第8章 图与网络分析
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边序列为连接 v i0 与 v ik 的一条链，链长为 k。 点边列中没有重复的点和重复边者为初等链。 定义 9 无向图 G 中，连结 v i0 与 v ik 的一条链，当 v i0 与 v ik 是同一个点时，称 此链为圈。圈中既无重复点也无重复边者为初等圈。
对于有向图可以类似于无向图定义链和 圈，初等链、圈，此时不考虑边的方向， 而当链（圈）上的边方向相同时，称为 道路（回路）。 定义10 一个图中任意两点间至少有一 条链相连，则称此图为连通图。任何一 人不连通图都可以分为若干个连通子图， 每一个称为原图的一个分图。
定理3 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G中 无奇点。
推论1 无向连通图G为欧拉图，当且仅 当G的边集可划分为若干个初等回路。 推论2 无向连通图G为欧拉道路，当且 仅当G中有两个奇点。
定理4 连通有向图G是欧拉图，当且仅当它每 个顶点的出次等于入次。 中国邮路问题：一个邮递员，负责某一地区的 信件投递。他每天要从邮局出发，走遍该地区 所有街道再返回邮局，问应如何安排送信的路 线可以使所走的总路最短？
二、逐次逼近法 本算法可用于网络中带负权的边时，求某指定点 v1 到网络中任意点的最短路。算法的基本思路 是基于以下事实：如果 v1 到 v j 的最短路总沿着该路从 v1 先到某一点 v i ，然后再沿边 (vi , v j ) 到 达 v j ，则 v1 到 v i 的这条路必然也是 v1 到 v i 的最短路。
定义17 若一个有向图在不考虑边的方 向时是一棵树，则称这个有向图为有向 树。 定义18 有向树T，恰有一个结点入次为 0，其余各点入次均为1，则称T为树根 （又称外向树）。
定义19 在根树中，若每个顶点的出次 小于或等于m，称这棵树为m叉树。若每 个顶点的出次恰好等于m或零，则称这 棵树为完全m叉树。当m=2时，称为二 叉树、完全二叉树。
1 a ij 0
(v i , v j ) E 其他
则称矩阵 A 为图 G 的邻接矩阵。
欧拉回路与中国邮路问题
定义13 连通图G中，若存在一条通路，经过 每边一次且仅一次，则称这条道路欧拉道路。 若存在一条回路，经过每边一次且一次，则称 这条回路为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图。在引言中 提到的哥斯堡七桥问题就是要在图中寻找一条 欧拉回路。
。从第二步起使用迭代公式 P1(jk ) min [ P1(i k 1) lij ]
i
（k=2,3,„）
求P 1 j ，当进行到第 t 步，若出现
(t )
P1(jt ) P1(jt 1)
(t )
（j=1,2,„,n）
则停止， P 1 j （j=1,2,„,n）即为 v1 点到各点的最短路长。
(d ij( n ) ) nn 中元素 d ij( n ) 就是 v i 到 v j 的最短路长。
第四节 最大流问题
最大流问题是一类应用极为广泛的问题， 例如在交通运输网络中有人流、车流、 货物流，供水网络中有水流，金融系统 中有现金流，通信系统中有信息流，等 等
如果我们把图 8-38 看做输油管道网， v s 为起点， v t 为终点， v1 , v 2 , v3 , v 4 为中转 站，边上的数表示该管道的最大输油能力，问应如何安排各管道输油量，才能使从 v s 到 v t 的总输油量最大？
第一节
图与网络基本知识
定义 1 一个图是由点集 V {vi } 和 V 中元素的无序对的一个集合 E {ek } 所 构成的二元组，记为 G {V , E} ，V 中的元素 v i 叫做顶点，E 中的元素 e k 叫做边。
两个点 u,v 属于 V，如果边(u,v)属于 E，则称 ei , e j 相邻。边 ei , e j 称为点 u 的关联边。 用 m(G)=|E|表示图 G 的顶点个数。在不引起混淆情况下记为 m,n。 对于任一条边（ v i , v j ）属于 E，如果边（ v i , v j ）端点无序，则它是无向边， 此时图 G 称为无向图。如果边（ v i , v j ）的端点有序，即它表示以 v i 为始点， v j 为始点的有向边（或弧） ，这时图 G 称为有向图。
若令 P1 j 表示从 v1 到 v j 的最短路长，P1i 表示从 v1 到 v i 的最短路长， 则必有下列议程：
