7 最优风险资产组合
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41 41
1、设M为n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 X ( x1 , x2 , xn ) 都有X T MX 0， 则称M正定( positive definite) 2、对一个 n行n列的非零矩阵A， 如果存在一个矩阵B 使AB = BA =I ( I 是单位矩阵）, 则A为非奇异矩阵。
42 42
T
T 1 T 2 min w w w w min w w 2 T s.t. w r E (r ) T w 1 1
2
T 1 ( 1 ， 1, ， 1) 其中， 是所有元素为1的n维列向量。 由此构造Lagrange函数
结论： 越大，组合P的方差越大
越小，组合P的方差越小
[不允许卖空情形下：wD , wE 0]
88
表7.1 两只共同基金的描述性统计
99
表7.3 不同相关系数下的 期望收益与标准差
10 10
允许卖空：
wD wE 1
1 ）wD 1, wE 0, 长期债券多头，股票空头 2）wD 0, wE 1, 长期债券空头，股票多头
wE 1 wD
30 30
图7.7 The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds with the Optimal CAL and the Optimal Risky Portfolio
31 31
图7.8 Determination of the Optimal Overall Portfolio
E D wD , wE 1 wD D E D E 结论： 1时组合P的风险可降至零
15 15
情况三：
若 1 DE 1，
2 2 2 2 则有： P wD D wE E 2wD wE D E DE
当不允许卖空：wD , wE 0 wD D wE E P | wD D wE E | 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降低
i 1 j 1 i 1 i 1
n
n
n
n
上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件 为0，得到方程组
37 37
和方程
n L w w j 1 j r1 0 1 j 1 n L w j 2 j r2 0 w2 j 1 n L w w j nj rn 0 n j 1
即：
P | wD D wE E |
不允许卖空情形下：wD , wE 0 结论： 1时组合P的风险并未降低
14 14
情况二：
若 DE 1， 则有： ( wD D wE E )
2 P 2
即： P wD D wE E 令wD D - wE E 0
20 20
两种资产组合完全正相关，当权重wD从1减少到0 时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完 全正相关的机会集合（假定不允许买空卖空）。
收益 E(rp) E
D 风险σp
21 21
命题2：完全负相关的两种资产构成的机会集合 是两条直线，其截距相同，斜率异号。 由资产组合的计算公式可得
wD
2 [ E (rD ) rf ] E [ E (rE ) rf ]Cov(rD , rE ) 2 2 [ E (rD ) rf ] E [ E (rE ) rf ] D [ E (rD ) rf E (rE ) rf ]Cov(rD , rE )
32 32
图7.9 The Proportions of the Optimal Overall Portfolio
33 33
小结：两种风险资产与无风险资产 组合的配置程序
确定各类证券的收益风险特征 建造风险资产组合
根据式(7-13)计算最优风险资产组合P的构成比例 根据式(7-2)、(7-3)计算资产组合P的收益风险特征
T T 1 T min L w w ( E (r ) w r ) (1 w 1) w, , 2
43 43
因为是二次规划，一阶条件既是必要条件，又是充分条 件
L w r 1 0 w T L E (r ) w r 0 T L 1 w 1 0
16 16
图7.4 作为投资比例函数的组合标准差
17 17
最小方差投资组合
min w w 2wD wE D E DE
2 P 2 D 2 D 2 E 2 E
s.t. wD wE 1
18 18
组合的机会集与有效集
资产组合的机会集合（Portfolio opportunity
min s.t.
w w
i 1 j 1 n i j
n
n
ij
w r c,
i 1 n i i
w
i 1
i
1
36 36
对于上述带有约束条件的优化问题，可以 引入拉格朗日乘子λ 和μ 来解决这一优化 问题。构造拉格朗日函数如下
L wi w j ij ( wi ri c) ( wi 1)
T E (r ) w r
40 40
3.使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有
11 12 21 22 ... ... n1 n 2
... 1n ... 2 n ... ... ... nn
注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以， T 对于任何非0的向量 a, 都有a a 0
0=[0,0,…,0]T
(1) (2) (3)
44 44
矩阵微商公式(1)： 若X ( x1 , , xn )T 为实向量, y f ( X )为X的实函数， 则f ( X )关于X的微商定义为： f x f ( X ) 1 X f x n x11 若X x m1 f f x1n x x1n f ( X ) 11 ，则： X f f xmn x xmn m1
28 28
图7.6 债券与股票基金的可行集和两条可 行的CALs
29 29
最优风险资产组合P的求解
Max S P
wi
E (rP ) rf
s.t.
