如何理解y=f(x) 的一些问题

如何理解“()x f y =”的一些问题
王德明
函数概念在初中是这样叙述的：
设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量。

这是学生认识函数概念的第二个阶段（算术基础之上），即作为“变化过程”的函数．在高中，函数的概念则是建立在对应基础上的，即作为“对应关系”的函数：
设A ，B 是非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应，那么就称：f A B → 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作
()x f y = ，A x ∈．
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的 集合(){}A x x f ∈叫做函数的值域．
在此基础上，将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意的集合，引出了映射的概念，从而函数成了一种特殊的映射，也顺利拓展了函数的表达方式，对函数的理解产生了质的飞跃．通过对函数()x f y =这一抽象关系式的认识，十分有益于抽象思维能力的提升．当然这一跃，难免使高一学生对()x f y =的理解产生一些疑虑和偏差．为此应该想明白： 1 ()x f y =中的符号f 表示什么
()x f y =中的f 表示的是确定这个函数的 映射的对应法则．也就是表示y 与x 之间的 函数关系（显然不是f 与x 的积）．由于函数关系可以用解析法、列表法、图象法等表示，所以不能把()x f y =单纯地理解是由解析式给出的函数；其次，当函数关系是一个解析式时，“f ”指的就是运算法则．
如：()11+=x
x f ，“f ”是指对（）内的对象x 进行倒数运算并加1．当然函数的运算法则未
必是单一的对应关系，如：()⎩
⎨⎧≤>=0001x x x f ，， ，这里f 这个运算法则指的是：对任意一个正数的运算结果是1；对任意一个非正数的实数的运算结果是0．有的同学感到不是很好理解．其实我们知道，有许多旅游景点的票价与人的身高就有这样的规定：如某景点规定身高不超过（含）m 30.1的游客免费，身高超过m 30.1的游客每人120元．这样的函数我们通常称之为分段函数．生活中可以找到不少这样的例子，它们可以帮助我们很好地理解分段函数． ２ ()x f y =的定义域的意义
当函数()x f 是一个具体的解析式表示时，它的定义域就是指使这个式子有意义的实数x 的集合．比如求函数()111-++=x x x f 的定义域，就是求使1
11-++x x 有意义的实数x 的集合．这种给出具体解析式的函数的定义域比较简单；但当函数()x f y =只是这种抽象符号给出时，对它的定义域的理解就不那么容易了．
我们先看两个比较简单的问题： （１）已知()()x x x f -=
2，求()1+x f 的定义域； （２）已知()11--=x x g ，求()1+x g 的定义域．
比较容易得到：()()()x x x f -+=+111，()x x g -=+11．而且()1+x f 与()1+x g 的定义域都是{}11≤≤-x x ，因为这时函数()1+x f 和()1+x g 都有具体的解析式，求它们的定义域就显得比较简单，当然前提是：能从已知的()x f 与()x g 的解析式求出()1+x f 和()1+x g 的解析式．
可以发现上述两个不同的函数()x f 与()x g 的定义域都是{}
20≤≤x x ，进一步我们发现()1+x f 与()1+x g 的定义域同样有相同关系，都是{}11≤≤-x x ．这似乎表明：不论()x f 是怎样的函数，如果它的定义域是{}20≤≤x x ，那么()1+x f 的定义域必是{}
11≤≤-x x ．事实确是如此．
为此我们首先要清楚“()x f y =的定义域是集合A ”到底是什么意思．
这里有两层意思：
【1】首先，定义域指的是自变量．．．
的取值范围为A ； 【2】其次，“f ”的对象．．
必须在定义域A 内．
换句话说，()x f y =的自变量x 具有双重身份，所以这两层意思并非简单的一致．下面的例题就可以说明分层的必要性．
例：（1）已知()x f 的定义域为[]2,1，求()1+x f 的定义域；
（2）已知()1+x f 的定义域为[]2,1，求()x f 的定义域；
（3）已知()1+x f 的定义域为[]2,1，求()2
x f 的定义域 分析：（1）由已知并根据【2】，“f ”的对象必须在[]2,1内，而()1+x f 中“f ”的对象是1+x ，所以 ()[]2,11∈+x ，即 211≤+≤x ．所以 10≤≤x ，由【1】知()1+x f 的定义域为[]1,0；
（2）()1+x f 的定义域为[]2,1，由【1】知21≤≤x ，所以 ()1+x f 中“f ”的对象1+x 满足≤21+x 3≤，由【2】知()x f 的定义域为[]3,2
（3）由（2），“f ”的对象1+x 满足≤21+x 3≤，而()2x
f 中“f ”的对象是2x ，所以 322≤≤x ，即23-≤≤-x 或32≤≤x ．故()2x f 的定义域是
[][]
3,22,3 -- 只有对上述两层意思理解清楚了，再来用“换元法”解才变得理所当然，因为“换元法”的实质是使自变量．．．与对象．．
变得一致． 3 函数()x f y =的图象变换
如果函数的解析式已知，作它的图象就可以用最基本的描点法，但是并不是作每一个函数的图象都要这样进行，尤其是所作函数与基本的、熟悉的函数有紧密的关系时，我们通常会借助于这些最基本的函数图象（一次、二次函数、反比例函数、指数对数函数、三角函数等），也就是把基本函数的图象做参照．当然所谓的借助，实际上是通过平移、伸缩、对称等手段实现的．虽然函数()x f y =的抽象形式使我们在图形变换过程中难以把握，但根据其规律的确定性含义，我们又可以通过特例来认识规律．如()x f y =与()1+=x f y 的图象关系就可以从
2x y =与()2
1+=x y 图象关系；同样()x f y =与()x f y -=、()x f y =、()x f y --=、()x f y =、()x f y =等的图象关系都可以通过适当的最基本的初等函数做参照而获得，并加深对一般规律的认识。

