函数与方程_PPT课件

要点探究
求函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．
[解答] 在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两 图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．
要点探究
► 探究点2 函数零点位置的判断
例2 判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]； (3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
3．(1)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；(2)并 且满足_f(_a_)_·f_(b_)_＜__0_．那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即至少存在一 个c∈(a，b)，使_f_(_c_)＝__0__．满足上面条件(1)、(2)后，在(a，b)内存在的c不一 定只有一个．
知识梳理 知识梳理
一分为二
零点
知识梳理
有两个不相等的实根 有两个相等的实根
有两个零点
有一个二重零点
无实根 无零点
有两个交点
有一个交点
无交点
要点探究
要点探究
► 探究点1 方程的根与函数的零点
x2＋2x－3，x≤0，
例 1 [2010·福建卷] 函数 f(x)＝－2＋lnx，x>0
的零
点个数为( )
1 e 数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln3<0.又f(1)
＝ ，f(e)＝
－1<0，f＝ 1 ＋1>0，故选择D.
3
3
3e
要点探究
► 探究点3 二次函数零点的分布问题
例3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求 m的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．
规律总结
规律总结
1．方程的根(从数的角度看)、函数图象与x轴的交点的横坐标(从 形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式．
2．函数零点的求法： (1)代数法：利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)＝0的 根． (2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． (3)二分法：主要用于求函数零点的近似值．
规律总结
3．要注意对于在区间[a，b]上的连续函数f(x)，若x0是f(x)的零点，却不 一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0仅是f(x)在[a，b]上存在零点的充分条件，而 不是必要条件．
4．有关函数零点的重要结论 (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变． 5．用二分法求零点的近似解时，所要求的精确度ε不同，得到的结果也不 同．精确度为ε是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即 认为已达到所要求的精确度，可停止计算．精确度为0.001与精确到0.001是不 同的．
[点评] 零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间[a，b]上是否存 在零点的定理，该定理只能判断存在零点，不能判断区间[a，b]不存在零 点，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)f(b)>0，函数在区间[a，b]上 也可能存在零点，如：
要点探究
1
[2009·天津卷] 设函数f(x)＝ x－lnx(x>0)，则y＝f(x)( )
函数与方程
函数与方程
知识梳理
知识梳理
1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数a处的_函_数__值_等__于_零，即__f (_a)__0_．则a叫做这 个函数 y f (x) 的零点.
2．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有_交__点___⇔函数y＝f(x)有 __零_点___．
f0>0，
f1≤0，
解得－
3≤a<0，故当－3≤a<0时，原方程有实根．
要点探究
► 探究点4 利用函数零点求参数
例4 (1)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值；
[思路] 函数的类型为初等函数，因此可以利用方程的思想求解
[解答] 若a＝0，则f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，即－x－1＝0，得x ＝－1，故符合题意；
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有实根．
求a为何值时，方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0
[解答] 令t＝3－|x－2|∈(0,1]，则原方程转化为t2－4t－a＝0在(0,1]
内有实根，令y＝f(t)＝t2－4t－a，其对称轴是t＝－
－4 2×1
＝2>1，如
图，方程t2－4t－a＝0在(0,1]内恰有一解，则
A．3
B．2
C．1
D．0
[思路] 分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数． [答案] B
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[解析] 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x ＞0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有 2个零点，选B.
[点评] 函数f(x)的零点是一个实数(不是点)，就是方程f(x) ＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标， 因此判断零点的个数就是判断方程f(x)＝0的实根个数，有时也 可以根据函数图象的交点来判断零点的个数，如：
3
A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内来自百度文库零点，在区间(1，e)内有零点
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[答案] D
[f解′(x答)<]0，得由0题<意x<得3；f′(fx′()x＝)＝130，1x得＝x＝x33，x3故知，函令数f′f((xx))>在0，区得间x(0>,33；)上令为减函
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[点评] 函数形结合法是解决利 用函数零点求参数问题的基本思 想，其要点是通过构造函数，把 函数的零点问题转化为两个函数 图象的交点问题．
要点探究
已知函数f(x)＝x|x－4|－5，当方程f(x)＝a有 三个根时，求实数a的取值范围．
x2－4x－5，x≥4， [解答] f(x)＝x|x－4|－5＝ －x2＋4x－5，x＜4， 在平 面直角坐标系中画出该函数的图像可得当直线y＝a与该 函数的图像有三个交点时，a的取值范围是－5＜a＜－ 1.
若a≠0，则f(x)＝ax2－x－1是二次函数，故有且仅有一个零点等 价于Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－14. 综上所述，a＝0或a＝－41.
要点探究
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
[思路]通过图象变换法作出函数的图象，利用数形结合思想求解．
[解答] 若f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，即|4x－x2|＋a＝0有四个根， 即|4x－x2|＝－a有四个根．令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)、 h(x)的图象，由图象可知如果要使|4x－x2|＝－a有四个根，那么g(x)与 h(x)的图象应有4个交点．故需满足0＜－a＜4，即－4＜a＜0.∴a的取值 范围是(－4,0)．
[思路] 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用 函数性质加以限制．
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[解答] (1)条件说明抛物线 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 与 x 轴的 交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得
f0＝2m＋1<0， f－1＝2>0， f1＝4m＋2<0， f2＝6m＋5>0
∴－56<m<－12.
mm∈<－R12，， ⇒m<－21，
m>－65，
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(2)据抛物线与 x 轴两交点均落在区间(0,1)内，列不等式 组
f0>0， f1>0， Δ≥0， 0<－m<1
m>－12， ⇒m>－12，
m≥1＋ 2或m≤1－ 2， －1<m<0.
∴－12<m≤1－ 2.
[点评]本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不等式等的基本关系， 有效地训练对“三个二次”的整体理解与掌握，解题过程中的数形结合是数学 的重要思想方法．
[思路] 对于区间上连续不断的函数，在区间[a，b]内寻根，往 往需要利用零点的存在性定理判断，即判断f(a)f(b)<0是否成立．
要点探究
[解答] (1)方法一：因为f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，所以f(1)·f(8)＜0， 故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点． 方法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f(x)＝x2－3x－18 在x∈[1,8]上存在零点． (2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(x)＝x3－x－1在x∈[－1,2]上存在零 点． (3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1＞0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3 ＜0，∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在x∈[1,3]上存在零点．