P E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
2 2 2 2 P [ wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE )]1/ 2 wD wE 1
(1) E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) 2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE D E DE (2) w w 1 (3) E D
24 24
各种相关系数下、两种风险资产构成的资产组 合机会集合(portfolio opportunity set)
11 11
投资组合期望收益与投资比例之间的关系
E (rP ) wD E(rD ) wE E(rE ) wD wE 1
12 12
图7.3 组合期望收益为投资比例的函数
13 13
投资组合风险与投资比例之间的关系
情况一：
若 DE 1，
2 则有： P ( wD D wE E ) 2
33
图 7.1 Portfolio Risk as a Function of the Number of Stocks in the Portfolio
44
图7.2 投资组合分散化
55
7.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合P由长期债券组合D和股票基金E组成 则有：
rP wD rD wE rE E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
set），即资产可构造出的所有组合的期望收益 和方差。 有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平 下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下 具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和σ 空间中的一个点。 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界、 有效前沿（ Efficient frontier）,它是有效组合的 集合（点的连线）。
投资学பைடு நூலகம்
第7章
最优风险资产组合
1
本章逻辑： 风险资产组合与风险分散化原理 风险资产组合的优化
从资本配置到证券选择
22
7.1 分散化与投资组合风险
投资组合的风险来源：
来自一般经济状况的风险(市场风险、系统
性风险、 不可分散风险) 特别因素风险(独特风险、公司特有风险、 非系统风险、可分散风险)
（1）给定收益的条件下，风险最小化 （2）给定风险的条件下，收益最大化
35 35
11 ... 1n 和 若已知资产组合收益c、方差 协方差矩阵 1n nn 组合各个资产期望收益向量 r =(r1 , r2 ,..., rn )T ，求解组合中资产权重 向量w=(w1 , w2 ,..., wn ), 则有
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) P wD D wE E w w 1 E D
(1) (2) (3)
22 22
两种证券完全负相关的图示
收益rp E
D 风险σp
23 23
命题3：不完全相关的两种资产构成的机会集合 是一条二次曲线 由资产组合的计算公式可得
n wi ri c i 1 n wi 1 i 1
38 38
这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1， 2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其 解是存在的。 注意到上述的方程是线性方程组，可以通 过线性代数加以解决。
39 39
正式证明: n项风险资产组合有效前沿
收益E(rp) E
ρ =1 ρ =0.3
风险σp
D
ρ =-1
25 25
图7.5 投资组合的期望收益为标准差的函数
26 26
投资组合的有效前沿？
27 27
7.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置
组合方法：两项风险资产先组合形成新 的风险资产组合，然后再向组合中加入无 风险资产 形成的资本配置线(CAL)中斜率最高的， 效用水平最高
配置风险资产组合和无风险资产
根据式(7-14)计算风险资产组合P与无风险资产的组合权 重 计算最终投资组合中具体投资品种的份额。
34 34
7.4 马科维茨的资产组合选择模型
均值-方差（Mean-variance）模型是由Harry Markowitz于1952年建立的，其目的是寻找投资 组合的有效边界。通过期望收益和方差来评价组 合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。 因此，根据投资组合比较的占优原则，这可 以转化为一个优化问题，即
r 假定1：市场上存在 n 2 种风险资产，令 w (w1 , w2 ,...,wn )T
代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：
w
i 1
n
i
1
且卖空不受限制，即允许 wi 0 2.r ( E(r1 ),, E(rn ))T也是一个n维列向量，它表示每一种资 产的期望收益率，则组合的期望收益
19 19
命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集合 是一条直线（假定不允许买空卖空）。 由资产组合的计算公式可得
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) P | wD D wE E | w w 1 E D
(1) (2) (3)
w w 2wD wE Cov(rD , rE )
2 P 2 D 2 D 2 E 2 E
66
