高中数学《 坐标系与参数方程》课件 新人教版选修4-4
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四、柱坐标系与球坐 标系简介
内 第二讲 参数方程 容 一、曲线的参数方程
二、圆锥曲线的参数 方程
三、直线的参数方程
四、渐开线与摆线
坐 坐标系是解析几何的
标 基础，有了坐标系，
系
使几何问题代数化成 为可能，它是实现几何
的 图形与代数形式互相转
作 化的基础，使精确刻画
用
几何图形的位置和物体 运动的轨迹成为可能。
序数组 (, , z)叫做P的柱坐标，记作 P(, , z), 其中 0，0 2，－ z
柱 坐 标 系
x
P(,,z)
z
o
y
x
Q
柱
坐
标
互 化
与 直 角
坐
标
的
空间点 P的直角坐(x标 , y,z)与柱坐(标 ,,z)
之间的变换公式为
xcos {y sin
zz
球 坐 标 系 的 概 念
坐 在不同的坐标系中， 标 同一个几何图形可 系 以有不同的表现形 的 式，这使解决问题 多 的方法有了更多的 样 选择。 性
平 教材从一个思考题出发，复
面
习了建立平面直角坐标系解
直
决实际问题的方法，并进一
角 坐
步提出思考:这种方法与用 直角坐标刻画点P的位置有 什么区别和联系?你认为哪
标
种方法更方便?为引入极坐
z rcos
曲 参数方程是曲线的另
线
一种表现形式，它弥 补了普通方程表示曲
的 线的不足，极坐标与
参 参数方程为研究较为
数 复杂的曲线提供了工 方 具。
程
参 一般地，在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标
数 都是x ,某y 个变数t的函数 ，
方
并且对于t的每一个允许值， 由方程组所确定的点都在这条
程
柱
坐
念
标 系
的
概
一般地，建立空间直坐角标系Oxyz,设P是空间
任意一点，它在 Oxy平面上的射影为 Q,用(,) ( 0,0 2)表示点Q在平面Oxy上的极坐 标，这时点P的位置可用有序数(组,, z)(z R)
表示。这样，我们建了立空间的点与有序数组
(,, z)之间的一种对应关系。
把建立上述对应关系的 坐标系叫做柱坐标系， 有
一 和直角坐标不同，平面
性
内一个点的极坐标 有无 数种表示
“ 惟 一 性”
如果规定 0 ，0 2
那么除极点外，平面内的 点可用惟一的极坐标 , 表示；同时，极坐标 , 表示的点也是惟一确定的
极
坐
标
互 化
和 直 角
坐
标
的
设M是平面内任意一点，它 的直角坐标是 x , y ，极坐标
系 一个角度单位（通常取源自弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这
样就建立了一个极坐标
系。
极 设M是平面内一点，极点O与
点M的距离 OM 叫做点M的
坐
极径，记为 ；以极轴OX为
标
始边,射线OM为终边的角 XOM叫做点M的极角，记
为 ，有序数 , 对叫做点
M的极坐标，记做M , 。
一般地，不作特殊说明时，
程
曲线上，那么方程就叫这条曲 线的参数方程，联系变数x,y
的
的变数t叫做参数，相对于参
概
数方程而言，直接给出点的坐 标间关系的方程叫做普通方程
念
参 数 方 的程 互和 化普 通 方 程
可以通过消去参数而从参数 方程得到普通方程。
如果知道变数x,y 中的一个 与参数t的关系，把它代入 普通方程，求出另一个变数 与参数的关系，那么就得到 曲线的参数方程
球 坐 标 系
把上述对应关系的 系坐 叫标 做球坐标系（ 间或
极坐标系），有序 (r,数 ,)组 叫做点 P的球坐标， 记作P(r,,),其中r 0,0,0 2
球
坐
P(r,,)
标
系
球
坐
标
互 化
与 直 角
坐
标
的
空间点 P的直角坐(x标 , y,z)与柱坐(标 r,,)
之间的变换公式为
xrsincos {y rsinsin
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz, 设P是空间 任意一点，连接OP，记 OP＝r，OP与Oz轴正
向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，
Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小