P1 j min ( P1i l ij )
i
用迭代方法解这个方程。开始时令
) P1(! j l1 j
（j=1,2,„,n）
即用 v1 到 v j 的直接距离做初始解，若 v1 到 v j 间无边，则记 v1 ， v j 间的最短路长为
定义15 若图G的生成子图是一棵树，则 称为该树为G的生成树（支撑树），或简 称为图G的树。 图G中属于生成树的边称为树枝，不 在生成树中的边称为弦。 定理7 图G=（V，E）有生成树的充分必 要条件为G是连通图。
按照边的选法不同，找图中生成树的方法 可分为两种： 深探法 广探法
( vi ,v j )
l 为最小。
ij
一、Dijkstra 算法 本算法由 Dijkstra 于 1959 年提出， 可用于求解指定两点 vi , v j 间的最短路， 或从指定点 v s 到其余各点的最短路，目前被认为是求无负权网络问题的最好方法。算法的基本思路基于以下 原理：若序列 {v1 , v2 ,, vn1 , vn } 是从 v s 到 v n 的最短路，则序列 {v s , v1 ,, vn1} 必为从 v s 到
第 8章
图与网络分析
教学内容：图与网络的基本知识、最短路问题、 最大流问题。 教学重点：图与网络、最小树、最短路问题及算 法、最大流问题及算法。
七桥问题 哈密尔顿回路 中国邮路问题 图论的第一本专著是匈牙利数学家 O.Konig写的“有限图与无限图的理论”， 发表于1936年。从1736年欧拉的第一篇 论文到这本专著，前后经历了200 年之 久,欧拉被公认为图论的创始人.
第二节 树
树是图论中结构最简单但又十分重要的 图，在自然科学和社会科学的许多领域 都有广泛的应用。
定义14 连通且不含圈的无向图称为树。树中次为1的 点称为树叶，次大于1的点称为分枝点。
定理6 图T=（V，E），|V|=n,|E|=m，则下列关于 树的说法是等价的。 T是一个树。 T无圈，且m=n-1。 T连通，且m=n-1。 T无圈，但每增加一新边即得惟一一个圈。 T连通，但任舍去一边就不连通。 T中任意两点，有惟一链相连。
图的矩阵表示
定义 11 网络（赋权图）G=（V，E） ，其边 (vi , v j ) 有权 wij ，构 造矩阵 A (aij ) nn ，其中：
wij aij 0
称矩阵 A 为网络 G 的权矩阵。
(v i , v j ) E 其他
定义 12 对于图 G=（V，E） ，|V|=n，构造一个矩阵 A (aij ) nn ， 其中：
这个问题是我国管梅谷教授在1962年首先 提出的。因此国际上通常称为中国邮路问题。 用的图论的语言描述：给定一个连通图G，每 边有非负权l(e)，要求一条回路过每边至少一 次，且满足总权最小。
定理 5 已知图 G G E1 无奇点， 则 L( E1 )
*
eE1
l (e) 最小的
充分必要条件为： （1） 每条边最多重复一次； （2） 对图 G 中每个初等圈来讲，重复边的长度不超过圈长的 一半
定义16 连通图G=(V,E),每条边上有非负 权L（e）。一棵生成树所有树枝上权的 总和，称为这个生成树的权。具有最小 权的生成树称为最小生成树（最小生成 树）简称最小树。 Kruskal算法 破圈法
定理 9 图 G 的生成树 T 为最小树，当且仅当对任一弦 e 来说，e 是 T+e 中 与之对应的图 e 中的最大权。
' ' '
'
'
'ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
'
成子图（支撑子图） 。
点或边带有某种数量指标的图称为网络。
定义 8
无 向 图 G= （ V ， E ） ，若图 G 中某些点与边的交替序列
(vi0 , ei1 , vi1 , ei2 ,, vik 1 eik , vik ) 的形式，且 eit (vit 1 , vit )(t 1,, k ) ，则称这个点
T (v j ) min[T (v j ), P(vi ) lij ]
（3） 比较所有具有 T 标号的点，反把最小者改为 P 标号，即：
P(vi ) min[T (vi )]
当存在两个以上最小者时，可同时改为 P 标号。若全部点均为 P 标号则停止。否则用 v i 代 v i 转回（2） 。
定义5 以点v为端点的边数叫做v的次， 记作deg(v)，简记为d(v)。 定理1 任何图中，顶点次数的总和等于 边数的2倍。 定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为 偶数个。