如已知()x f y =的图象（如下第一图），可以作出()x f y -=，()x f y -=、()x f y --=、()x f y =、()x f y =、()x f y +=1、()1-=x f y 、()x f y -=1 等函数的图象依次如下：
4 对函数()x f y =的反函数()x f y 1-=的理解
函数()x f y =中y 随变量x 的变化而变化，但如果作为方程()0=-y x f ，它表示的是x 与y 之间的相互制约关系．这样函数有反函数的实质就是：无论给出x 、y 中的哪一个，另一
个变量通过这个方程被唯一确定．
（1） ()x f y =与()y f x 1-= 的关系
作为方程()x f y =与()y f x 1-=是一样的，它们反映的图象也是相同的．但是就自变量
与应变量的相对关系而言，一般是不一样的．因此我们把()y f
x 1-=叫做函数()x f y =的反函数．当然，有些函数与它的反函数是一样的，如x k y =
()0≠k 等（这个例子也说明，有反函数的函数未必是单调函数）．
（2） 函数()y f x 1-=与()x f y 1-=相同
当函数()x f y =有反函数时，由()x f y =得到()y f
x 1-=，这个函数已经是它的反函数，有同学会问为什么还要改写成()x f
y 1-=呢？这个问题实际上有两个方面：为什么可以这样改
变？改变后的形式有什么好处？ 我们知道，判断两个函数是否相同只要考察这两个函数的三要素是否一致，这从映射的角度很容易理解()y f x 1-=与()x f y 1-=是相同的函数；由于函数()x f y =与函数()y f x 1-=
的自变量与应变量的相对关系不一致（()y f x 1-=的自变量轴是y 轴，应变量轴是x ），无法
在同一直角坐标系里进行比较，而改写后则可以在同一坐标系里同时对比研究，我们知道它们的图象具有关于直线x y =对称这个显著特征，所以通常把()y f
x 1-=写成()x f y 1-=． （3） 函数()x f y =与()x f
y 1-=的图象关系 函数()x f y =与()x f y 1-=的图象关系主要有三方面：一是对称关系，二是单调性，三
是公共点判断．与前者相关的一个重要结论是“如果两个函数的图象关于直线x y =对称，那么这两个函数互为反函数”．与后者有关的经常发生的误解是“()x f y =与()x f
y 1-=的图象如果有交点，那么交点都在直线x y =上”．比较明显的反例是函数x
y 1=。

