中考数学相似综合题附答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在△ABC中，∠ABC=90°．

（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；

（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求tanC的值；

（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ，，直接写出tan∠CEB的值．

【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN，

∴∠AMB=∠BNC=90°，

∴∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABM+∠CBN=90°，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠AMB=∠NBC，

∴△ABM∽△BCN

（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.

∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°，

∴∠BAP=∠CPM=∠C，

∴MP=MC

∵tan∠PAC=，

设MN=2m,PN=m,

根据勾股定理得，PM=,

∴tanC=

（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，

过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，

∵∠DEB=90°，

∴CH∥AG∥DE，

∴ =

同（1）的方法得，△ABG∽△BCH

∴，

设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，

∵AB=AE，AG⊥BE，

∴EG=BG=4m，

∴GH=BG+BH=4m+3n，

∴，

∴n=2m，

∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，

在Rt△CEH中，tan∠BEC= =

【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得出∠BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM∽△BCN；

（2）过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中根据正切函数的定义，由

tan∠PAC=,同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，故,设AB= a，PQ=2a，BP= b，FQ=2b（a＞0，b＞0），然后判断出△ABP∽△CQF，得

从而表示出CQ，进根据线段的和差表示出BC，再判断出△ABP∽△CBA，得出

再得出BC，从而列出方程，表示出BC,AB，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；

（3）在Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得出：sin∠BAC=,过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出

，同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ，故，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中根据正切函数的定义得出tan∠BEC的值。

2．如图，抛物线y= x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；

（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．

【答案】（1）解：把B（6，0），C（0，6）代入y= x2+bx+c，得

解得 ,抛物线的解析式是y= x2+2x+6, 顶点D的坐标是（2，8）

（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x， x2+2x+6），则FG= ，

∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴，

∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6-x，

∴

当点F在x轴上方时，有，∴x=-1或x=6（舍去），此时F1的坐标为（-1，）,

当点F在x轴下方时，有，∴x=-3或x=6（舍去），此时F2的坐标为（-3，）,

综上可知F点的坐标为（-1，）或（-3，）

（3）解：如图2，

不妨M在对称轴的左侧，N在对称轴的左侧，MN和PQ交于点K，由题意得点M，N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上

∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上 ,

∴KP=KM=k，则Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），

∵点M在抛物线y= x2+2x+6的图象上，∴k= (2-k)2+2(2-k)+6

解得k1= 或k2=

∴满足条件的点Q有两个，Q1（2，）或Q2（2，）.

【解析】【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。

（2）过F作FG⊥x轴于点G，设出点F的坐标，表示出FG的长，再证明△FBG∽△BDE，利用相似三角形的性质建立关于x的方程，当点F在x轴上方时和当点F在x轴下方时，求出符合题意的x的值，求出点F的坐标。

（3）由点M，N关于抛物线的对称轴对称，可得出点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上,设Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），再由点M在抛物线上，列出关于k的方程，求解即可得出点Q的坐标。

3．如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°．

（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，求，请证明你的结论；

（2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则 =________；

（3）如图3，若 =k，BC=m，AC=n，请直接写出的值．（用k，m，n表示）

【答案】（1）解：如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∵AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点，

∴CD平分∠ACB，

∵PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∴PG=PH，

∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，

∴∠GPH=∠MPN=90°，

∴∠MPH=∠NPG，