定义 6 有向图中，以 v i 为始点的边数称为点 v i 的出次，用 d (vi ) 表示，以 v i 为终 点的边数称为点 v i 的入次，用 d (vi ) 表示。v i 点的出次与入次之和就是该点的次。容易 证明有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。 定义 7 图 G=（V，E） ，若 E ' 是 E 的子集，V 是 V 的子集，且 E ' 中的边仅与 V 的 顶点相关联，则称 G (V , E ) 是 G 的一个子图。特别是，若 V =V，则 G 称为 G 的生
vn1 的最短路。
算法步骤： （1） 给 v s 以 P 标号， P(vi ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2） 若 v i 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j ：(vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号。对 v j 的 T 标号进行如下的更改
第三节 最短路问题
最短路问题是网络理论中应用最广 泛的问题之一。许多最优化问题可以使 用这个模型，如设备更新、管道铺设、 线路安排、厂区布局等。在上一章中我 们曾介绍了最短路问题的动态规划解法， 但某些最短路问题（如道路不能整齐分 段者）构造动态规划方程比较困难，而 图论方法则比较有效。
最短路问题的一般提法如下：设 G=（V，E）为连通图，图中各边 (vi , v j ) 有 权 lij (lij 表示vi , v j间无边） , vi , v j 为图中任意两点， 求一条道路 ， 使它是 v i 到 v j 的所有路中总权最小的路。即： L( )
定义20 设有连通图，G中每条边上有非 负数称为边的容量，仅有一个入次为0的 点称为发点（源），一个出次为0的点称 为收点（汇），其余点为中间点，这样 的网络G称为容量网络，常记做 G=(V,E,C)。
一条边的两个端点如果相同，称此边为 环（自回路）。 两个点之间多于一条边的称为多重边。 定义2 不含环和多重边的图称为简单图， 含有多重边的图称为多重图。 以后我们讨论的图，如不特别说明， 都是简单图.
定义 3 每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。有 n 个顶点的 无向完全图记作 Kn。 有向完全图则是指每一对顶点间有且仅有一条有向边的简单图。 定义 4 图 G={V，E}的点集 V 可以分为两个非空子集 X，Y，即 XUY=V， X Y= ，使得 E 中每条边的两个端点必有一个端点属于 X，另一个端点属于 Y，则称 G 为二部图（偶图） ，记作 G={X，Y，E}。
Floyd 算法 令网络的权矩阵为 D (d ij ) nn ， l ij 为 v i 到 v j 的距离。 其中 算法基本步骤为：
（0） ⑴输入权矩阵 D D。
lij d ij
当(vi , v j ) E 其他
⑵计算 D ⑶D
(n)
(k )
( k 1) ( k 1) (d ij( k ) ) nn (k 1,2,3,, n) ，其中 d ij( k ) min[ d ij( k 1) , d ik d kj ]。
对于有向图可以类似于无向图定义链和 圈，初等链、圈，此时不考虑边的方向， 而当链（圈）上的边方向相同时，称为 道路（回路）。 定义10 一个图中任意两点间至少有一 条链相连，则称此图为连通图。任何一 人不连通图都可以分为若干个连通子图， 每一个称为原图的一个分图。
定理3 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G中 无奇点。
推论1 无向连通图G为欧拉图，当且仅 当G的边集可划分为若干个初等回路。 推论2 无向连通图G为欧拉道路，当且 仅当G中有两个奇点。
定理4 连通有向图G是欧拉图，当且仅当它每 个顶点的出次等于入次。 中国邮路问题：一个邮递员，负责某一地区的 信件投递。他每天要从邮局出发，走遍该地区 所有街道再返回邮局，问应如何安排送信的路 线可以使所走的总路最短？
二、逐次逼近法 本算法可用于网络中带负权的边时，求某指定点 v1 到网络中任意点的最短路。算法的基本思路 是基于以下事实：如果 v1 到 v j 的最短路总沿着该路从 v1 先到某一点 v i ，然后再沿边 (vi , v j ) 到 达 v j ，则 v1 到 v i 的这条路必然也是 v1 到 v i 的最短路。
