高中数学必修四课件任意角的概念课件

K > 0，表示逆时针旋转，可以表示成角与整数个周角的和。
K < 0,表示顺时针旋转.
② 是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应
看成(－30º)+ k·360º；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终
边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们
相差360º的整数倍.
例1. 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
例3写出终边分别落在四个象限的角的集合.
• 终边落在坐 标轴上的情 形
y 90°+K ·360°
时针方向旋转到另一位置OB，
就形成角α．
O
A
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始边，旋转终止的射线
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”、“零角” 我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角
叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫 做负角，如图，以OA为始边的角α=210°， β=－150°，γ=660°，
⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构
Βιβλιοθήκη Baidu成一个集合：{β| β=α+k·360º， k∈Z}
即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角的和。
所有与终边相同的角连同在内可
⑷注意以下四点：
以构成一个集合：
① k∈Z，
{β| β=α+k·360º， k∈Z} 即：任何一个与角终边相同的角，都
• 第四象限的角表示为 {| 270 + k360<< 360 + k360，kZ}
例4、写出终边落在y轴上的角的集合.
y 90°+K ·360°
180°+K·360° o
x 0°+K ·360°
270°+K·360°
课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间 (0º,90º)内的角是锐角吗？
必修四 第一章 三角函数
1.1.1 任意角的概念
1、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 角也可以看成是由一条射线绕着它的端
点旋转而成的。
初中学过的角的范围是：0º至 360º。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
如图：一条射线由原来的 位置OA，绕着它的端点O按逆 B
答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐 角．
2 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是
()
A 第一象限角
B 第一、二象限角
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
3、若α是第四象限角，则180º－α是（ ）
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.
② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）
3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正 角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就 好象与正数、负数的规定一样，零角无正负， 就好象数零无正负一样．
3．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标
系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合
于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第
几象限，我们就说这个角是第几象限的角。
（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何
一个象限此时这种角称为：轴线角） 例如：30、390、330是第一象限角， 300、 60是第四象限角， 585、1300是第三象限角， 135 、2000是第二象限角等
4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同.
⑵探究：终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z) 个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4) 1770=305×360 (k=－5)
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
4、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是 __________，α+β的范围是___________;
5、若β的终边与60º角的终边相同，那么在 [0º,360º）范围内，终边与角 的终边相同的
3
角为______________;
• 1、角度制的定义
1 • 度规叫定角周度角制的。360 为1度的角这种用度做单位来度量角的制
n° l
1°
R
2、弧长公式及扇形面积公式
l= —n1—π80R— S=
—nπ—R2—
360
1、弧度制
• 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。
用旋转来描述角，需要注意三个要素：
旋转中心、旋转方向和旋转量 （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了；
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º， 角度的绝对值可大于360º.于是就会出现 720º， － 540º等角度.
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零角即零度角（0º）．此时零角的始边与 终边重合。
角的记法：角α或可以简记成∠α，或简 记为： α.
如∠α=-1500 ， α=00， α=6600 等等……
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了
180°+K·360° o
x 0°+K ·360° 或360°+ K ·360°
270°+K·360°
• 第一象限的角表示为 {|k360<< 90 + k360,kZ}；
• 第二象限的角表示为 {| 90 + k360<<180 +k360，kZ}；
• 第三象限的角表示为 {| 180 + k360<< 270 + k360，kZ}