七年级数学整体代入思想

整体代入思想

有的代数式求值往往不直接给出字母的取值，而是通过告诉一个代数式的值，且已知代数式中的字母又无法具体求出来，这时，我们应想到采用整体思想解决问题，用整体思想求值时，关键是如何确定整体。下面举例说明如何用整体思想求代数式的值。

一、直接代入

例1、如果5a b +=，那么（a +b ）2－4（a +b ）= ．

解析：本题是直接代入求值的一个基本题型，a 、b 的值虽然都不知道，但我们发现已知式与要求式之间都有（a b +），只要把式中的a b +的值代入到要求的式子中，即可得出结果5．

（a +b ）2－4（a +b ）=52－4×5=5。

2.已知 3x=a, 3y=b, 那么3x+y= ________

二、转化已知式后再代入

例2、已知a 2－a －4=0，求a 2－2(a 2－a+3)－2

1(a 2－a －4)－a 的值. 解析:仔细观察已知式所求式，它们当中都含有a 2－a ，可以将a 2－a －4=0转化为a 2－a=4，再把a 2－a 的值直接代入所求式即可。

a 2－2(a 2－a+3)－

2

1(a 2－a －4)－a =a 2－a －2(a 2－a+3)－2

1(a 2－a －4) =(a 2－a)－2(a 2－a)－6－2

1(a 2－a)+2 =－2

3(a 2－a)－4. 所以当a 2－a=4时，原式=－23×4－4=－10. 三、转化所求式后再代入

例3、若236x x -=，则262x x -= ．

解析：这两个乍看起来好象没有什么关系的式子，其实却存在着非常紧密的内在联系，所求式是已知式的相反数的2倍．我们可作简单的变形：由236x x -=，可得236x x -=-，两边再乘以2，即得262x x -=－12．

例4、2237x x ++的值为8，则2469x x +-= ．

解析：将要求式进行转化，“凑”出与已知式相同的式子再代入求值，即由2469x x +-得22(37)23x x ++-=2×8－23=－7。

本题也可将已知式进行转化，由2237x x ++的值为8，得2231x x +=，两边再乘以2，得246x x +=2，于是2469x x +-=－7。

习题练习：

1.已知2x x y +=，则方程()()2

22210x x x x +++-=可变形为( ) A ．2210y y ++= B ．2210y y -+=

C ．2210y y +-=

D ．2210y y --=

2.已知2230a a +-=，求代数式2361a a +-的值．

3.若2320a a --=，则2526a a +-=________

四、同时转化所求式和已知式，寻找共同式子

例5、已知x 2－x －1＝0，试求代数式－x 3+2x +2008的值.

解析：考虑待求式有3次方，而已知则可变形为x 2＝x +1，这样由乘法的分配律可将x 3写成x 2x ＝x (x +1)＝x 2+x ，这样就可以将3次降为2降，再进一步变形即可求解.

因为x 2－x －1＝0，所以x 2＝x +1，

所以－x 3+2x +2008＝－x 2x +2x +2008

＝－x (x +1)+2x +2008

＝－x 2－x +2x +2008

＝－x 2+x +2008

＝－(x 2－x －1)+2007

＝2007.

练习：1.当x=1时，34ax bx ++的值为0，求当x= －1 时，34ax bx ++的值． 2.(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．

例6、已知()()213x x x y ---=-，求222x xy y -+的值（提示：已知存在()2222x y x xy y +=++恒成立）