(完整)现代控制理论试卷及答案总结,推荐文档

2012年现代控制理论考试试卷

一、（10

分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，

（√）1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（√）2.若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。

（×）3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（√）4.对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A x

Ax = 的特征值都具有负实部是一致的。

（√）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。

（×）6.对一个系统，只能选取一组状态变量；

（√）7.系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；

（×）8.若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型1()()G s C sI A B -=-描述的系统是不能控且不能观的；

（×）9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；

（×）10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。

二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分）

解：（1）由电路原理得：

二．（10分）图为R-L-C 电路，设为控制量，电感上的支路电流和电容u L C 上的电压为状态变量，电容C 上的电压为输出量，试求：网络的状态2x 2x 方程和输出方程，并绘制状态变量图。

解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。

以电感上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：，L 12,L c i x u x ==由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：

从上述两式可解出，，即可得到状态空间表达式如下：

1x ∙

2x ∙

=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡

++-

2112

12110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x u R R R ⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡+2120三、（每小题10分共40分）基础题

（1）试求的一个对角规范型的最小实现。（10分）

32y y y u u --=+ …………4分23232

2()(1)(1)11111()21

32(1)(2)2Y s s s s s s s U s s s s s s s s s s +-++-+-====++-+--+----不妨令

，…………2分1()1()2X s U s s =-2()

1()1

X s U s s -=+于是有又

，所以，即有12()()()

1()()()

X s X s Y s U s U s U s =++12()()()()Y s U s X s X s =++…………2分12y u x x =++最终的对角规范型实现为

则系统的一个最小实现为：

…………2分[]201, 11011u y ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

x x x +u

（2）已知系统，写出其对偶系统，判断该系统[]011, 12232u y ⎡⎤⎡⎤=+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

x x x 的能控性及其对偶系统的能观性。（10分）

解答：

…………………………2分

0211

32u -⎡⎤⎡⎤

=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ x

x ……………………………………2分

[]12y =x

（3）设系统为

试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10分）。解

……………………………..…….……..3分

()200

t

t e t e --⎡⎤=⎢

⎥⎣⎦

Φ……….….……….……..3分

()()0

()(0)()d τ

t t t t u τ=+⎰x x B ΦΦ….……..2分

()

()2201010d τ110

0t t t t t e

e e e ττ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰.……….…………………..…..1分

()()220d τ

t t t t t e e e e τ

τ------⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰………………..1分()()()22211==11112

2t t t t t e e e e e -----⎡⎤+-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-⎢⎥⎣⎦⎣⎦（4）已知系统试将其化为能控标准型。（10分）

u x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 解：，.……..2分1210c u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

1

1

12201c

u -⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

.…….1分[][][1

1

1

12211

22010101c p u -⎡⎤===-⎢⎥-⎣⎦

.……..1分

[

][1

111212

2

2

2

1100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦

.……..2分11

221112211,11P P --⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

能控标准型为.……..4分u x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010 四、设系统为

试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。（10分）

解：

能控性分解：能观测性分解：传递函数为4520

()(2)33

g s s s ⨯=

=++分五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统的稳定性。（10分）0111x x ∙

⎡⎤

=⎢⎥

--⎣⎦

方法一：解：2

1x x =∙

原点是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，=0e x 即

当，时，；当，时，，因此为负01=x 02=x 0)(=∙

x v 01≠x 02=x 0)(=∙

x v )(x v ∙

半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。

另选一个李雅普诺夫函数，例如：为正定，而

为负定的，且当，有。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。

x →∞()V x →∞方法二：

解：或设11

1221

22p p P p p ⎡⎤=⎢

⎥⎣⎦则由得T

A P PA I +=-11

1211

1212

2212

22010110111101p p p p p p p p --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

+=⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣

⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