小学奥数教程：圆与扇形计算题

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．

圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n

r =⨯；

圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360

n

r =⨯．

一、跟曲线有关的图形元素：

①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、1

6

圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢关键是360n

．

比如：扇形的面积=所在圆的面积360n

⨯；

扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n

⨯

扇形的周长=所在圆的周长360

n

⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．

一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)

③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形

④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2⨯

二、常用的思想方法：

①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

板块、曲线型旋转问题

【例 1】 正三角形ABC 的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A 点再次落在这条直线上，那么A

点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米(结果保留π)

A

B B

C

A

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

例题精讲

圆与扇形

【解析】 如图所示，A 点在翻滚过程中经过的路线为两段120︒的圆弧，所以路线的总长度为：

120

2π628π360

⨯⨯⨯=厘米；

三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120︒的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：

2120

π621524π15360

⨯⨯⨯+=+平方厘米．

【答案】24π15+

【巩固】直角三角形ABC 放在一条直线上，斜边AC 长20厘米，直角边BC 长10厘米．如下图所示，三角形

由位置Ⅰ绕A 点转动，到达位置Ⅱ，此时B ，C 点分别到达1B ，1C 点；再绕1B 点转动，到达位置Ⅲ，

此时A ，1C 点分别到达2A ，2C 点．求C 点经1C 到2C 走过的路径的长．

60︒30︒

B 1

C 1C 2

A 2

C

B A

Ⅲ

ⅡⅠ

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由于BC 为AC 的一半，所以30CAB ∠=︒，则弧1CC 为大圆周长的

180305

36012

︒-︒=︒，弧12C C 为小圆

周长的

1

4，而112CC C C +即为C 点经1C 到2C 的路径，所以C 点经1C 到2C 走过的路径的长为515065

2π202π10π5ππ12433

⨯⨯+⨯⨯=+=(厘米)．

【答案】65

π3

【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm 和3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5cm ．让这

个长方形绕顶点B 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A 到达点E 的位置．求点A 走过的路程的长．

ⅣⅢ

ⅡⅠE

D

C

B

A

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为长方形旋转了三次，所以A 点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．

这三段路程分别是：

第1段是弧1AA ，它的长度是1

2π44⨯⨯⨯(cm )；

第2段是弧12A A ，它的长度是1

2π54⨯⨯⨯(cm )；

第3段是弧2A E ，它的长度是1

2π34⨯⨯⨯(cm )；

所以A 点走过的路程长为：111

2π42π52π36π444

⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=(cm )．

【答案】6π

【例 2】 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如

图)．问：这只羊能够活动的范围有多大(圆周率取3.14)

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如图所示，羊活动的范围可以分为A ，B ，C 三部分，其中A 是半径30米的

3

4

个圆，B ，C 分别是半径为20米和10米的

1

4

个圆． 所以羊活动的范围是222311

π30π20π10444

⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯

222311π302010444⎛

⎫=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎝

⎭

2512=．

【答案】2512

【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m ，求狗所能到的地方

的总面积．(圆周率按3.14计算)

3

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图所示，羊活动的范围是一个半径4m ，圆心角300°的扇形与两个半径1m ，圆心角120°的扇

形之和．所以答案是243.96m ．

【答案】

【例 3】 如图是一个直径为3cm 的半圆，让这个半圆以A 点为轴沿逆时针方向旋转60︒，此时B 点移动到'

B 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm ，圆周率按3计算)．

B

A

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 面积=圆心角为60︒的扇形面积+半圆-空白部分面积(也是半圆)=圆心角为60︒的扇形面积

22603π3π 4.5(cm )3602

=⨯⨯==． 【答案】