定义17 若一个有向图在不考虑边的方 向时是一棵树，则称这个有向图为有向 树。 定义18 有向树T，恰有一个结点入次为 0，其余各点入次均为1，则称T为树根 （又称外向树）。
定义19 在根树中，若每个顶点的出次 小于或等于m，称这棵树为m叉树。若每 个顶点的出次恰好等于m或零，则称这 棵树为完全m叉树。当m=2时，称为二 叉树、完全二叉树。
1 a ij 0
(v i , v j ) E 其他
则称矩阵 A 为图 G 的邻接矩阵。
欧拉回路与中国邮路问题
定义13 连通图G中，若存在一条通路，经过 每边一次且仅一次，则称这条道路欧拉道路。 若存在一条回路，经过每边一次且一次，则称 这条回路为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图。在引言中 提到的哥斯堡七桥问题就是要在图中寻找一条 欧拉回路。
。从第二步起使用迭代公式 P1(jk ) min [ P1(i k 1) lij ]
i
（k=2,3,„）
求P 1 j ，当进行到第 t 步，若出现
(t )
P1(jt ) P1(jt 1)
(t )
（j=1,2,„,n）
则停止， P 1 j （j=1,2,„,n）即为 v1 点到各点的最短路长。
(d ij( n ) ) nn 中元素 d ij( n ) 就是 v i 到 v j 的最短路长。
第四节 最大流问题
最大流问题是一类应用极为广泛的问题， 例如在交通运输网络中有人流、车流、 货物流，供水网络中有水流，金融系统 中有现金流，通信系统中有信息流，等 等
如果我们把图 8-38 看做输油管道网， v s 为起点， v t 为终点， v1 , v 2 , v3 , v 4 为中转 站，边上的数表示该管道的最大输油能力，问应如何安排各管道输油量，才能使从 v s 到 v t 的总输油量最大？
第一节
图与网络基本知识
定义 1 一个图是由点集 V {vi } 和 V 中元素的无序对的一个集合 E {ek } 所 构成的二元组，记为 G {V , E} ，V 中的元素 v i 叫做顶点，E 中的元素 e k 叫做边。
两个点 u,v 属于 V，如果边(u,v)属于 E，则称 ei , e j 相邻。边 ei , e j 称为点 u 的关联边。 用 m(G)=|E|表示图 G 的顶点个数。在不引起混淆情况下记为 m,n。 对于任一条边（ v i , v j ）属于 E，如果边（ v i , v j ）端点无序，则它是无向边， 此时图 G 称为无向图。如果边（ v i , v j ）的端点有序，即它表示以 v i 为始点， v j 为始点的有向边（或弧） ，这时图 G 称为有向图。
若令 P1 j 表示从 v1 到 v j 的最短路长，P1i 表示从 v1 到 v i 的最短路长， 则必有下列议程：
P1 j min ( P1i l ij )
i
用迭代方法解这个方程。开始时令
) P1(! j l1 j
（j=1,2,„,n）
即用 v1 到 v j 的直接距离做初始解，若 v1 到 v j 间无边，则记 v1 ， v j 间的最短路长为
定义15 若图G的生成子图是一棵树，则 称为该树为G的生成树（支撑树），或简 称为图G的树。 图G中属于生成树的边称为树枝，不 在生成树中的边称为弦。 定理7 图G=（V，E）有生成树的充分必 要条件为G是连通图。
按照边的选法不同，找图中生成树的方法 可分为两种： 深探法 广探法
( vi ,v j )
l 为最小。
ij
一、Dijkstra 算法 本算法由 Dijkstra 于 1959 年提出， 可用于求解指定两点 vi , v j 间的最短路， 或从指定点 v s 到其余各点的最短路，目前被认为是求无负权网络问题的最好方法。算法的基本思路基于以下 原理：若序列 {v1 , v2 ,, vn1 , vn } 是从 v s 到 v n 的最短路，则序列 {v s , v1 ,, vn1} 必为从 v s 到
第 8章
图与网络分析
教学内容：图与网络的基本知识、最短路问题、 最大流问题。 教学重点：图与网络、最小树、最短路问题及算 法、最大流问题及算法。
七桥问题 哈密尔顿回路 中国邮路问题 图论的第一本专著是匈牙利数学家 O.Konig写的“有限图与无限图的理论”， 发表于1936年。从1736年欧拉的第一篇 论文到这本专著，前后经历了200 年之 久,欧拉被公认为图论的创始人.
