ ＝ ， 是 常值参数，
是演化 曲线的曲率，Ｆ主要用来控制 曲线 Ｃ 向
目 标逼近 的速度 ；Ｎ表示 向外是正方向的法线
向量 ， 而ｃ （ ｖ ， ０ ） ＝ｃ ｏ （ ） 是对演化曲线的初始化。