正弦定理的几种证明方法

正弦定理的几种证明方法

由此，得為=為同理可得耗二為，

cos

C

正弦定理的几种证明方法

1■利用三角形的高证明正弦定理

(1)当厶ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD 根据锐角三角函数的定义, 有 CD=a s in B , CD =b si nA 故有sin A _sin B _sin C .从而这个结论在锐角三角形中成立.

(2)当厶ABC 是钝角三角形时，过点 C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D, 根据锐角三角函数的定义， 有CD 二a sin . CBDa sin . ABC, CD -bsinA 。由此,

从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即

a b c

sin A sin B sin C

1'用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题：

已知点A,点B 之间的距丨AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C,即:

在如图△ ABC 中，已知角A ,角B ,| AB 丨二c , 求边AC 的长b 解：过C 作CDAB 交AB 于D,贝U

DC 二匹-ggjnA/sinAcosC

tanC sinC sinC

AD = ccosA

sin A sin /ABC ，同理可得

si n

C sin ./ABC

故有a

sin A sin ZABC sin C 由⑴(2)可知，在. ABC 中，9

sin A sin B sin C 成立.

csinAcosC c(sinC cosA sinAcosC) csinB

b = AC =AD DC = ccosA

sinC sinC sinC

同理可证:

a b

sinA sinB

c

sinC

2■利用三角形面积证明正弦定

理

已知△ ABC,设BC = a, CA = b,AB = c,作AD 丄BC,垂足为D,贝U Rt △ ADB 中,sin B =3 I .

AB

1 1 .

…S A ABC= a *AD acsin

2 2

111

. S A ABC= absin C bcsin A acsin B |

2 2 2 在等式两端同除以ABC,可得如° sinA sinB

c

1 1

inB| 同理，可证ABC= absinC bcsin A|

2 2

.•曲bsinc二b/inA二從j>in&C

即-a-

b si nA sinB sinC

3■向量法证明正弦定

理

("△ ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于AC ,则j与AB的夹角为

90°-A,j与CB的夹角为90°-cl由向量的加法原则可得AC C^ AB,

为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到j *(AC CB^ = j *AB

由分配律可得AC ■ j *CB = j • AB・

.|j| AC Cos90°|j| CB Cos(90 -C)=|j| AB Cos(90 A

.asinC=csin4 *

a c sinA si nC

另外，过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°C,j与AB的夹

角为90°+B,可得

c

sin C

b

sin B

推论：

sinB sinC

(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j与AC的夹角为90°C,j与AB的夹角为90°-B) a _____ b _____ c

sinA si nB sinC

c sin C

⑵△ ABC 为钝角三角形，不妨设A >90°,过点A 作与AC 垂直的

单位向量j,则j

与AB 的夹角为A-90 °与CB 的夹角为90o

-C

由 AC CB 二 AB ，得 j AC +j CB =j AB ] 即 a Cos(90°-C)=c Cos(A-9D°l :.asinC=csin A :.

另外，过点C 作与CB 垂直的单位向量 角为 90°+B.同理,可得丄=丄.

sin B sin C

4■外接圆证明正弦定理

j,则j 与AC 的夹角为90o

+C,j 与AB 夹 a

_ b simA sin B

c

在厶ABC 中，已知BC=a,AC=b,AB=c,作厶ABC 的外接圆,0为圆

心，连结B0并延长交圆于B',设BB=2R.则根据直径所对的圆周角是

直角以及同 弧所对的圆周角相等可以得到

/ BAB =90°, / C =Z B', :.sinC=sinB' = sinC=sin B^ —I 二 C =2Rl

2R sinC

同理，可得一J=2R,—

b

2R| ■■—b

-

2Rl

si nA si nB

si nA si nB si nC

这就是说，对于任意的三角形，我们得到等式

a b ci

sin A si nB sinC

a sin A

a r