第八章_量子多体问题方法及其应用

第八章 量子多体问题方法及其应用

二次量子化的基本概念，正则变换为主的多体理论方法。

§8.1 二次量子化方法

在讨论多体问题时，采用粒子的产生和湮灭算符的方法，------“二次量子化”方法。 8.1A 二次量子化，玻色子和费米子

一次量子化：算符的量子化（经典的力学量到量子力学中的厄密算符）。例如电磁场的量子化。

8.1B 量子光学中的JC 模型

举例，一个二能级原子与单模量子化广场作用，耦合Hamiltonian 为

dr p A mc e H g e

ψ⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅ψ=⎰ *int

---------

跃迁e g →，

式中，()()⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-

=ψ⎪⎭

⎫

⎝⎛-

=ψt E i

r t E i

r g g

g e e e exp ,exp ψψ 带入Hamiltonian 中，得

()()()()()()()()

dr

r p r A mc

e e dr r p r A mc

e e dr

r p A mc e r t E E i H g e t i g e t i g

e g e ⎰⎰⎰⋅=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ψψψψψ

ψωω *

*

*

int 00exp

式中，对于一个模式()α,k ，()()

()x

k i t i k x

k i t i k k

e

a

e

a

h

c

V

t x A

⋅-+⋅+-+=

ωα

ωα

αεω

,,1,，则

()

()()()dr r p r e

a e a

h

c

V

mc

e e

H g e x

k i t i k x

k i t i k k

t

i ⎰⋅+=⋅-+⋅+-ψψ

εω

ωα

ωα

αω

*,,int 10

此处，采用长波近似，即1≈⋅x

k i e

。则有

()()()()()()dr

r p r e

a e a

V

h

m

e H g

e

k

t

i k t

i k ⎰⋅+=

++

-ψψεωα

ωωαωωα

*

,,int 00

又有，[][]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⇒==m p r i m p p m i m p r p i p

r i p r 2,2,2,,,2

22

一个电子在原子中的Hamiltonian 为()r V m

p

H +=

22

0，

则()[]02

2,2,2,H r i m r V m p r i m m p r i m p

=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=。所以，

()()()()[]()()[]()()()()eg

g e

g e

g

e

g

e g

e

d im dr

r r r E E

m i

dr

r r H

r m i

dr r H r r i m dr r p r 0*0

*

0*

*,,ωψψ

ψ

ψψ

ψψψ=-===

⎰⎰⎰⎰

式中，eg d 为“电偶极跃迁矩阵元”。

()()()(

)

eg k

t

i k t

i k d e

a e

a

V

h

ie H ⋅+=++

-α

ωωαωωα

εωω00,,0

int

此时，相互作用的Hamiltonian 描述的是：把原子放在一个体积为V 的腔中，电子与腔存在的模式为()α,k 的量子化平面波电磁场发生相互作用，发生从基态到激发态的跃迁。()α,k 模式中含有的光子数为α,k n ，吸收过程的初态

为α

,,k n g ，末态为1,,-αk n e ，

即

1,,,,-=

ααααk k k k n n n a 。

在int H 中第二项含有一个高频振荡因子()t

i e

ωω+0，对时间的平均后，通常被忽略，叫做“旋

转波近似”。则有()()(

)

eg k

t

i k d e

a

V

h

ie H ⋅=-α

ωωα

εωω0,0

int

当考虑从激发态向基态跃迁时，g e →，可得

()()(

)

ge k

t

i k d e

a

V

h

ie H ⋅-=--+

α

ωωα

εωω0,0

int 。

当两种跃迁同时存在时，在长波近似和旋转波近似下

()()(

)

()()(

)

ge k

t

i k eg k

t

i k d e

a

V

h

ie d e a

V

h

ie H ⋅-⋅=--+

-α

ωωα

α

ωωα

εωωεωω00,0

,0

int 。

现在，我们回到起点考虑问题：

（1） 矢势为()()

()x

k i k x

k i k k

e

a

e

a

h

c

V x A

⋅-+⋅+=

α

α

αεω

,,1----量子化；

（2） 体系Hamiltonian 为，