第二节 树
树是图论中结构最简单但又十分重要的 图，在自然科学和社会科学的许多领域 都有广泛的应用。
定义14 连通且不含圈的无向图称为树。树中次为1的 点称为树叶，次大于1的点称为分枝点。
定理6 图T=（V，E），|V|=n,|E|=m，则下列关于 树的说法是等价的。 T是一个树。 T无圈，且m=n-1。 T连通，且m=n-1。 T无圈，但每增加一新边即得惟一一个圈。 T连通，但任舍去一边就不连通。 T中任意两点，有惟一链相连。
图的矩阵表示
定义 11 网络（赋权图）G=（V，E） ，其边 (vi , v j ) 有权 wij ，构 造矩阵 A (aij ) nn ，其中：
wij aij 0
称矩阵 A 为网络 G 的权矩阵。
(v i , v j ) E 其他
定义 12 对于图 G=（V，E） ，|V|=n，构造一个矩阵 A (aij ) nn ， 其中：
这个问题是我国管梅谷教授在1962年首先 提出的。因此国际上通常称为中国邮路问题。 用的图论的语言描述：给定一个连通图G，每 边有非负权l(e)，要求一条回路过每边至少一 次，且满足总权最小。
定理 5 已知图 G G E1 无奇点， 则 L( E1 )
*
eE1
l (e) 最小的
充分必要条件为： （1） 每条边最多重复一次； （2） 对图 G 中每个初等圈来讲，重复边的长度不超过圈长的 一半
定义16 连通图G=(V,E),每条边上有非负 权L（e）。一棵生成树所有树枝上权的 总和，称为这个生成树的权。具有最小 权的生成树称为最小生成树（最小生成 树）简称最小树。 Kruskal算法 破圈法
定理 9 图 G 的生成树 T 为最小树，当且仅当对任一弦 e 来说，e 是 T+e 中 与之对应的图 e 中的最大权。
' ' '
'
'
'ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
'
成子图（支撑子图） 。
点或边带有某种数量指标的图称为网络。
定义 8
无 向 图 G= （ V ， E ） ，若图 G 中某些点与边的交替序列
(vi0 , ei1 , vi1 , ei2 ,, vik 1 eik , vik ) 的形式，且 eit (vit 1 , vit )(t 1,, k ) ，则称这个点
T (v j ) min[T (v j ), P(vi ) lij ]
（3） 比较所有具有 T 标号的点，反把最小者改为 P 标号，即：
P(vi ) min[T (vi )]
当存在两个以上最小者时，可同时改为 P 标号。若全部点均为 P 标号则停止。否则用 v i 代 v i 转回（2） 。
定义5 以点v为端点的边数叫做v的次， 记作deg(v)，简记为d(v)。 定理1 任何图中，顶点次数的总和等于 边数的2倍。 定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为 偶数个。
定义 6 有向图中，以 v i 为始点的边数称为点 v i 的出次，用 d (vi ) 表示，以 v i 为终 点的边数称为点 v i 的入次，用 d (vi ) 表示。v i 点的出次与入次之和就是该点的次。容易 证明有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。 定义 7 图 G=（V，E） ，若 E ' 是 E 的子集，V 是 V 的子集，且 E ' 中的边仅与 V 的 顶点相关联，则称 G (V , E ) 是 G 的一个子图。特别是，若 V =V，则 G 称为 G 的生
vn1 的最短路。
算法步骤： （1） 给 v s 以 P 标号， P(vi ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2） 若 v i 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j ：(vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号。对 v j 的 T 标号进行如下的更改
第三节 最短路问题
最短路问题是网络理论中应用最广 泛的问题之一。许多最优化问题可以使 用这个模型，如设备更新、管道铺设、 线路安排、厂区布局等。在上一章中我 们曾介绍了最短路问题的动态规划解法， 但某些最短路问题（如道路不能整齐分 段者）构造动态规划方程比较困难，而 图论方法则比较有效。
最短路问题的一般提法如下：设 G=（V，E）为连通图，图中各边 (vi , v j ) 有 权 lij (lij 表示vi , v j间无边） , vi , v j 为图中任意两点， 求一条道路 ， 使它是 v i 到 v j 的所有路中总权最小的路。即： L( )
定义20 设有连通图，G中每条边上有非 负数称为边的容量，仅有一个入次为0的 点称为发点（源），一个出次为0的点称 为收点（汇），其余点为中间点，这样 的网络G称为容量网络，常记做 G=(V,E,C)。
一条边的两个端点如果相同，称此边为 环（自回路）。 两个点之间多于一条边的称为多重边。 定义2 不含环和多重边的图称为简单图， 含有多重边的图称为多重图。 以后我们讨论的图，如不特别说明， 都是简单图.
定义 3 每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。有 n 个顶点的 无向完全图记作 Kn。 有向完全图则是指每一对顶点间有且仅有一条有向边的简单图。 定义 4 图 G={V，E}的点集 V 可以分为两个非空子集 X，Y，即 XUY=V， X Y= ，使得 E 中每条边的两个端点必有一个端点属于 X，另一个端点属于 Y，则称 G 为二部图（偶图） ，记作 G={X，Y，E}。
Floyd 算法 令网络的权矩阵为 D (d ij ) nn ， l ij 为 v i 到 v j 的距离。 其中 算法基本步骤为：
（0） ⑴输入权矩阵 D D。
lij d ij
当(vi , v j ) E 其他
⑵计算 D ⑶D
(n)
(k )
( k 1) ( k 1) (d ij( k ) ) nn (k 1,2,3,, n) ，其中 d ij( k ) min[ d ij( k 1) , d ik d kj ]。