2017-2018学年沪科版九年级数学下册练习：解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明

A

解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明

——体会旋转中常见解题技巧

◆类型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度

1．(2016·合肥校级模拟△)如图，将ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为()

A．60°B．85°C．75°D．90°

第1题图第2题图第3题图2．(2016·株洲中考△)如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C 沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC、′B′交于点O，则∠COA′的度数是()

A．50°B．60°C．70°D．80°

△3．如图，AB C为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为________．

4．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝5，PB＝12，PC＝△13，若将P AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．

◆类型二利用旋转结合特殊三角形判定、性质或勾股定理求长度或证明

△5．如图，ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D，若AC＝6，则AD的长为() A．2B．3C．23D．32

．

6．如图，△Rt ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°，

得到△MNC ，连接 BM ，那么 BM 的长是________．

7．(2016· 娄底中考△)如图，将等腰 ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 α 度到

△A 1BC 1 的位

置，AB 与 A 1C 1 相交于点 D ，AC 与 A 1C 1，BC 1 分别交于点 E ，F . (1)求证：△BCF ≌ △BA 1D ； (2)当∠C ＝α 度时，判定四边形 A 1BCE 的形状，并说明理由 ．

◆类型三 利用旋转计算面积

8．如图，边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺 时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是( )

A. 2－1

B. 2＋1

C. 2

D. 3

第 8 题图 第 9 题图

△9．如图，在等边 ABC 内有一点 D ，AD ＝5，BD ＝6，CD ＝△4，将 ABD 绕 A 点逆时 针旋转，使 AB 与 AC 重合 ，点 D 旋转至点 E ，则△DCE 的面积为________ 【方法 3】

参考答案与解析

∠CAC ′＝120°，AB ＝AB ′，∴∠AB ′B ＝ (180°－120°)＝30°.∵AC ′∥BB ′，∴∠C ′AB ′＝∠AB ′B AB ′·cos ∠B ′AD ＝6 2× ＝3 2. CM ＝2 2.∵AB ＝BC ，CM ＝AM ，∴BM 垂直平分 AC ，∴BO ＝ AC ＝ 2，OM ＝CM ·sin60° ⎪⎩∠A BD ＝∠CBF ， ＝△S ABC －△S D ′EC ＝ ×1×1－⎝2－ 2⎭＝ 2－1. 9. 7 解析：由旋转的性质得△ ACE ≌△ABD ，∴AE ＝AD ＝5，CE ＝BD ＝6，∠DAE 即 62－(4－x )2＝52－x 2，解得 x ＝ ，∴DH ＝ .由勾股定理得 EH ＝ DE 2－DH 2＝ 52－⎝8⎭2

1．B 解析：∵△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE ，∴∠C ＝∠E ＝70°，∠BAC ＝

∠DAE .∵AD ⊥BC ，∴∠AFC ＝90°，∴∠ CAF ＝90°－∠C ＝90°－70°＝20°，∴∠DAE ＝ ∠CAF ＋∠EAC ＝20°＋65°＝85°，∴∠BAC ＝∠DAE ＝85°.

2．B

3．90° 解析：∵将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120°得到 △AB ′C ′，∴∠BAB ′＝

1 2

＝30°，∴∠ CAB ′＝∠CAC ′－∠C ′AB ′＝120°－30°＝90°.

4．解：连接 PP △′.∵ ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.∵△P AC 绕点 A 逆 时针旋转后，得到△ P ′AB ，∴∠P ′AP ＝∠BAC ＝60°，AP ′＝AP ，BP ′＝CP ＝13，∴△AP ′P 为等边三角形，∴PP ′＝AP ＝5，∠APP ′＝60°.在△BPP ′中，∵PP ′＝5，BP ＝12，BP ′＝13， ∴PP ′2＋BP 2＝BP ′△2，∴ BPP ′为直角三角形，∠BPP ′＝90°，∴∠APB ＝∠APP ′＋∠BPP ′＝ 60°＋90°＝150°.即点 P 与点 P ′之间的距离为 5，∠APB 的度数为 150°.

5．D 解析：在 △Rt ABC 中，AB ＝ AC 2＋BC 2＝ 62＋62＝6 2，则 AB ′＝AB ＝6 2. 在 △Rt B ′AD 中，∠ B ′AD ＝ 180° －∠ BAC －∠ BAB ′ ＝ 180° － 45° － 75° ＝ 60 ° . 则 AD ＝ 1 2

6. 2＋ 6 解析：连接 AM ，由题意，得 CA ＝CM ，∠ACM ＝60°，∴△ACM 为等边三 角形，∴AM ＝CM ，∠MAC ＝∠MCA ＝∠AMC ＝60°.∵∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，∴AC ＝ 1 2

＝ 6，∴BM ＝BO ＋OM ＝ 2＋ 6.

7．(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C △.∵将等腰 ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 α 度到△A 1BC 1 的位置，∴A 1B ＝AB ＝BC ，∠ A ＝∠A 1＝∠C ，∠A 1BD ＝ ⎧⎪∠A 1＝∠C ，

∠CBC 1△.在 BCF 与 △BA 1D 中，⎨A 1B ＝BC ， ∴△BCF ≌ △BA 1D ；

1

(2)解：四边形 A 1BCE 是菱形．理由如下：∵将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 α 度到 △A 1BC 1 的位置，∴∠A 1＝∠A .∵∠ADE ＝∠A 1DB ，∴∠AED ＝∠A 1BD ＝α，∴∠DEC ＝180°－α.∵∠C ＝α，∴∠A 1＝α，∴∠A 1BC ＝360°－∠A 1－∠C －∠A 1EC ＝180°－α，∴∠A 1 ＝∠C ，∠A 1BC ＝∠A 1EC ，∴四边形 A 1BCE 是平行四边形．∵A 1B ＝BC ，∴四边形 A 1BCE 是菱形．

8．A 解析：连接 AE ，∵四边形 ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝1，且∠B ＝90°，∠D ′CE

＝45°，由勾股定理得 AC ＝ 12＋12＝ 2.由题意，得 AD ′＝AB ＝1，∠AD ′E ＝90°，∴D ′C ＝ 2

1 3 －1，∠D ′EC ＝∠D ′CE ＝45°，∴D ′E ＝D ′C ＝ 2－1，∴△S D ′EC ＝2( 2－1)2＝2－ 2，∴S 阴影

1 ⎛3 ⎫ 2

15 4

＝60°，∴DE ＝5.作 EH ⊥CD 垂足为 H .设 DH ＝x .由勾股定理得 EH 2＝CE 2－CH 2＝DE 2－DH 2， 5 5 8 8 ⎛5⎫