表7.2 通过协方差矩阵计算投资组合方差
77
两风险资产之间的相关系数：
DE
Cov(rD , rE )
D E
2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE D E DE
1、设M为n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 X ( x1 , x2 , xn ) 都有X T MX 0， 则称M正定( positive definite) 2、对一个 n行n列的非零矩阵A， 如果存在一个矩阵B 使AB = BA =I ( I 是单位矩阵）, 则A为非奇异矩阵。
42 42
T
T 1 T 2 min w w w w min w w 2 T s.t. w r E (r ) T w 1 1
2
T 1 ( 1 ， 1, ， 1) 其中， 是所有元素为1的n维列向量。 由此构造Lagrange函数
结论： 越大，组合P的方差越大
越小，组合P的方差越小
[不允许卖空情形下：wD , wE 0]
88
表7.1 两只共同基金的描述性统计
99
表7.3 不同相关系数下的 期望收益与标准差
10 10
允许卖空：
wD wE 1
1 ）wD 1, wE 0, 长期债券多头，股票空头 2）wD 0, wE 1, 长期债券空头，股票多头
wE 1 wD
30 30
图7.7 The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds with the Optimal CAL and the Optimal Risky Portfolio
31 31
图7.8 Determination of the Optimal Overall Portfolio
E D wD , wE 1 wD D E D E 结论： 1时组合P的风险可降至零
15 15
情况三：
若 1 DE 1，
2 2 2 2 则有： P wD D wE E 2wD wE D E DE
当不允许卖空：wD , wE 0 wD D wE E P | wD D wE E | 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降低
i 1 j 1 i 1 i 1
n
n
n
n
上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件 为0，得到方程组
37 37
和方程
n L w w j 1 j r1 0 1 j 1 n L w j 2 j r2 0 w2 j 1 n L w w j nj rn 0 n j 1
即：
P | wD D wE E |
不允许卖空情形下：wD , wE 0 结论： 1时组合P的风险并未降低
14 14
情况二：
若 DE 1， 则有： ( wD D wE E )
2 P 2
即： P wD D wE E 令wD D - wE E 0
20 20
两种资产组合完全正相关，当权重wD从1减少到0 时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完 全正相关的机会集合（假定不允许买空卖空）。
收益 E(rp) E
D 风险σp
21 21
命题2：完全负相关的两种资产构成的机会集合 是两条直线，其截距相同，斜率异号。 由资产组合的计算公式可得
wD
2 [ E (rD ) rf ] E [ E (rE ) rf ]Cov(rD , rE ) 2 2 [ E (rD ) rf ] E [ E (rE ) rf ] D [ E (rD ) rf E (rE ) rf ]Cov(rD , rE )
32 32
图7.9 The Proportions of the Optimal Overall Portfolio
33 33
小结：两种风险资产与无风险资产 组合的配置程序
确定各类证券的收益风险特征 建造风险资产组合
根据式(7-13)计算最优风险资产组合P的构成比例 根据式(7-2)、(7-3)计算资产组合P的收益风险特征
T T 1 T min L w w ( E (r ) w r ) (1 w 1) w, , 2
43 43
因为是二次规划，一阶条件既是必要条件，又是充分条 件
L w r 1 0 w T L E (r ) w r 0 T L 1 w 1 0
16 16
图7.4 作为投资比例函数的组合标准差
17 17
最小方差投资组合
min w w 2wD wE D E DE
2 P 2 D 2 D 2 E 2 E
s.t. wD wE 1
18 18
组合的机会集与有效集
资产组合的机会集合（Portfolio opportunity
min s.t.
w w
i 1 j 1 n i j
n
n
ij
w r c,
i 1 n i i
w
i 1
i
1
36 36
对于上述带有约束条件的优化问题，可以 引入拉格朗日乘子λ 和μ 来解决这一优化 问题。构造拉格朗日函数如下
L wi w j ij ( wi ri c) ( wi 1)
T E (r ) w r
40 40
3.使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有
11 12 21 22 ... ... n1 n 2
... 1n ... 2 n ... ... ... nn
注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以， T 对于任何非0的向量 a, 都有a a 0
0=[0,0,…,0]T
(1) (2) (3)
44 44
矩阵微商公式(1)： 若X ( x1 , , xn )T 为实向量, y f ( X )为X的实函数， 则f ( X )关于X的微商定义为： f x f ( X ) 1 X f x n x11 若X x m1 f f x1n x x1n f ( X ) 11 ，则： X f f xmn x xmn m1
28 28
图7.6 债券与股票基金的可行集和两条可 行的CALs
29 29
最优风险资产组合P的求解
Max S P
wi
E (rP ) rf
s.t.
