2013年秋北师大版必修1示范教案2.5简单的幂函数
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§5 简单的幂函数
整体设计
教学分析
教材从整数指数的幂函数自然引入,给出定义后,也只是推广到其他整数指数的情况,但是要指出x 为其他实数时仍有意义,留待第三章解决.对于函数的奇偶性,虽然给出了一般定义,但是应该知道,教材重在从图上看出图像的对称性,着重从对称的角度应用这一性质,也就是说,对奇偶性的要求是低的,习题不需要过难,要循序渐进.
值得注意的是尽量用信息技术画幂函数的图像,通过它们的图像,让学生自己归纳出它们的性质.
三维目标
1.了解指数是整数的简单幂函数的概念,巩固画函数图像的方法,培养学生识图和画图的能力.
2.会利用定义证明简单函数的奇偶性,提高学生的逻辑思维能力.
3.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法,培养学生分析问题和解决问题的能力.
重点难点
教学重点是幂函数的概念,奇函数和偶函数的概念.
教学难点是判断函数的奇偶性.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(1)如果正方形的边长为a ,那么正方形的面积S =a 2,这里S 是a 的函数.
(2)如果正方体的边长为a ,那么正方体的体积V =a 3,这里V 是a 的函数.
(3)如果正方形场地面积为S ,那么正方形的边长a =S 12
,这里a 是S 的函数. 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(右边是指数式,且底数都是变量)
这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表,如果让你给它们起一个名字的话,你将会给它们起个什么名字呢?(变量在底数位置,解析式右边都是幂的形式)
思路 2.我们已经熟悉正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书引出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①给出下列函数,y =x ,y =12
x ,y =x 2,y =x -1,y =x 3,考察这些解析式的特点. ②根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给它们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论. ③函数y =x ,y =
1x
的图像对称性有什么共同点? ④函数y =x ,y =1x 的解析式满足f -x =-f x 吗? ⑤函数y =x 2,y =|x |的图像对称性有什么共同点?
⑥函数y =x 2,y =|x |的解析式满足f -x =f x 吗?
活动:①主要看函数的变量的位置和解析式的形式. ②总结出解析式的共性后,类比前面的式子,起出一个名字.
③画出函数y =x ,y =1x
的图像来观察.
④代入函数的解析式验证即可.
⑤画出函数的图像来观察.
⑥代入函数的解析式验证即可.
讨论结果:①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上.
②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子.
即幂函数的定义:
一般地,形如y =x α(x ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.
如y =x 2,y =12x ,y =x 3等都是幂函数,幂函数与二次函数一样,都是基本初等函数.
③函数y =x ,y =1x
的图像都关于原点对称. 一般地,图像关于原点对称的函数叫作奇函数.
④都满足f (-x )=-f (x ).
因此有:函数f (x )是奇函数⇔函数f (x )的图像关于原点对称⇔对定义域内任意的x ,f (-x )=-f (x ).
⑤都关于y 轴对称.
一般地,图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数.
⑥都满足f (-x )=f (x ).
因此有:函数f (x )是偶函数⇔函数f (x )的图像关于y 轴对称⇔对定义域内任意的x ,f (-x )=f (x ).
当函数f (x )是奇函数或偶函数时,称函数f (x )具有奇偶性.
提出问题
在图1中,只画出了函数图像的一半,请你画出它们的另一半,并说出画法的依据.
图1
讨论结果:函数y =x -1,y =-x 3
是奇函数,其图像关于原点对称;函数y =x 2+1,y
=-x 4是偶函数,其图像关于y 轴对称.则这些函数图像的另一半如图2所示.
图2
在研究函数时,如果知道其图像具有关于y 轴或原点对称的特点,那么我们可以先研究它的一半,再利用对称性了解另一半,从而减少了工作量.
应用示例
思路1
例1 画出函数f (x )=x 3的图像,讨论其单调性.
活动:学生思考描点法画函数图像的步骤和函数单调性的几何意义.
图3
从图像上看出,y =x 3
是R 上的增函数.
点评:本题主要考查描点法画函数的图像,以及应用图像讨论函数单调性的能力. 变式训练
画出幂函数y =x 12
的图像,并讨论其单调性. 答案:幂函数y =x 12的图像如图4所示.
图4
从图像看出,函数y =12x 在[0,+∞)上是增函数.
例2 判断f (x )=-2x 3和g (x )=x 4+2 的奇偶性.
分析:根据函数奇偶性的定义来判断.
解:因为在R 上,f (x )=-2x 3,f (-x )=-2(-x )3=2x 3,所以f (x )=-f (-x ).
于是f (x )是奇函数,而g (x )=x 4+2,g (-x )=(-x )4+2=x 4+2,
所以g (x )=g (-x ).于是g (x )是偶函数.
点评:本题主要考查函数的奇偶性及其判断方法.
判断函数奇偶性的方法:
(1)定义法,其步骤是:①求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断f (-x )与f (x )或-f (x )是否相等;②当f (-x )=f (x )时,此函数是偶函数;当f (-x )=-f (x )时,此函数是奇函数;③当f (-x )=f (x )且f (-x )=-f (x )时,此函数既是奇函数又是偶函数;④当f (-x )≠f (x )且f (-x )≠-f (x )时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.
(2)图像法:如果函数的图像关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果函数的图像关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数;如果函数的图像关于原点和y 轴均对称,那么这个函数既是奇函数又是偶函数;如果函数的图像关于原点和y 轴均不对称,那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数.
注意:分段函数的奇偶性要分段判断.
变式训练
1.判断下列函数的奇偶性.
(1)f (x )=2x 2+2x x +1
;(2)f (x )=x 3-2x . 解:(1)函数的定义域为{x |x ≠-1},不关于原点对称,所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数.
(2)函数的定义域为R ,
f (-x )=(-x )3-2(-x )=2x -x 3=-f (x ),所以f (x )是奇函数.
2.已知函数f (x )是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x -