法向量求法及应用方法

平面法向量的求法及其应用

一、 平面的法向量

1、定义：如果α⊥→

a ，那么向量→

a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法

方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系

中，设平面α的法向量(,,1)n x y =r [或(,1,)n

x z =v

，或(1,,)n y z =r

]，在平面α内任找两个不共线的向量

,a b r r

。由n α⊥r ，得0n a ⋅=r r 且0n b ⋅=r r ，由此得到关于,x y

的方程组，解此方程组即可得到n r

。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→

;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(3

2

1

c P b P a P ,如

图所示,则平面方程为:1=++c

z

b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。

方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外

积→

→

⨯b a 为一长度等于θsin ||||→

→

b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 ,

皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由

的方向转为

的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→

→→→⨯-=⨯a b b a 。

:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→

→

⎝⎛=⨯→

→

2

1

y

y b a

,2

1z z 2

1x x -

,

21

z z 2

1

x x

⎪⎪⎭

⎫21y y

（注：1、二阶行列式:c a

M =

cb

ad d

b -=；2、

适合右手定则。） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→

→

b a ， 试求（1）：;→

→

⨯b a （2）：.→

→⨯a b Key: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→

→a b

例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111

ABCD A B C D -中，

求平面AEF 的一个法向量n r

。 二、 平面法向量的应用

1、 求空间角

(1)、求线面角：如图2-1，设→

n 是平面α的法

向量，

AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α

所成的角为：

图2-1-1:.|

|||arccos 2

,2→

→→

→→

→⋅⋅->=<-=AB n AB

n AB n ππθ 图2-1-2:2

|

|||arccos

2

,π

πθ-

⋅⋅=->=<→

→

→→→

→

AB n AB

n AB n |

,cos |><=→

→AB n θ)2,2,1(:=⨯=→

→→AE AF n key 法向量A B

α 图θ C →

n 图

α θ

B

→

n

A C

(2)、求面面角:设向量→

m ，→

n 分别是平面α、β的法向量，则二面角

βα--l 的平面角为：

|

|||arccos

,→

→

→

→→

→⋅⋅>==

m n m θ（图2-2）;

|

|||arccos

,→

→

→

→→

→⋅⋅->==

m n m πθ(图2-3)

两个平面的法向量方向选取合适,可使法

向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，→

m 的方向对平面α而言向外，→

n 的方向对平面β而言向内；在图2-3中，→

m 的方向对平面α而言向内，→

n 的方向对平面β而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角βα--l 的平面角。 2、 求空间距离 （1）、异面直线之间距离:

图

方法指导：如图2-4,①作直线a 、b 的方向向量→

a 、→

b ，

求a 、b 的法向量→

n

b 的公垂线的方向向量； ②在直线a 、b 上各取一点A →

；

③求向量→AB

在→

n 上的射影d ，a 、b 间的距离为 |

||

|→

→

→•=n n AB d ,其中b B a A b n a n ∈∈⊥⊥→→,,, （

2）、点到平面的距离: 方法指导：如图2-5,若点点，点A

为平面α内任一点，平面的法向量为n ，

则点P 到

平面α的距离公式为|

|||→

→

→•=n n AB d （3）、直线与平面间的距离:

方法指导：如图2-6,直线a 距离：

||

AB n d n ⋅=u u u r r

r ，其中a B A ∈∈,α。n r

（4）、平面与平面间的距离:

A

图