P E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
2 2 2 2 P [ wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE )]1/ 2 wD wE 1
(1) E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) 2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE D E DE (2) w w 1 (3) E D
24 24
各种相关系数下、两种风险资产构成的资产组 合机会集合(portfolio opportunity set)
11 11
投资组合期望收益与投资比例之间的关系
E (rP ) wD E(rD ) wE E(rE ) wD wE 1
12 12
图7.3 组合期望收益为投资比例的函数
13 13
投资组合风险与投资比例之间的关系
情况一：
若 DE 1，
2 则有： P ( wD D wE E ) 2
33
图 7.1 Portfolio Risk as a Function of the Number of Stocks in the Portfolio
44
图7.2 投资组合分散化
55
7.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合P由长期债券组合D和股票基金E组成 则有：
rP wD rD wE rE E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
set），即资产可构造出的所有组合的期望收益 和方差。 有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平 下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下 具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和σ 空间中的一个点。 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界、 有效前沿（ Efficient frontier）,它是有效组合的 集合（点的连线）。
投资学பைடு நூலகம்
第7章
最优风险资产组合
1
本章逻辑： 风险资产组合与风险分散化原理 风险资产组合的优化
从资本配置到证券选择
22
7.1 分散化与投资组合风险
投资组合的风险来源：
来自一般经济状况的风险(市场风险、系统
性风险、 不可分散风险) 特别因素风险(独特风险、公司特有风险、 非系统风险、可分散风险)
（1）给定收益的条件下，风险最小化 （2）给定风险的条件下，收益最大化
35 35
11 ... 1n 和 若已知资产组合收益c、方差 协方差矩阵 1n nn 组合各个资产期望收益向量 r =(r1 , r2 ,..., rn )T ，求解组合中资产权重 向量w=(w1 , w2 ,..., wn ), 则有
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) P wD D wE E w w 1 E D
(1) (2) (3)
22 22
两种证券完全负相关的图示
收益rp E
D 风险σp
23 23
命题3：不完全相关的两种资产构成的机会集合 是一条二次曲线 由资产组合的计算公式可得
n wi ri c i 1 n wi 1 i 1
38 38
这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1， 2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其 解是存在的。 注意到上述的方程是线性方程组，可以通 过线性代数加以解决。
39 39
正式证明: n项风险资产组合有效前沿
收益E(rp) E
ρ =1 ρ =0.3
风险σp
D
ρ =-1
25 25
图7.5 投资组合的期望收益为标准差的函数
26 26
投资组合的有效前沿？
27 27
7.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置
组合方法：两项风险资产先组合形成新 的风险资产组合，然后再向组合中加入无 风险资产 形成的资本配置线(CAL)中斜率最高的， 效用水平最高
配置风险资产组合和无风险资产
根据式(7-14)计算风险资产组合P与无风险资产的组合权 重 计算最终投资组合中具体投资品种的份额。
34 34
7.4 马科维茨的资产组合选择模型
均值-方差（Mean-variance）模型是由Harry Markowitz于1952年建立的，其目的是寻找投资 组合的有效边界。通过期望收益和方差来评价组 合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。 因此，根据投资组合比较的占优原则，这可 以转化为一个优化问题，即
r 假定1：市场上存在 n 2 种风险资产，令 w (w1 , w2 ,...,wn )T
代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：
w
i 1
n
i
1
且卖空不受限制，即允许 wi 0 2.r ( E(r1 ),, E(rn ))T也是一个n维列向量，它表示每一种资 产的期望收益率，则组合的期望收益
19 19
命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集合 是一条直线（假定不允许买空卖空）。 由资产组合的计算公式可得
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) P | wD D wE E | w w 1 E D
(1) (2) (3)
w w 2wD wE Cov(rD , rE )
2 P 2 D 2 D 2 E 2 E
66
表7.2 通过协方差矩阵计算投资组合方差
77
两风险资产之间的相关系数：
DE
Cov(rD , rE )
D E
2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE D E DE