正角为，这样P点的位置就可以用有序数组 (r,, )表示，这样，空间点与有序数组(r,, )
之间建立了一种对应关系，
作地 用位
与
是“平面解析几何 初步”和 “圆锥曲 线与方程”的延续 与拓广
地
位
是解析几何与函数、 三角函数、向 量等
与 内容的综合应用
作
用
内
容 是高中数学课程选修
系列4—4的第四个专 题，包括“坐标系” 和“参数方程”两部 分内容。
内 第一讲 坐标系 容 一、平面直角坐标系
二、极坐标系
三、简单曲线的极坐 标方程
方
程
圆 圆心在极点的圆的极
的 坐标方程为 r
极 圆心不在极点，但经 坐 过极点的圆的极坐标
标 方程是 asin
方 其中 a 是非零数，
程 是常数
直
线 a co s b sin c0
的
极
其为 a , b , c 常数
坐 标
s i n ) ( 0 s i0 n )
方
重点 —— 过极点的直线
是 , ，可以得到它们之间 的关系：
x c o s
y sin
2 x2 y2
tan
y x
x
0
曲 一般地，在极坐标系中，如
线
果平面曲线C上任意一点的 极坐标中至少有一个满足方
的
程 f , 0，并且坐标适
极
合方程 f , 0的点都在
坐
曲线C上，那么方程 f , 0
标
叫做曲线C的极坐标方程。
我们认为 0 ， 可取任
意实数。
建立极坐标系后，给定
和 ，就可以在平面内
极
惟一确定点M，反过来， 平面内任意一点，也可以
坐
找到它的极坐标 , 。
标
请注意：这里没有强调一 一对应！
不 一般地，极坐标 , 与 ,2kkZ表示
惟 同一个点。特别地，极 点O的坐标为 0 , R
系
标系埋下了伏笔。
伸
缩
义
变 换
的
定
设点 P x, y 是平面直角坐
标系中的任意一点，在变换
:yxxy,, 00
的作用下，点 Px, y对应到
点 Px,y，称为平面直角
坐标系中的坐标伸缩变换， 简称伸缩变换
极 在平面内取一个定点O， 坐 叫做极点；自极点O引一
标
条射线OX，叫做极轴； 再选定一个长度单位、
参
数
用
方 程
的
应
求常用曲线的参 数方程
直线的参数方程 圆锥曲线的参数
方程
渐开线与摆线
圆 锥 曲 椭圆的参数方程 线 双曲线的参数方程 的 抛物线的参数方程 参 数 方 程
直
线
经过点 Mx0, y0 ，倾斜角
为 的直线的参数方程
的是
参
x x0 t cos
数
y
内 第二讲 参数方程 容 一、曲线的参数方程
二、圆锥曲线的参数 方程
三、直线的参数方程
四、渐开线与摆线
坐 坐标系是解析几何的
标 基础，有了坐标系，
系
使几何问题代数化成 为可能，它是实现几何
的 图形与代数形式互相转
作 化的基础，使精确刻画
用
几何图形的位置和物体 运动的轨迹成为可能。
序数组 (, , z)叫做P的柱坐标，记作 P(, , z), 其中 0，0 2，－ z
柱 坐 标 系
x
P(,,z)
z
o
y
x
Q
柱
坐
标
互 化
与 直 角
坐
标
的
空间点 P的直角坐(x标 , y,z)与柱坐(标 ,,z)
之间的变换公式为
xcos {y sin
zz
球 坐 标 系 的 概 念
坐 在不同的坐标系中， 标 同一个几何图形可 系 以有不同的表现形 的 式，这使解决问题 多 的方法有了更多的 样 选择。 性
平 教材从一个思考题出发，复
面
习了建立平面直角坐标系解
直
决实际问题的方法，并进一
角 坐
步提出思考:这种方法与用 直角坐标刻画点P的位置有 什么区别和联系?你认为哪
标
种方法更方便?为引入极坐
z rcos
曲 参数方程是曲线的另
线
一种表现形式，它弥 补了普通方程表示曲
的 线的不足，极坐标与
参 参数方程为研究较为
数 复杂的曲线提供了工 方 具。
程
参 一般地，在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标
数 都是x ,某y 个变数t的函数 ，
方
并且对于t的每一个允许值， 由方程组所确定的点都在这条
程
柱
坐
念
标 系
的
概
一般地，建立空间直坐角标系Oxyz,设P是空间
任意一点，它在 Oxy平面上的射影为 Q,用(,) ( 0,0 2)表示点Q在平面Oxy上的极坐 标，这时点P的位置可用有序数(组,, z)(z R)
表示。这样，我们建了立空间的点与有序数组
(,, z)之间的一种对应关系。
把建立上述对应关系的 坐标系叫做柱坐标系， 有
一 和直角坐标不同，平面
性
内一个点的极坐标 有无 数种表示
“ 惟 一 性”