当然这是两个函数重合的情况，我们可以通过电脑演示看到一般的x a y =与x y a log =的图象关系随着a 的改
变，发现它们对称关系不变但是交点的位置不只在直线x y =上．比较容易理解的是它们的单
调性是一致的．当然，具有单调性的区间未必相同。

5 与()x f 有关的单调性
我们知道证明函数的单调性有一般的格式，即首先在要证明的区间上设任意两个有大小关系的变量，然后根据它们所对应的函数值的大小关系是否与变量的大小关系一致或相反来确定函数的单调性．如果函数关系是具体的，它的单调性就比较容易解决，因为函数值的大小关系可以通过具体的函数关系式的值的大小来比较；如果函数关系是抽象的，函数值间的大小不能直接比较，而是通过条件的转化来得到。

例如：“定义在R 上的偶函数()x f 在(－∞, 0) 上是减函数，证明：()x f 在 (0, ＋∞)上是增函数．”
这是课本上的例题，如果你理解了这个问题的实质是转换、化归，那么你面对这一类问题时心里就有底了．在此再予强调：首先设()+∞∈,0,21x x 且21x x <，［而不是设()0,,21∞-∈x x ］；其次是转换变量所在范围，以便运用条件中涉及的函数值的大小关系．即由<021x x <得>021x x ->-从而()0,,21∞-∈--x x ．因为()x f 在(－∞, 0) 上是减函数，所以()()21x f x f -<-．又因为()x f 是偶函数，所以()()21x f x f <．这样当()+∞∈,0,21x x 且21x x <时，()()21x f x f <．故()x f 在 (0, ＋∞)上是增函数．
不妨练习：()x f 是定义在R 上的奇函数，在区间[]b a --,()0>>b a 上()x f 是减函数，且()b f -＞0．求证：()[]2
x f 在区间[]a b ,上是增函数． 6 与()x f 有关的方程的含义
（1）如果函数()x f y =有反函数，且定义域为A ，值域为B ，那么有：
()[]x x f f =-1，对一切A x ∈成立；且
()[]x x f f =-1，对一切B x ∈成立．这两个恒等关系从函数与其反函数的定义（关系）即可知道，它们的作用在于有关反函数的问题未必要求出反函数．如：已知()x x x f 2+=，求()31-f
．显然这个函数的反函数我们还不会求，但是我们可令()31-f =t ，则()[]()t f f f =-31，所以()t t t f 23+==．明显地，1=t 是方程32=+t
t 的解，而函数()t f 又明显是增函数．所以方程32=+t t 的解唯一．故()31-f =1．
（2）如果函数()x f y =对于定义域内任意变量x 都有()()x f x f --=或()()x f x f -=成立，那么这个函数是奇函数或偶函数，它们的图象分别关于原点和y 轴对称，这种对称是函数自身的图象对称，不是两个函数之间的互对称．一般地，函数()x f y =定义在R 上，（1）如果对任意实数x 满足()()x a f x f -=2，那么()x f y =的图象关于直线a x =对称；（2）如果对任意实数x 满足()()x f b x a f -=-22，那么()x f y =的图象关于点()b a ,对称．（3）如果对任意实数x 满足()()a x f x f 2-=,那么()x f y =的图象具有周期规律，且a T 2=是它的一个周期．
上述()()x a f x f -=2与()()a x f x f 2-=两个条件比较容易混淆，另外图象关于直线a x =和b x =同时对称，或关于点()0,a 和线b x =同时对称，或关于点()()0,,0,b a 同时对称的函数都是周期函数，这里不再展开．
参考资料
曾国光 《中学生函数认知发展研究》，《数学教育学报》2002，2
王德明 《关于()x f y =的一些问题》，《拉萨教育》1994，1
祁正红 《抽象函数的周期》， 《中学数学教学》2005，5。