渐开线与摆线

思考：P42
在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？ 一个拱的宽度与高度各是什么？
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB， 展开后成为切线，所以切线BM的长就是AB的长， 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
M
B

O
A
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
2、渐开线的参数方程
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面 直角坐标系。
y
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
y
M O D

B C A
所以，摆线的参数方程为：
E
x x r ( sin ), 设开始时定点M 在原点，圆滚动了角后与x轴相切于点为参数) B。 ( A，圆心在点 从点M 分别做AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D。 ). y r (1 cos
设点M的坐标为( x, y), 取为参数，根据点M 满足的几何条件，有
x OD OA DA OA MC r r sin ,
y DM AC AB CB r r cos .
3、摆线的参数方程
M O y

B
A
M OБайду номын сангаасD

B C A E x
x r ( sin ), 摆线的参数方程为： (为参数) y r (1 cos ).
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
x r (cos sin ) (是参数)。 y r (sin cos )
y
M B

O A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。 设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
2、摆线
3、摆线的定义
思考：P41
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 摆线在它与定直线 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周 的部分叫做一个拱。
上一个定点的轨迹是什么？ M O

B
A
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
的长，即OA r。 线段OA的长等于MA
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3、摆线的参数方程
M O

B
A
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。 设圆的半径为r。
M B
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。 显然，点M由角 唯一确定。
由于向量e1 (cos ,sin )是与OB 同方向的单位向量， 因而向量e2 (sin , cos )是与向量BM同方向的单位向量。 所以 | BM | (r )e2 ,即 | BM | ( x r cos , y r sin ) r (sin , cos )
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而 BM ( x r cos , y r sin ),| BM | r.

O A x
解得
x r (cos sin ) (是参数)。 y r (sin cos )