中考数学探索规律的技巧

探索规律的技巧

智慧锦囊

一般步骤为：①实践要从简单的情形出发，先做三个具体的例子(如果看不出规律，就多做几个），然后认真观察、比较；

②猜想分析猜想可能的规律；③验证用具体数值代入猜想，推出公式。具体来说：一、标出序列号：每次探索一定写出序列号，把变量和序列号放在一起加以比较，就容易确定序列号与每一数据之间的关系；例如序列号：1，2，3，4，5，……n

已知变量: 0，3，8，15，24，……?

(2) 牢记求和公式：总和=

2

1（首项+末项）×项数；

▲二、统计的过程性：在统计数据时要用n 个数据相＋（或-、×、÷等）的形式，把每一次增减数据都写出来，而不是一个单一和的形式；如统计三角形的面积要写成如下形式：

序列号面积

1

2

1 a·b

2

2

1 c·d

3.

2

1 e·f

……

n ?

而不是写成如下形式：

序列号面积

1. a

2 . b

3. c

……

n ?

三、注意化简：利用幂，即数的平方或立方等，或者把一组数写成乘积的形式，如5，7，11，19，35，67．．及把一组数据2、6、12写成1×2、2×3、3×4的形式；

四、竖排：如果题目中给出的式子较多，可把它们竖排，这样更容易找出规律。

五、如果规律所形成的图案向呈直线方向发展（宽度不增加），那么该函数一定就是一次函数；如果规律所形成的图案向四周延伸，那么该函数一定就是二次函数。若能判断出所求规律的式子是一次函数或二次函数，可以先设函数，然后用待定系数法解决问题。

六、注意循环型+函数型的分类思考

范例点睛

例1.观察下图，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第几个图形共有120 个★。

解：序列号图形个数

1 1

2. 1+2

3. 1+2+3

……

n 1+1+2+3+..+n=

2

1(1+n)n

所以：

2

1(1+n)n=120 解得n=15

评价:此题强调了统计数据时的过程性.

例2..观察下列三角形数阵,第2002个数是第几行第几个数?

解：∵每一行最后一个数字是前面所有行数（包括本行））之和，设2002在第n行则

2

1(1+n)n≥2002

∵60×60=3600，65×65=4225,64×63=4032 ∴n=63

∵第63行最后一个数=

2

1(1+n)n=2016,第62行最后一个数是2016-63=1953，

∵,2002-1953=49，

∴第2002个数是第63行的第49个数

评价:此题强调了求和公式的灵活运用.

例3.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013是第几组第几个数？

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

解：2013是第212013+=1007个数，

设2013在第n 组，则1+3+5+7+…+（2n-1）≥1007，即2)1n 21n -+（≥1007，

解得：n≥31.7，

当n=31时，这组数的总个数为: 1+3+5+7+…+61=961； 1007-961=46

故第1007个数在第32组的第46个数 故A 2013=（32，46）．

注意：1+3+5+7+…+（2n-1）的项数

为 （末项+1）÷2

王者闯关

1.观察下面数阵规律并完成各题解答.

（1）表中第8行最后一个数是___，它是自然数____的平方，第8行共有____个数； （2）用含n 代数式表示：第n 行第一个数是____，最后一个数是___，第n 行共有__ 个数；

（3）第n 行各数之和是_____

2. 观察下列三角形数阵,第1972个数是第几行第几个数?

3．如图，将1、2、3三个数按图中方式排列，若规定（a ，b ）表示第a 排第b 列的数，则（

8，2）与（2016，2016

）表示的两个数的积是（ ）

4.（2014菏泽）下面是一个有规律的数阵：

根据数阵的规律，第n （n 是整数，且n≥3）行从左到右数第n ﹣2个数是 （含n 的代数式）

5.将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，

若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n=（ ）

6． 如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，第①个图案用火柴棍的个数为4根，第②个图案用火柴棍的个数为12根，第③个图案用火柴棍的个数为

24

根，若按这种方式摆下去，摆出第30个图案用火柴棍个数为（ ）

7. 如图，直线l 上有2个圆点A ，B ．我们进行如下操作：第1次操作，在A ，B 两圆点间插入一个圆点C ，这时直线l 上有（2＋1）个圆点；第2次操作，在A ，C 和C ，B 间再分别插入一个圆点，这时直线l 上有（3＋2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l 上有（5＋4）个圆点；…第n 次操作后，这时直线l 上有 个圆点． 8.（2013•威海）在平面直角坐标系中，A （1，0）、B （0，1）、C （﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P 1．使得点P 1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P 2，使得点P 2与点P 1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P 3，使得点P 3与点P 2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P 4，使得点P 4与点P 3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P 5，使得点P 5与点P 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15