高等数学 第五版 上册

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运算律：
(1)交换律 A B B A A B B A (2)结合律 ( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) (3)分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ) ( A B) C ( A C ) ( B C ) (4)对偶律 ( A B) A B
x
U (a , ) { x | 0 x a }
注意：邻域总是开集.
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0
二 映射
1. 映射概念
定义：设 X、Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f，
使得对X 中每个元素x，按法则f，在Y 中有唯一确 定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作
f: X → Y
定义域：D f X 值域：R f f ( X ) { f ( x ) | x X }
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X到Y上的映射(满射)：若 Rf =Y，即Y中任意元素y都是X中 某元素的像 单射：若对X中任意两个不同元素 x1 ≠ x2 ，它们的像
f(x1) ≠ f(x2 )
一一映射(双射)：若映射 f 既是单射又是满射
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2. 逆映射与复合映射 g : Rf → X
映射g称为f的逆映射，记作 f 1，
反之， Biblioteka Baidu果
即 亦即
因此 所以
x A 或 xB x A B
x ( A B )C AC B C ( A B)C
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于是得到 ( A B)C AC B C
注意
A与B的直积 AB {(x,y)xA且yB}
例. 设 A {正, 反}，B {1,2,3}, 则集合 A B {(正,1), (正,2), (正,3), (反,1), (反,2), (反,3)}.
C C C C C C
( A B) A B
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( A B) A B
C C
C
(De Morgan定律)
证： 如果
x ( A B )C , 则 x A B
即
亦即 因此
所以
x A 或 xB
x AC 或 x B C x AC BC
( A B)C AC B C x AC BC , 则 x AC 或 x BC
例. R R= {(x,y)xR且yR} 表示 xoy 面上全体点的集合 R R常记为 R2
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3. 区间、邻域
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a , b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a , b)
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o a
定义域： D f R f
1
值域： R f X
1
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g : X → Y 1， f : Y 2 → Z
其中Y1 Y2．
f g:X Z
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三 函数
1. 函数的概念
例
圆内接正多边形的周长
S n 2nr sin n
S3
S4
S5
圆内接正n 边形
S6
O
n 3,4,5,
n
3
y f ( x)
§1.1 映射与函数
一 集合
1. 集合概念
所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
a M, a M, A { a1 , a 2 , , a n }
M { x x所具有的特征 }
有限集
若x A, 则必x B, 就说A是B的子集.
b
x
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{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b)
称为半开区间, 记作 (a , b] 以上都是有限区间，以下是无限区间：
[a ,) { x a x }
( , b) { x x b}
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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邻域:
设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
记作
U (a , ) { x a x a }.


a a a 0 点a的去心的邻域, 记作 U (a, ).
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
例如, { x x R, x 1 0}
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规定 空集为任何集合的子集.
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2. 集合的运算
设 A、 B是两集合，则
交：A B {x | x A且x B} 并：A B {x | x A或x B} 差：A \ B {x | x A且x B} 补(余)：AC I \ A，其中I为全集
记作 A B.
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数集分类:
N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
数集间的关系: N Z , Z Q, Q R.
若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B )
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
高 等 数 学
第五版 上册 同济大学应用数学系 主编
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本学期学习内容
第一章 函数与极限
第二章 导数与微分
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四章 不定积分
第五章 定积分
第六章 定积分的应用
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第一章 函数与极限
§1.1 映射与函数
§1.2 数列的极限
§1.3 函数的极限 §1.4 无穷小与无穷大 §1.5 极限运算法则 §1.6 极限存在准则 两个重要极限 §1.7 无穷小的比较 …………….
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定义：设数集 D R，则称映射 f : D R为 定义在D上的函数，通常简记为
y f ( x)
因变量 自变量
数集D叫做这个函数的定义域
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点 x0 处的函数值 .
函数值全体组成的数集 f ( D) { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .