1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)

[悟一法]
x′＝λ· x，λ>0 φ： y′＝μ· y，μ>0
利用坐标伸缩变换
求变换后的曲线方
1 x＝ λx′ 程，其实质是从中求出 y＝ 1y′ μ
，然后将其代入已知的曲线方
程求得关于 x′，y′的曲线方程．
[通一类] 3．将圆锥曲线 C
3x′＝x 按伸缩变换公式 2y′＝y
法一：由△ABC 是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即 (2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得 x2＋y2＝a2.依题意可知， x≠± a. 故所求直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)． 法二：由△ABC 是直角三角形可知 AC⊥BC，所以 kAC·BC k y y ＝－1，则 · ＝－1(x≠± a)，化简得直角顶点 C 的轨迹方 x＋a x－a 程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)． 法三：由△ABC 是直角三角形可知|OC|＝|OB|，且点 C 与点 B 不重合，所以 x2＋y2＝a(x≠± a)，化简得直角顶点 C 的轨迹方 程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)．
(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几
何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基 本思想，务必熟练掌握． (2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中 心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形， 可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角 边所在的直线为坐标轴等．
[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的
高．求证：BD＝CE.
[精讲详析]
本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题
可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算 问题． 如图，以BC所在直线为x轴， BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．
[研一题] [例 3] 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过
1 x′＝3x， 伸缩变换 y′＝1y 2
后的图形是什么形状？
Hale Waihona Puke Baidu
(1)y2＝2x；(2)x2＋y2＝1.
[精讲详析]
本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根
据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．
1 x′＝3x， 由伸缩变换 y′＝1y. 2
[通一类] 1．已知线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O，|AB|＝8，|CD|＝4， 动点 M 满足|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，求动点 M 的轨迹方程．
解：以 O 为原点，分别以直线 AB，CD 为 x 轴、y 轴建立直 角坐标系， 则 A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)． 设 M(x，y)为轨迹上任一点，则 |MA|＝ x＋42＋y2，|MB|＝ x－42＋y2，
圆锥曲线，并求其焦点坐标．
[命题立意] 求法．
[解]
本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的
如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞
1 0，且 m≠1)，可得 x＝x0 ，|y|＝m|y0|，所以 x0 ＝x，|y0|＝ m |y|. ① 因为 A 点在单位圆上运动，所以 x2＋y2＝1.② 0 0
x＝3x′， (1)将 y＝2y′
x＝3x′， 可知 y＝2y′.
代入 y2＝2x，可得 4y′2＝6x′，
3 即 y′ ＝2x′.
2
即伸缩变换之后的图形还是抛物线．
x＝3x′， (2)将 y＝2y′
代入 x2＋y2＝1，得
(3x′)2＋(2y′)2＝1， x′2 y′2 即 1 ＋ 1 ＝1， 9 4 即伸缩变换之后的图形为焦点在 y 轴上的椭圆．
变换后得到双曲线
x′2－y′2＝1，求曲线 C 的方程．
解：设曲线 C 上任意一点 P(x，y)，通过伸缩变换后的对应点 1 3x′＝x x′＝3x， 为 P′(x′，y′)，由 得 2y′＝y y′＝1y. 2 x y 代入 x′2－y′2＝1 得(3)2－(2)2＝1， x2 y2 即 9 － 4 ＝1 为所求．
则直线 AC 的方程为 h y＝－ ax＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝ax＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2， a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
[悟一法]
[悟一法]
求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过 “坐标”转化成代数关系，得到对应的方程． (1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→ 检验．
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要
检验轨迹的纯粹性和完备性． (3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同， 解题时要善于从多角度思考问题．
|MC|＝ x2＋y－22，|MD|＝ x2＋y＋22， ∴由|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，可得 [x＋42＋y2][x－42＋y2] ＝ [x2＋y－22][x2＋y＋22]. 化简，得 y2－x2＋6＝0. ∴点 M 的轨迹方程为 x2－y2＝6.
[研一题]
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y2 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2＋m2＝1(m＞0， 且 m≠1)． 因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0＜m＜1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m＞1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
本课时考点常以解答题(多出现在第(1)小问)的形式考查轨 迹方程的求法，2012年湖北高考将圆锥曲线的类型讨论同轨迹 方程的求法相结合，以解答题的形式考查，是高考命题的一个 新热点．
[考题印证]
(2012· 湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点， l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直 线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)．当点A在圆上运动 时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种
[读教材·填要点]
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用 通过直角坐标系，平面上的点与 坐标(有序实数对) 、曲线 与 方程 建立了联系，从而实现了数与形的结合． (2)坐标法解决几何问题的“三部曲” 第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算
解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· x，λ＞0， φ： y′＝μ· y，μ＞0
的作用下， P(x， 点 y)对应到点 P′(x′，
y′)， φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 称 简称伸缩变换．
[研一题] [例1] 迹方程． [精讲详析] 解答此题需要结合几何图形的结构特点，建 已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a>0)，求直角顶点C的轨
立适当的平面直角坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满
足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程． 以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如 图所示的直角坐标系，则有A(－a,0)，B(a,0)， 设顶点C(x，y)．
[小问题·大思维]
1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？
提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图 形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方 便． 2．伸缩变换中的系数λ，μ有什么特点？在伸缩变换下，平面直
角坐标系是否发生变化？
提示：伸缩变换中的系数λ>0，μ>0，在伸缩变换下，平面直角 坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．
[通一类] 2．已知△ABC 中，BD＝CD，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
证明：以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直 角坐系 xOy，则 A(0,0)，设 B(a,0)，C(b，c)，
a＋b c 则 D( 2 ，2)， ∴AD2＋BD2 a＋b2 c2 a－b2 c2 ＝ 4 ＋4＋ 4 ＋4 1 2 ＝2(a ＋b2＋c2)， AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2. ∴AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2).