2020届高考数学大二轮复习专题八数学文化与创新应用第1讲数学文化及核心素养类试题练习文

第1讲 数学文化及核心素养类试题

「考情研析」 数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.

核心知识回顾

1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．

2．与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数． 3．以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．

4．以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．

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考向1 算法中的数学文化

例 1 (2019·哈尔滨市第三中学高三第二次模拟)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )

A ．i <20，S ＝S －1

i

，i ＝2i

B ．i ≤20，S ＝S －1

i

，i ＝2i

C ．i <20，S ＝S

2，i ＝i ＋1

D ．i ≤20，S ＝S

2，i ＝i ＋1

答案 D

解析 根据题意可知，第一天S ＝12，所以满足S ＝S 2，不满足S ＝S －1

i ，故排除A ，B ；由

框图可知，计算第二十天的剩余时，有S ＝S

2

，且i ＝21，所以循环条件应该是i ≤20.故选D.

以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律，理解程序框图的算法功能．

我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )

A ．121

B ．81

C ．74

D ．49 答案 B

解析 满足a ≤32，第一次循环：S ＝1，n ＝2，a ＝8；满足a ≤32，第二次循环：S ＝9，

n ＝3，a ＝16；满足a ≤32，第三次循环：S ＝25，n ＝4，a ＝24；满足a ≤32，第四次循环：S

＝49，n ＝5，a ＝32；满足a ≤32，第五次循环：S ＝81，n ＝6，a ＝40.不满足a ≤32，输出S .故选B.

考向2 数列中的数学文化

例2 (2019·陕西省高三第三次教学质量检测)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为2

n －1

，若去除所有为1的项，依次构成数列

2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前15项和为( )

A ．110

B ．114

C ．124

D ．125 答案 B

解析 由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第n ＋1行，令x ＝1，可得二项展开式的二项式系数的和2n

，其中第1行为20

，第2行为21

，第3行为22

，…以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为S n ＝1－2n

1－2＝2n －1，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则T n ＝

n n ＋1

2

，令

n n ＋1

2

＝15，解得n

＝5，所以前15项的和表示前7行的数列之和减去所有的1，即(27

－1)－13＝114，即前15项的数字之和为114，故选B.

以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．

《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月(按30天计算)共织390尺布．记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14＋a 15＋a 16＋a 17的值为( )

A ．55

B ．52

C ．39

D ．26 答案 B

解析 设从第2天开始，每天比前一天多织d 尺布，则S 30＝390，所以30×5＋30×29

2

d ＝390，解得d ＝1629，所以a 14＋a 15＋a 16＋a 17＝4a 1＋58d ＝4×5＋58×16

29

＝52.故选B.

考向3 立体几何中的数学文化

例 3 (2019·六安市第一中学高三模拟)我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面．可以证明S 圆＝S 环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________．

答案 4π

解析 因为S 圆＝S 环总成立，则半椭球体的体积为πb 2

a －13π

b 2a ＝23πb 2a ，所以椭球体

的体积为V ＝43πb 2

a ，因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3，所以椭球体的体积为V ＝

43πb 2a ＝43

π×12

×3＝4π，故答案是4π.

依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国