如果规定 0 ，0 2
那么除极点外，平面内的 点可用惟一的极坐标 , 表示；同时，极坐标 , 表示的点也是惟一确定的
极
坐
标
互 化
和 直 角
坐
标
的
设M是平面内任意一点，它 的直角坐标是 x , y ，极坐标
系 一个角度单位（通常取源自弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这
样就建立了一个极坐标
系。
极 设M是平面内一点，极点O与
点M的距离 OM 叫做点M的
坐
极径，记为 ；以极轴OX为
标
始边,射线OM为终边的角 XOM叫做点M的极角，记
为 ，有序数 , 对叫做点
M的极坐标，记做M , 。
一般地，不作特殊说明时，
程
曲线上，那么方程就叫这条曲 线的参数方程，联系变数x,y
的
的变数t叫做参数，相对于参
概
数方程而言，直接给出点的坐 标间关系的方程叫做普通方程
念
参 数 方 的程 互和 化普 通 方 程
可以通过消去参数而从参数 方程得到普通方程。
如果知道变数x,y 中的一个 与参数t的关系，把它代入 普通方程，求出另一个变数 与参数的关系，那么就得到 曲线的参数方程
球 坐 标 系
把上述对应关系的 系坐 叫标 做球坐标系（ 间或
极坐标系），有序 (r,数 ,)组 叫做点 P的球坐标， 记作P(r,,),其中r 0,0,0 2
球
坐
P(r,,)
标
系
球
坐
标
互 化
与 直 角
坐
标
的
空间点 P的直角坐(x标 , y,z)与柱坐(标 r,,)
之间的变换公式为
xrsincos {y rsinsin
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz, 设P是空间 任意一点，连接OP，记 OP＝r，OP与Oz轴正
向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，
Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小
正角为，这样P点的位置就可以用有序数组 (r,, )表示，这样，空间点与有序数组(r,, )
之间建立了一种对应关系，
作地 用位
与
是“平面解析几何 初步”和 “圆锥曲 线与方程”的延续 与拓广
地
位
是解析几何与函数、 三角函数、向 量等
与 内容的综合应用
作
用
内
容 是高中数学课程选修
系列4—4的第四个专 题，包括“坐标系” 和“参数方程”两部 分内容。
内 第一讲 坐标系 容 一、平面直角坐标系
二、极坐标系
三、简单曲线的极坐 标方程
方
程
圆 圆心在极点的圆的极
的 坐标方程为 r
极 圆心不在极点，但经 坐 过极点的圆的极坐标
标 方程是 asin
方 其中 a 是非零数，
程 是常数
直
线 a co s b sin c0
的
极
其为 a , b , c 常数
坐 标
s i n ) ( 0 s i0 n )
方
重点 —— 过极点的直线
是 , ，可以得到它们之间 的关系：
x c o s
y sin
2 x2 y2
tan
y x
x
0
曲 一般地，在极坐标系中，如
线
果平面曲线C上任意一点的 极坐标中至少有一个满足方
的
程 f , 0，并且坐标适
极
合方程 f , 0的点都在
坐
曲线C上，那么方程 f , 0
标
叫做曲线C的极坐标方程。
我们认为 0 ， 可取任
意实数。
建立极坐标系后，给定
和 ，就可以在平面内
极
惟一确定点M，反过来， 平面内任意一点，也可以
坐
找到它的极坐标 , 。
标
请注意：这里没有强调一 一对应！
不 一般地，极坐标 , 与 ,2kkZ表示
惟 同一个点。特别地，极 点O的坐标为 0 , R
系
标系埋下了伏笔。
伸
缩
义
变 换
的
定
设点 P x, y 是平面直角坐
标系中的任意一点，在变换
:yxxy,, 00
的作用下，点 Px, y对应到
点 Px,y，称为平面直角
坐标系中的坐标伸缩变换， 简称伸缩变换
极 在平面内取一个定点O， 坐 叫做极点；自极点O引一
标
条射线OX，叫做极轴； 再选定一个长度单位、
参
数
用
方 程
的
应
求常用曲线的参 数方程
直线的参数方程 圆锥曲线的参数
方程
渐开线与摆线
圆 锥 曲 椭圆的参数方程 线 双曲线的参数方程 的 抛物线的参数方程 参 数 方 程
直
线
经过点 Mx0, y0 ，倾斜角
为 的直线的参数方程
的是
参
x x0 t cos
数
y